三角函数综合练习较难.doc

第一章《三角函数》综合练习
班级 姓名 学号 得分
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知锐角α终边上一点A的坐标为(2sin3，-2cos3),则角α的弧度数为 （ ）

A．3 B．π-3 C．3- D． -3
2．sin( )的值等于 （ ）
A． B．- C． D．-
3．若α是第三象限的角，则α-π是 （ ）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
4．若|sinθ|=,<θ<5π,则tanθ等于 （ ）

A． B．- C． D．
5．函数y=cos( ) （ ）
A．是奇函数 B．是偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数
6．要得到函数y=sin(2x-)的图象，只要将函数y=sin2x的图象 （ ）
A．向左平移 B．向右平移 C．向左平移 D．向右平移
x
y
4
O
D.
4
4
x
y
4
O
C.
4
4
x
y
4
O
A.
4
4
x
y
4
O
B.
4
4
7．函数y=tan(x-)在一个周期内的图象是 （ ）

8．函数y=x+sin|x|,x∈[-π, π]的大致图象是 （ ）
π
y y y y
π π π

-π o π x -π o π x -π o π x -π o π x

-π -π -π -π
A. B. C. D.
9．函数y=sin(2x+ )的图象的一条对称轴的方程是 （ ）
A．x= B．x= C．x= D．x=
10. 定义在R上的函数f(x)满足f(x)= f(x+2),x∈[3,5]时,f(x)=2-|x-4|,则 （ ）
A．f(sin)f(cos1） C．f(cos)f(sin2）
2m
3m
y
P
O
11．如图为一半径为3米的水轮,水轮圆心O距水面2米,已知
水轮每分钟转4圈,水轮上的点P到水面距离y(米)与时间x(秒)
满足关系式y=Asin(ωx+φ)+2，则有 （ ）
A．ω=,A=3 B．ω=,A=3
C．ω=,A=5 D．ω=,A=5
12．函数y=1-x+sinx是 （ ）
A．单调增函数 B．单调减函数
C．(0, π]是单调增函数，[π,2π) 单调减函数 D．(0, π]是单调减函数，[π,2π) 单调增函数
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上)
13．若tanα= -2,且sinα<0,则cosα=____________.
14．（k∈Z）= .
15．使函数y=2tanx与y=cosθ同时为单调递增的区间是
16．函数f(x)=sinx+2|sinx|,x∈[0,2π]的图象与直线y=k有且仅有两个不同的交点,则k的取值范围是__________.
三、解答题(本大题共6小题，17-21题每小题12分，22题14分，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17. 试确定下列函数的定义域
⑴； ⑵

18．若｜logcosαsinα｜＞｜logsinαcosα｜（α为锐角），求α的取值范围.

19．已知函数f(x)=
（1）画出f(x)的图象，并写出其单调区间、最大值、最小值；
（2）判断f(x)是否为周期函数.如果是,求出最小正周期.

20．设关于x的函数y=2cos2x-2acosx-(2a+1)的最小值为f(a)，试确定满足f(a)=的a值，并对此时的a值求y的最大值.

21.已知某海滨浴场的海浪高度y(米)是时间t(0≤t≤24单位小时)的函数，记作：y=f(t).下表是某日各时的浪高数据；
t（时）
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y（米）
1.5
1.0
0.5
1.0
1.5
1
0.5
0.99
1.5
经长期观测，y=f(t).的曲线可近似地看成是函数y=Acosωt +b
(1).根据以上数据,求出函数y=Acosωt +b的最小正周期T,振幅A及函数表达式；
(2).根据规定，当海狼高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的上午8:00时至晚上20:00时之间,有多少时间可供冲浪者进行活动？

22．讨论函数f(x)=|sinx+cosx|-|sinx-cosx|的性质，并在函数性质的基础上作出函数的草图.

第二章 《平面向量》综合测试题
班级___________姓名____________学号____________得分____________
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1. 若A（2，-1），B（-1，3），则的坐标是 ( )
A.（1，2） B.（-3，4） C. （3，-4） D. 以上都不对
2.与a=（4，5）垂直的向量是 ( )
A.（-5k,4k） B. (-10，2） C. () D.（5k, -4k）
3. △ABC中,=a, =b,则等于 ( )
A.a+b B.-(a+b) C.a-b D.b-a
4.化简(a－b)－(2a+4b)+(2a+13b)的结果是 ( )
A.ab B.0 C. a+b D. a－b
5.已知|p|=,|q|=3, p与q的夹角为,则以a=5p+2q,b=p－3q为邻边的平行四边形的一条对角线长为 ( )
A.15 B. C. 16 D.14
6.已知A(2,-2),B(4,3),向量p的坐标为(2k-1,7)且p∥,则k的值为 ( )
A. B. C. D.
7. 已知△ABC的三个顶点，A、B、C及平面内一点P满足，则点P与△ABC的关系是 ( )
A. P在△ABC的内部 B. P在△ABC的外部
C. P是AB边上的一个三等分点 D. P是AC边上的一个三等分点
8.已知△ABC的三个顶点，A (1,5)，B(-2,4)，C(-6,-4)，M是BC边上一点,且△ABM的面积是△ABC面积的,则线段AM的长度是 ( )
A.5 B. C. D.
9.设e1,e2是夹角为450的两个单位向量,且a=e1+2e2,b=2e1+e2,,则|a+b|的值 ( )
A. B.9 C. D.
10.若|a|=1,|b|=,(a-b)⊥a,则a与b的夹角为 ( )
A.300 B.450 C.600 D.750
11.把一个函数的图象按向量a=(,-2)平移后，得到的图象对应的函数解析式为y=sin(x+)-2,则原函数的解析式为 ( )
A.y=sinx B.y=cosx C.y=sinx+2 D.y= -cosx
12.在△ABC中，=c, = a, =b,则下列推导中错误的是 ( )

A.若a·b<0,则△ABC为钝角三角形 B. 若a·b=0,则△ABC为直角三角形
C. 若a·b=b·c,则△ABC为等腰三角形 D. 若c·( a+b+c)=0,则△ABC为等腰三角形
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上)
13.在△ABC中，已知且则这个三角形的形状是 .
14.一艘船从A点出发以的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为，则船实际航行的速度的大小和方向是 .

15. 若向量,现用a、b表示c,则c= .
16.给出下列命题:①若a2+b2=0,则a=b=0;
②已知AB,则
③已知a,b,c是三个非零向量,若a+b=0,则|a·c|=|b·c|
④已知,e1,e2是一组基底,a=λ1e1+λ2e2则a与e1不共线,a与e2也不共线;
⑤若a与b共线,则a·b=|a|·|b|.其中正确命题的序号是 .
三、解答题(本大题共6小题，17-21题每小题12分，22题14分，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
A
B
N
M
D
C
17.如图,ABCD是一个梯形,, M、N分别是的中点,已知a,b,试用a、b表示和

18设两个非零向量e1、e2不共线.如果=e1+e2,2e1+8e2,=3(e1-e2)
⑴求证:A、B、D共线;
⑵试确定实数k,使ke1+e2和e1+ke2共线.

19.已知△ABC中,A(2,4),B(-1,-2),C(4,3),BC边上的高为AD.⑴求证:AB⊥AC;⑵求点D与向量的坐标.

20.已知△ABC的三个顶点为A(1,2),B(4,1),C(3,4).⑴求AB边上的中线CM的长;⑵在AB上取一点P,使过P且平行与BC的直线PQ把的面积分成4:5两部分,求P点的坐标.

21.已知a、b是两个非零向量，证明：当b与a+λb(λ∈R)垂直时，a+λb的模取得最小值.

22.已知二次函数f(x) 对任意x∈R，都有f (1-x)=f (1+x)成立，设向量a=(sinx,2), b=(2sinx,),
c=(cos2x,1),d=(1,2)。
（1）分别求a·b和c·d的取值范围；
（2）当x∈[0,π]时，求不等式f(a·b)>f(c·d)的解集。

第三章 《三角恒等变换》综合练习
班级　　 　　姓名　　 　　　学号　　　 　得分　 　　
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知sin=,cos=,则角θ所在的的象限是 ( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．已知tan(α+β)=,tan(β-)=，则tan(α+)等于 　　　　　 　（　　）
A．　 B．　 　 C．　　 D．
3．已知sinα=,则cos4α的值是 （ ）
A． B． C． D．
4．已知sin(α-β)=,sin(α+β)=，且α-β∈(,π), α+β∈(,2π),则cos2β的值是 （　　）
A．　 B．　 　 C．1　　 D．-1
5．△ABC三内角满足2cosBsinA=sinC，则△ABC的形状为 （
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形
6．的值是 （ ）
A．1 B．2 C．4 D．
7．函数y=sinx+cosx(0≤x≤)的值域是 ( )
A．[] B．[] C．[] D．[]
8． 的值是 （ ）
A．2 B．-2 C． D．-
9． sin150sin300sin750的值等于 （ ）
A． B． C． D．
10．tan700+tan500-tan700tan500的等于 （ ）
A． B． C．- D．-
11．函数y=sin2(ωx)-cos2(ωx)的周期T=4π，那么常数ω等于 （ ）
A． B．2 C． D．4
12．函数y=cos()-sin()的单调递增区间是 （ ）
A．[4kπ-, 4kπ-] (k∈Z) B．[4kπ-, 4kπ+] (k∈Z)
C．[2kπ 2kπ+] (k∈Z) D．[2kπ, 2kπ+π] (k∈Z)
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上)
13．已知sin120=a,则sin660= .
14．已知，cos(α-β)=,sin(α+β)= ,那么sin2α= .
15．化简：cos(-α)cos(+α)= .
16．设f(x)=2cos2x+sin2x+a(a∈R),当x∈[0, ]时, f(x)的最大值是4，则a= .
三、解答题(本大题共6小题，17-21题每小题12分，22题14分，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．已知tanθ=2,求的值.

18．求y=sinxcosx-cos2x的最大值.

19．已知sin(2α+β)=3sinβ，求的值.

20．已知sin(-θ)= -,<θ<，求cos2θ的值。

21．若A、B、C是△ABC的内角，cosB＝, sinC＝,求cosA的值.

22．已知向量=(cosα,sinα), =(-sin(α+),cos(α+)),其中O为原点，实数λ满足|λ-|≥||，求实数λ的取值范围.

数学必修（4）综合练习
班级　　 　　姓名　　 　　　学号　　　 　得分　 　　
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若sinθ·tanθ>0,则θ所在的的象限是 ( )
A．二、四 B．一、二 C．一、四 D．二、三
2．如果cosα=有意义，那么m的取值范围是 　　　　　 　（　　）
A．m<4　 B．m=4　 　 C．m>4　　 D．m≠4
3．函数y=2-sin2x是 （ ）
A．周期为π的奇函数 B．周期为π的偶函数
C．周期为2π的奇函数 D．周期为2π的偶函数
4．函数y=3sinx +2cosx的最小值是 （　　）
A．0　 B．-3　 　 C．-5　　 D．-
5．设k∈Z，函数y=sin(+)sin(-)的单调递增区间为 （ ）
A．[(2k+1)π,2(k+1)π] B．[(k+)π,(k+1)π] C．[kπ,(k+) π] D．[2kπ, (2k+1)π]
6．已知tanαtanβ是方程x2+3x+4=0的两根,且<α<,<β<,则α+β等于 （ ）
A． B． C．或 D．-或
7．要得到函数y=sin（2x-)的图象，只需将函数y=sin2x的图象 ( )
A．向右平移 B．向右平移 C．向左平移 D．向左平移
8．已知|a|=,|b|=1, a·b=-9,则a与b的夹角是 （ ）
A．300 B．600 C．1200 D．1500
9． 设a,b是两个非零向量，则下列说法中正确的是 （ ）
A
B
O
D
C
A．a⊥b与 a·b=0 是一致的 B．a·b=|a|·|b|
C．|a|>|b|与 a>b=0 是一致的 D．a·b= -|a|·|b|
10．如图，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，则等于( )
A． B．- C． D．
11．设i=(1,0),j=(0,1),a=2i+3j,b=ki-4j,若a⊥b，则实数k的值为 （ ）
A．-6 B．-3 C．3 D．6
12.已知△ABC的顶点A(2,3)和重心G的坐标为(2,-1),则BC 边上的中点坐标为 （ ）
A．(2,-9) B．(2,-5) C．(2,-3) D．(2,0)
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上)
13．函数y=的定义域为 .
14．已知sinα=,2π<α<3π,那么sin+cos= .
15．已知|a|=3,|b|=5, 且向量a在向量b方向上的投影为，则a·b= .
16．将函数y=cosx的图象按向量b=(2kπ+,1)( k∈Z)平移, 得到函数 的图象.
三、解答题(本大题共6小题，17-21题每小题12分，22题14分，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．证明： .

18．已知cos(α-)=,sin()=,且α∈(,π),β∈(0,),求cos的值.

19．已知函数y=Asin(ωx+φ)+C(A>0, C >0,| φ|<)在同一周期中最高点的坐标为(2,2)，最底点的坐标为(8,-4).
（1）求A，C，ω，φ的值；
（2）作出函数的一个周期的简图，并由图象指出这个函数的单调递增区间.

20．设e1,e2是两个不共线的非零向量.
（1）若= e1+e2，=2 e1+8e2，=3(e1-e2)，求证：A，B，D三点共线；
（2）试求实数k的值，使向量ke1+e2和e1+ke2共线.

21．在△ABC中，设=a, =b, =c.
（1）若△ABC为正三角形，求证：a·b=b·c=c·a；
（2）若a·b=b·c=c·a成立，△ABC是否为正三角形？

22．设函数f(x)=a·b,其中a=(2cosx,1), b=(cosx,sin2x), x∈R.
（1）若f(x)=1-,且x∈[,],求x；
（2）若函数y=2sin2x的图象按向量c=(m,n)(|m|<)平移后得到函数y= f(x)的图象,求实数m、n的值.

数学必修（4）章节综合练习参考答案
第一章《三角函数》综合练习
一、CAACA;DACBD;BC
二、13．; 14．－1; 15．; 16．1α＜.
x
y
1
-1
O
π
2π
-π
-2π
y=sinx
19．解：（1）实线即为f(x)的图象.

单调增区间为［2kπ+，2kπ+］，［2kπ+，2kπ+2π］（k∈Z），
单调减区间为［2kπ，2kπ+］，［2kπ+，2kπ+］（k∈Z），
f(x)max=1，f(x)min=-.
（2）f(x)为周期函数，T=2π.
20．解：由y=2(cosx－)2-及cosx∈[-1,1]得：
f(a)= ∵f(a)=,∴1－4a=a=［2,+∞
故--2a-1=,解得：a=-1,此时,y=2(cosx+)2+,当cosx=1时,即x=2kπ，k∈Z ，ymax=5.
21. (1)由表中数据，知周期T=12，∴，由t=0,y=1.5,得A+b=1.5; 由t=3,y=1.0,得b=1.0, ∴A =0.5,b=1. ∴振幅为.∴
（2）由题知，当y>1时才对冲浪者开放，∴，∴，
∴即12k-3in(-x)-cos(-x)|= |-sinx+cosx|-|-sinx-cosx|= - f(x)
∴ f(x)为奇函数
由于2π一定是f(x)的一个周期，以下在[0，2π]内作如下分析：

象限
一　　
二
三
四
区间与符号
[]
[]
[]
[，π]
[]
[]
[]
[]
sinx+cosx
+
+
-
-
-
+
sinx-cosx
-
+
+
+
-
-
f(x)
2sinx
2cosx
-2cosx
-2sinx
2sinx
从而有：
x
0

π

2π
f(x)
0

0
-
0

0
-
0
O
π
-π

-
x
y

∴ f(x)为最小正周期为π的奇函数，单调递增区间为[kπ-，kπ+]，单调递减区间为[kπ+，kπ+](k∈Z)
函数的草图如下：

第二章《平面向量》综合测试题
一、BCDBA；DDADB；BD
二、13.等边三角形；14.大小是4km/h,方向与水流方向的夹角为600 ; 15.a－2b ; 16.①③④
三、17.∵||=2||∴∴a,b－a , =a－b
18.⑴∵5e1+5e2= , ∴又有公共点B,∴A、B、D共线
⑵设存在实数λ使ke1+e2=λ(e1+ke2) ∴ k=λ且kλ=1 ∴k=
19.⑴由可知即AB⊥AC
⑵设D（x,y）,∴
∵ ∴5(x-2)+5(y-4)=0
∵ ∴5(x+1)－5(y+2)=0 ∴ ∴D()
20.⑴
⑵设P（x,y）

21. 当b与a+λb(λ∈R)垂直时，b·(a+λb)=0,∴λ= -
| a+λb |==
当λ= -时，| a+λb |取得最小值.
∴当b与a+λb(λ∈R)垂直时，a+λb的模取得最小值.
22. (1）a·b=2sin2x+11 c·d=2cos2x+11
（2）∵f(1-x)=f(1+x) ∴f(x)图象关于x=1对称
当二次项系数m>0时, f(x)在（1，）内单调递增，
由f(a·b)>f(c·d) a·b > c·d, 即2sin2x+1>2cos2x+1
又∵x∈[0,π] ∴x∈
当二次项系数m<0时,f(x)在（1，）内单调递减，
由f(a·b)>f(c·d) a·b > c·d, 即2sin2x+1<2cos2x+1
又∵x∈[0,π] ∴x∈、
故当m>0时不等式的解集为;当m<0时不等式的解集为、
第三章 《三角恒等变换》综合练习
一、CCBDA；CBBCD；CA
二、13．1-2a2; 14．; 15．cos2α; 16．1
三、17．
18．y=sin(2x-)-，ymax=
19．2α+β=(α+β)+ α, β=(α+β)- α，答案为2
20．sinθ=sin[-(-θ)]=，故cos2θ=
21．cosA = .(提示：若cos C＝,则sinA<0)
22．∵λ-=(λcosα+ sin(α+),λsinα- cos(α+))
∴|λ-|=
=
==.
由已知得：||=1，又∵|λ-|≥||，∴λ2+λ-2≥0，∴λ≥1或λ≤ -2.
数学必修（4）综合练习
一、CBBDA；ABDAB；DC
二、13．x∈R且x≠, x≠(k∈Z); 14．; 15．12; 16．y=sinx+1.
三、17．提示：切化弦.
18．.提示：=(α-)-().
A
B
O
D
C
a
b
c
19．（1）A=3，C=-1，ω=，φ=；（2）图略.增区间[12k-4,12k+2] (k∈Z)
20．(1)提示：=+=5(e1+e2);(2)k=±1.
21．(1)提示：a、b、c模相等，两两夹角均为1200；
(2)若a·b=b·c=c·a，则由a·b=b·cb(a-c)=0
∴b⊥(a-c),又a-c=+，以BA、BC为邻边作
平行四边形ABCD，则+=，因而b⊥.
∴四边形ABCD为菱形。即||=||，同理可证
||=||，从而证得△ABC为正三角形.
22．(1) f(x)=a·b=1+2sin(2x+),由1+2sin(2x+)=1-,得sin(2x+)=-，
∵x∈[,]，∴≤2x+≤.∴2x+=，即x=.
(2)函数y=2sin2x的图象按向量c=(m,n) 平移后得到函数y=2sin2(x-m)+n的图象,即函数y= f(x)的图象.由(1)得f(x)= 2sin2(x+)+ 1, ∵|m|<,∴m= -,n=1.

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