大学物理2,11第十一章 思考题.doc

1、一根长为l、质量为m的均匀细棒悬于通过其一端的光滑水平固定轴上，构成一个复摆。该摆作微小摆动时的周期等于多少？
【答案：】
详解：如图所示，均匀细棒所受的重力矩图4-22
q
mg
O
为

式中负号表示重力矩阻碍细棒向正角位移方向摆动。
细棒对悬点O的转动惯量为

由刚体定轴转动定律得

或

令，则该复摆作微小摆动的周期为

2、两个质点各自作简谐振动，它们的振幅相同、周期相同。第一个质点的振动方程为x1 = Acos(wt + j)。当第一个质点从相对于其平衡位置的正位移处回到平衡位置时，第二个质点正在最大正位移处。求第二个质点的振动方程。
【答案：】
详解：设第二个质点的初相为b，由题意得

即

因此第二个质点的振动方程为

3、一根轻弹簧上端固定，下端系一个质量为m1的物体，稳定后在m1下边又系一个质量为m2的物体，于是弹簧又伸长了Dx。如果将m2移去，并令m1振动，其振动周期为多少？
【答案：】
详解：设弹簧下端只系质量为m1的物体时，弹簧伸长x1，其平衡方程为

弹簧下端系质量为m1和m2的两个物体时，弹簧伸长x2，这时的平衡方程为

将以上两个平衡方程相减得

由此解得弹簧的劲度系数为

当移去m2，并令m1振动时，其振动周期为

O
图11-15
u
w
um

t=0
4、一个质点作简谐振动，其运动速度与时间的关系曲线如图11-11所示。如果质点的振动规律用余弦函数描述，则其初相等于多少？
0.5um
图11-11
u (m/s)
-um
t (s)
O

【答案：或】
详解：质点作简谐振动的运动速度与时间的关系为

因此质点的运动速度也作简谐振动，其初相为

由u-t关系曲线得运动速度初始时的旋转矢量图如图所示。可见
或
即
或
由此解得质点作简谐振动的初相为
或
O
图11-15
x
w
A
t=0
j
wt
A
t

5、已知某简谐振动的振动曲线如图11-12所示，试写出该简谐振动的振动方程。
图11-12
x (cm)
-4
t (s)
O
-2
0.5

【答案：】
详解：由质点简谐振动曲线得其的运动旋转矢量图如图所示。由此得简谐振动的初相为

由于谐振子从初始位置第一次回到平衡位置用了t=0.5s，旋转矢量转过的角度为5p/6，因此

由此解得

此外，简谐振动的振幅A=0.04m，因此该简谐振动的振动方程为

6、一个质点沿x轴作简谐振动，振动方程为

公式中的各个物理量均采用国际单位。从t = 0时刻起，到质点位置在x = -1cm处且向x轴正方向运动的最短时间间隔为多少？
【答案：0.58s】
O
图11-15
x
w
A
t=0
j
wt
t
详解：由题意得旋转矢量图如图所示。谐振子从初始位置第一次到达x = -1cm处且向x轴正方向运动用的时间最短，这时旋转矢量转过的角度为7p/6，因此

由此解得

即质点从t = 0时刻起，到质点位置在x = -1cm处，且向x轴正方向运动的最短时间间隔为0.58s。
7、一个质点作简谐振动的周期为T。当它由平衡位置向x轴正方向运动时，从二分之一最大位移处到正向最大位移处所需要的最短时间为多少？
【答案：T/6】
O
图11-15
x
w
A
wDt
详解：由题意得旋转矢量图如图所示。设谐振子由平衡位置向x轴正方向运动时，从二分之一最大位移处到最大位移处所需要的时间为Dt，则有

由此解得

a
图11-13
x
-A
t
O
A
b
f
c
d
e
g
8、一个水平弹簧简谐振子的振动曲线如图11-13所示。在a、b、c、d、e、f、g各点中，哪些点处在位移为零、速度为-wA、加速度为零和弹性力为零的状态？哪些点处在位移的绝对值为A、速度为零、加速度为-w2A和弹性力为-kA的状态？
【答案：c和g；b和f】
详解：处在位移为零、加速度为零和弹性力为零的点是a、c、e、g，其中速度为-wA 的点是c和g。因此满足所有条件的点是c和g。
处在位移的绝对值为A、速度为零、加速度为-w2A和弹性力为-kA的点是b和f。
9、一个简谐振动的旋转矢量图如图11-14所示，振幅矢量的长度为3cm，该简谐振动的初相为多少？试写出该简谐振动的振动方程。
图11-14
x
O
p/4
pt
w
t=0
t=t
【答案：；】
详解：由图直接看出该简谐振动的初相为

该简谐振动的振动方程为

10、图11-15中用旋转矢量法表示了一个简谐振动。旋转矢量的长度等于0.04m，旋转角速度等于3p rad/s。试写出该简谐振动的振动方程。
图11-15
x

O
w
t=0
【答案：】
详解：由题意得简谐振动的振幅、角频率和初相分别为

因此该简谐振动的振动方程为

11、一根金属细杆的上端固定，下端连接在一个水平圆盘的中心组成一个扭摆。将圆盘扭转微小角度使其作往复扭转运动时，金属杆将以一回复力矩M = -Dy 作用于圆盘，其中D为扭转系数，y 为扭转角。已知圆盘对其中心轴的转动惯量为J0，则扭摆的转动周期为多少？
【答案：】
详解：由刚体定轴转动定律得

或

令，则该扭摆的周期为

12、在静止的升降机中，长度为l的单摆的振动周期为T0。当升降机以0.5g的加速度竖直下降时，摆的振动周期为多少？
【答案：】
详解：在静止的升降机中，长度为l的单摆的振动周期为

当升降机以0.5g的加速度竖直下降时，根据相对运动的加速度相对性原理得单摆系统相对于升降机的加速度为

因此单摆的振动周期变为

13、一个摆长为2.0m的单摆，放在下降加速度为1.8m/s2的电梯中，该单摆作小幅度摆动的频率是多少？
【答案：0.32Hz】
详解：当电梯以a=1.8m/s2的加速度下降时，根据相对运动的加速度相对性原理得单摆系统相对于电梯的加速度为

因此该单摆作小幅度摆动的频率为

1、一个弹簧振子作简谐振动的总能量为E，如果简谐振动振幅增加为原来的两倍，振子的质量增为原来的四倍则它的总能量变为多少？
【答案：4E】
详解：作简谐振动的弹簧振子的总能量为

当简谐振动振幅增加为原来的两倍，振子的质量增为原来的四倍时，其总能量变为

2、当质点以频率n 作简谐振动时，它的动能的变化频率为多少？
【答案：2n】
详解：由于简谐振动动能的周期等于简谐振动周期的一半，即

因此简谐振动动能的变化频率为

3、弹簧振子在光滑水平面上作简谐振动时，弹性力在半个周期内所做的功为多少？
【答案：0】
详解：弹性力是保守力，因此弹性力在半个周期内所做的功为

其中

因此

4、一个作简谐振动的弹簧振子，当位移为振幅的一半时，其动能为总能量的多少倍？
【答案：3/4】
详解：作简谐振动的弹簧振子的总能量为

当简谐振动的位移等于振幅的一半时，其势能为

其动能为

即这时的动能等于总能量的3/4倍。
5、一个作简谐振动的物体的振动方程为

公式中的各个物理量均采用国际单位。该物体在t = 0时刻的动能与t = 0.25T时刻的动能之比为多少？
【答案：3】
详解：物体在t = 0时的动能为

物体在t = 0.25T时的动能为

这两个时刻的动能之比为

6、一个作简谐振动的系统的周期为T，以余弦函数表达振动时，初相为零。在0≤t≤0.5T范围内，系统在什么时刻动能和势能相等？
【答案： T/8、3T/8】
O
图11-15
x
w
A
t=0
详解：作简谐振动的系统的总能量为

依题意，其中Ek=EP，因此

由于

因此

即系统在作简谐振动时，有4个状态动能和势能相等，如图所示。
由于本题目初相为零，因此在0≤t≤0.5T范围内，系统在T/8和3T/8时刻动能和势能相等。

1、一根长度为l、劲度系数为k的均匀轻弹簧被分割成长度为l1和l2的两部分，且l1 = 3 l2。这两部分弹簧的劲度系数k1和k2分别为多大？
【答案：；】
详解：由于l=l1+l2、l1 = 3 l2，因此

原弹簧的劲度系数k、两部分弹簧的劲度系数k1和k2分别满足的关系式为

其中E、S分别为弹簧的杨氏模量和横截面积。
两部分弹簧的劲度系数k1和k2与原弹簧的劲度系数k的关系分别为

-0.5A
x1
x2
图11-28
x
t
O
A
2、图11-28中所画的是两个简谐振动的振动曲线。如果这两个简谐振动可以叠加，则合成的余弦振动的初相等于多少？
【答案：p】
详解：由两个简谐振动的振动曲线可以看出，它们的振动始终反向。它们在各个时刻求代数和的结果是，合振动的初相与振幅大的分振动x1相同，即合成的余弦振动的初相等于p。
3、一个质点同时参与三个简谐振动，它们的振动方程分别为
O
图11-15
x
w
A1
A2
A3
, ,
试写出合成振动的振动方程。
【答案：0】
详解：由题意得旋转矢量图如图所示。由于分振动x1与x2的合成振幅也等于A，并且其振动与x3相反，因此这三个分振动的合成振动为零。
4、一个质点同时参与两个同方向的简谐振动，它们的振动方程分别为
,
公式中的所有物理量均采用国际单位，试写出合成振动的振动方程。

【答案：】
O
图11-15
x
A1
A2
A
详解：由题意得旋转矢量图如图所示。
由图可以看出，旋转矢量与互相垂直，因此合成振动的振幅和初相分别为

因此合成振动的振动方程为

5、两个同方向同频率的简谐振动，其合振动的振幅为20cm，与第一个简谐振动的相位差为j –j 1 = p/6。若第一个简谐振动的振幅为cm，则第二个简谐振动的振幅为多少？第一、二两个简谐振动的相位差j1 -j2为多少？
【答案：10cm；-p/2】
详解：由题意得旋转矢量合成图如图所示。
O
x
M
M1
M2
j2
2
j1
2
j
图11-16
ω
在△OMM1中

由余弦定理得第二个简谐振动的振幅为

由于

因此△OMM1是直角三角形，所以

则第一、二两个简谐振动的相位差j1 -j2为

6、图11-29中的椭圆是两个互相垂直的同频率简谐振动合成的图形，已知x方向的振动方程为

动点在椭圆上沿逆时针方向运动。公式中的所有物理量均采用国际单位，则y方向的振动方程如何？
【答案：】
0.02
x(m)
O
y(m)
0.06
图11-29
详解：设y方向的振动方程为

由图11-29可以看出

由于动点在椭圆上沿逆时针方向运动，因此

由此解得

因此y方向的振动方程为

7、一个质点同时参与两个互相垂直的同频率的简谐振动，其合成运动的轨道及旋转方向如图11-30所示，旋转周期为2s。初始时刻质点位于图中x轴上的P点。写出两个分振动的数值表达式。
【答案：；】
0.04
x(m)
O
y(m)
0.02
图11-30
P
详解：由图11-30可以看出

两个分振动的角频率为

依题意可知

由于动点在椭圆上沿逆时针方向运动，因此

由此解得

因此x、y两个方向的分振动的数值表达式分别为