高一数学必修2直线.doc

1. 下列五个正方体图形中，是正方体的一条对角线，点M，N，P分别为其所在棱的中点，求能得出⊥面MNP的图形的序号(写出所有符合要求的图形序号)
A
B
C
D
E
S

3. 如图，已知四棱锥S－ABCD的底面ABCD是正方形，SA⊥底面ABCD，E是SC上的一点.
(1)求证：平面EBD⊥平面SAC；
(2)设SA＝4，AB＝2，求点A到平面SBD的距离；

解法2 如果记正方体对角线l所在的对角截面为．各图可讨论如下：
在图①中，MN,NP在平面上的射影为同一直线，且与l垂直，故 l⊥面MNP．事实上，还可这样考虑：l在上底面的射影是MP的垂线，故l⊥MP；l在左侧面的射影是MN的垂线，故l⊥MN，从而l⊥面 MNP．
在图②中，由MP⊥面，可证明MN在平面上的射影不是l的垂线，故l不垂直于MN．从而l不垂直于面MNP．
在图③中，点M在上的射影是l的中点，点P在上的射影是上底面的内点，知MP在上的射影不是l的垂线，得l不垂直于面 MNP．
在图④中，平面垂直平分线段MN，故l⊥MN．又l在左侧面的射影(即侧面正方形的一条对角线)与MP垂直，从而l⊥MP，故l⊥面 MNP．
在图⑤中，点N在平面上的射影是对角线l的中点，点M、P在平面上的射影分别是上、下底面对角线的4分点，三个射影同在一条直线上，且l与这一直线垂直．从而l⊥面MNP．
至此，得①④⑤为本题答案．
(2) 解：设AC∩BD＝O，连结SO，则SO⊥BD
由AB＝2，知BD＝2
SO＝
∴S△SBD＝ BD·SO＝·2·3＝6
令点A到平面SBD的距离为h，由SA⊥平面ABCD, 则·S△SBD·h＝·S△ABD·SA
∴6h＝·2·2·4 Þ h＝ ∴点A到平面SBD的距离为
4．如右图所示，正三棱锥（顶点在底面的射影是底面正三角形的中心）中，分别是 的中点，为上任意一点，则直线与所成的角的大小是（　　）
6．把正方形沿对角线折起,当以四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线和平面所成的角的大小为（ ）
3．棱长为的正四面体内有一点，由点向各面引垂线，垂线段长度分别为
，则的值为 。
作等积变换：而
7．把正方形ABCD沿对角线AC折起，当以A，B，C，D四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD和平面ABC所成的角的大小为( )．
11．已知三棱锥P－ABC的三条侧棱PA，PB，PC两两相互垂直，且三个侧面的面积分别为S1，S2，S3，则这个三棱锥的体积为 ．
12．P是△ABC 所在平面 a 外一点，过P作PO⊥平面 a，垂足是O，连PA，PB，PC．
(1)若PA＝PB＝PC，则O为△ABC 的 心；
(2)PA⊥PB，PA⊥PC，PC⊥PB，则O是△ABC 的 心；
(3)若点P到三边AB，BC，CA的距离相等，则O是△ABC 的 心；
(4)若PA＝PB＝PC，∠C＝90º，则O是AB边的 点；
J
(第13题)
(5)若PA＝PB＝PC，AB＝AC，则点O在△ABC的 线上．
13．如图，在正三角形ABC中，D，E，F分别为各边的中点，G，H，I，J分别为AF，AD，BE，DE的中点，将△ABC沿DE，EF，DF折成三棱锥以后，GH与IJ所成角的度数为 ．

如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝2，BB1＝BC＝1，E为D1C1的中点，连结ED，EC，EB和DB．
(1)求证：平面EDB⊥平面EBC；
(2)求二面角E－DB－C的正切值.

当三棱锥D－ABC体积最大时，平面DAC⊥ABC，取AC的中点O，则△DBO是等腰直角三角形，即∠DBO＝45°．
8．D
解析：A．一组对边平行就决定了共面；B．同一平面的两条垂线互相平行，因而共面；C．这些直线都在同一个平面内即直线的垂面；D．把书本的书脊垂直放在桌上就明确了．
9．B
解析：因为①②④正确，故选B．
10．A
解析：异面直线，所成的角为60°，直线⊥，过空间任一点 P，作直线 a’∥a， b’∥b， c’∥c. 若a’，b’，c’ 共面则 b’ 与 c’ 成 30° 角，否则 ’ 与 ’ 所成的角的范围为(30°，90°]，所以直线b与c所成角的范围为[30°，90°] ．
二、填空题
11．．解析：设三条侧棱长为 a，b，c．则 ab＝S1，bc＝S2，ca＝S3 三式相乘：
∴ a2 b2 c2＝S1S2S3，∴ abc＝2．∵ 三侧棱两两垂直，∴ V＝abc·＝．
12．外，垂，内，中，BC边的垂直平分．
解析：(1)由三角形全等可证得 O 为△ABC 的外心；
(2)由直线和平面垂直的判定定理可证得，O 为△ABC 的垂心；
(3)由直线和平面垂直的判定定理可证得，O 为△ABC 的内心；
(4)由三角形全等可证得，O 为 AB 边的中点；
(5)由(1)知，O 在 BC 边的垂直平分线上，或说 O 在∠BAC 的平分线上．
13．60°．解析：将△ABC沿DE，EF，DF折成三棱锥以后，GH与IJ所成角的度数为60°．
14．[30°，90°]．解析：直线l与平面 a 所成的30°的角为m与l所成角的最小值，当m在 a 内适当旋转就可以得到l⊥m，即m与l所成角的的最大值为90°．15．．
解析：作等积变换：×(d1＋d2＋d3＋d4)＝·h，而h＝．
14．把正方形ABCD沿对角线AC折起，当以A，B，C，D四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD和平面ABC所成的角的大小为( C )．
6．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，CC1＝，则二面角C1-BD-C的大小为( )．
(第10题)
10．平面 a⊥平面 b，A∈α，B∈β，AB与两平面 a，β所成的角分别为和，过A，B分别作两平面交线的垂线，垂足为A′，B′，则AB∶A′B′ 等于( )．

13． 如图，AC是平面 a 的斜线，且AO＝a，AO与 a 成60º角，OCÌa，AA′⊥ a 于A′，∠A′OC＝45º，则点A到直线OC的距离是 ．
(第18题)
18．如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD＝DC＝BC＝1，AB＝2，AB∥DC，∠BCD＝90°．
(1)求证：PC⊥BC；
(2)求点A到平面PBC的距离．

D1
C1
B1
A1
C
D
B
A
(第19题)
19．如图，棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，
(1)求证：AC⊥平面B1D1DB；
(2)求证：BD1⊥平面ACB1；
(3)求三棱锥B-ACB1体积．

解析：连接AB′，A′B，于是∠ABA′＝，∠BAB′＝.设AB＝a，∴ A′B＝acos＝a，BB′＝acos＝a．∴ A′B′＝a．∴ AB∶A′B′＝2∶1．
A
B
C
O
A′
(第13题)
13．a．
解析：如图过点A作AB⊥OC，垂足为B，连接A′B，
点A到直线OC距离是AB．
依条件得AA′＝a，A′O＝a，A′B＝a．
∴ AB＝a ＝a．
17．证明：(1)连接EO，∵ 四边形ABCD为正方形，∴ O为AC的中点．
∵ E是PC的中点，∴ OE是△APC的中位线．
∴ EO∥PA．∵ EO平面BDE，PA平面BDE，∴ PA∥平面BDE．
(2)∵ PO⊥平面ABCD，BD平面ABCD， ∴ PO⊥BD．∵ 四边形ABCD是正方形， ∴ AC⊥BD．
∵ PO∩AC＝O，AC 平面PAC，PO 平面PAC，∴ BD⊥平面PAC．
18．(1)证明：∵ PD⊥平面ABCD，BC 平面ABCD，∴ PD⊥BC．由∠BCD＝90°，得CD⊥BC．又PD∩DC＝D，PD，DC 平面PCD，∴ BC⊥平面PCD．∵ PC 平面PCD，故PC⊥BC．
(第18题)
(2)解：(方法一)分别取AB，PC的中点E，F，连DE，DF，
则易证DE∥CB，DE∥平面PBC，点D，E到平面PBC的距离相等．
又点A到平面PBC的距离等于点E到平面PBC的距离的2倍，
由(1)知，BC⊥平面PCD，
∴平面PBC⊥平面PCD． ∵ PD＝DC，PF＝FC，∴ DF⊥PC．
又 ∴ 平面PBC∩平面PCD＝PC，∴ DF⊥平面PBC于F．
易知DF＝，故点A到平面PBC的距离等于．
(第18题)
(方法二)：连接AC，设点A到平面PBC的距离为h．
∵ AB∥DC，∠BCD＝90°，∴ ∠ABC＝90°．
由AB＝2，BC＝1，得△ABC的面积S△ABC＝1．
由PD⊥平面ABCD，及PD＝1，得三棱锥P-ABC的体积
V＝S△ABC·PD＝．
∵ PD⊥平面ABCD，DC平面ABCD，∴ PD⊥DC．
又 ∴ PD＝DC＝1，∴ PC＝＝．由PC⊥BC，BC＝1，得△PBC的面积S△PBC＝．
∵ VA - PBC＝VP - ABC，∴ S△PBC·h＝V＝，得h＝．故点A到平面PBC的距离等于．
19．(1)证明：∵ AC⊥BD，又BB1⊥平面ABCD，且AC 平面ABCD，
∴ BB1⊥AC. BD∩BB1＝B，∴ AC⊥平面B1 D1DB．(2)证明：由(1)知AC⊥平面B1D1DB，
∵ BD1平面B1D1DB，∴ AC⊥BD1．∵ A1D1⊥平面A1B1BA，AB1平面A1B1BA，∴ A1D1⊥AB1．
又 ∵ A1B⊥AB1且A1B∩A1D1于A1，∴ AB1⊥平面A1D1B．∵ BD1平面A1D1B，
∴ BD1⊥AB1，又 ∴ AC∩AB1＝A，∴ BD1⊥平面ACB1．
4．如右图所示，正三棱锥（顶点在底面的射影是底面正三角形的中心）中，分别是 的中点，为上任意一点，则直线与所成的角的大小是（　　）
1把正方形沿对角线折起,当以四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线和平面所成的角的大小为（ ）
3.空间四边形ABCD中，若，则与所成角为
2．已知在四面体中，分别是的中点，若，则与所成的角的度数为（　　）
7．把正方形ABCD沿对角线AC折起，当以A，B，C，D四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD和平面ABC所成的角的大小为( )．

19*．如图，在底面是直角梯形的四棱锥Ｓ－ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，
SA⊥面ABCD，SA＝AB＝BC＝１，AD＝．
(1)求四棱锥S—ABCD的体积；
(2)求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值．
(提示：延长 BA，CD 相交于点 E，则直线 SE 是
所求二面角的棱.)