第一章 推理与证明.doc

北师大版高中数学选修2-2
第一章 推理与证明
一．知识要点
1．合情推理：
（1）定义： 前提为真时结论可能为真的推理，是一种或然性的推理，是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）、实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉推测某些结果的推理过程．
（2）注意：①前提为真时，结论可能为真，也可能为真．
②学会观察，想象，养成归纳和类比．
2．归纳推理：
（1）定义：根据一类事物的部分对象具有某种性质，推断出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理，叫作归纳推理．
（2）步骤：①通过观察个别情况发现某些相同性质；
②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题。简称为：观察，归纳，猜想。
（3）注意：①归纳推理是从特殊到一般，从具体到抽象的推理形式，因而，由归纳所得的结论超越了前提所包含的范围；
② 归纳是根据已知的条件（现象）推断未知的结论（现象），因而结论具有猜测的性质；
③归纳推理是以观察、经验或实验为基础的．

３．类比推理：
（1）定义：根据两类不同的事物之间具有某些类似（或一致）性，其中一类事物具有与另一类事物类似（或相同）的性质的推理，叫作类比推理（简称类比）．
（2）步骤：①找出两类事物之间的相似性或一致性．
②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．
（3）注意：①类比是用一类事物的特殊性推测另一类事物的特殊性．
②类比的结果是猜测性的，不一定正确．
４．演绎推理：
（1）定义：根据一般性的真命题（或逻辑规则）导出特殊性命题为真的推理，叫作演绎推理。演绎推理的特征是：当前提为真时，结论必然为真．
（2）注意：①在数学中，证明命题的正确性，都是使用演绎推理．而合情推理不能用作证明．
　　　　　　②演绎推理是一个命题由其他命题推出，其根据市形式结构之间的关系，而与命题的具体内容无关．
５． 综合法：
　（1）定义：由题设的已知条件出发，运用一系列有关已确定真实性的命题作为推理的依据，逐步推演而得到要证明的结论的思维方法．
（2）步骤：①从已知条件出发，推出证明结论所需的条件；
　　　　　　②由结论所需要的条件，再推出结论．
　　　特点：推理方向是有已知到求证，表现为由因到果．
　　　符号表示；．
（3）注意：①综合法是由因到果,便于叙述．
　　　　　　②综合法是顺推，条理清晰，易于表述，缺点是探路难，易生枝节．＼
６． 分析法：
　　（1）定义：由结论到已知，论证中步步寻找使结论成立的充分条件，如此逐步归结到已知的条件或已经成立的事实．
（2）步骤：①从待证的结论出发，寻找它成立的充分条件；
　　　　　　②由这个充分条件，再寻找它成立的充分条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实．
（3） 注意：①分析法标语寻找解题思路；
　　　　　②分析法是执果索因．
　　　　　③用分析法容易探路，且探路与表述合一，缺点是表述易错．
７．反证法：
（1）定义：假设结论的反面成立，在已知条件和＂否定结论＂这个新条件下，通过逻辑推理，得出与定义、公理、定理、题设、临时假定相矛盾或自相矛盾，从而判定结论的反面不能成立，即证明了命题的结论一定是正确的．
（2步骤：①分清命题的条件和结论；
　　　　　②作出与命题结论相矛盾的假设；　
　　　　　③由假设出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结果；
　　　　　④断定产生矛盾结果的原因在于开始做的假定不真，于是原结论成立，从而间接地证明命题为真．
（3） 注意：①反证法与证眤否命题是不同的；
　　　　　②反证法得出的矛盾可以是：与已知矛盾；与公理、定理、公式或已被证明了的结论矛盾；与公认的简单事实矛盾；自相矛盾．
８． 数学归纳法：
（1） 定义：设是与自然数有关的命题的集合,如果：(1)证明起始命题（或）成立，（2）在假设成立的前提下，推出也成立，那么可以断定对于一切正整数（或自然数）成立．
数学归纳法的适用范围仅限于与自然数有关的命题，它是帮助我们判断种种与自然数ｎ有关的猜想的正确性．
（2） 步骤：①第一步：证明当取第一个值时结论正确。
　　　　　②第二步：假设当时结论正确，证明当时结论也正确。
　　　　　　综合第一步，第二步，对于任何命题均正确．
（3） 注意：用数学归纳法可证明有关的正整数的问题，但并不是所有的正整数问题都必须用数学归纳法证明，学习时要具体问题具体分析．
（4） 应用：证明等式；证明不等式；证明几何命题；证明整除性命题，证明其它数学问题．
二． 典型例题：
　　例1已知数列的通项公式，，试通过计算的值，推测出的值。
【学生讨论：】（学生讨论结果预测如下）
（1）

由此猜想，
例2．类比平面内直角三角形的勾股定理,试给出空间中四面体性质的猜想．

直角三角形
 3个面两两垂直的四面体
∠C＝90°
3个边的长度a，b，c
2条直角边a，b和1条斜边c
 ∠PDF＝∠PDE＝∠EDF＝90°
4个面的面积S1，S2，S3和S
3个“直角面” S1，S2，S3和1个“斜面” S

例3、已知a, b, c是不全相等的正数，
求证：a(b2 + c2) + b(c2 + a2) + c(a2 + b2) > 6abc
分析：不等式左边含有“a2+b2”的形式，我们可以运用基本不等式a2+b2≥2ab;还可以这样思考：不等式左边出现有三次因式：a2b,b2c,c2a,ab2,bc2,ca2的“和”，右边有三正数a,b,c的“积”，我们可以运用重要不等式：a3+b3+c3≥3abc.
证：∵b2 + c2 ≥ 2bc , a > 0 , ∴a(b2 + c2) ≥ 2abc
同理：b(c2 + a2) ≥ 2abc , c(a2 + b2) ≥ 2abc ∴a(b2 + c2) + b(c2 + a2) + c(a2 + b2) ≥ 6abc
当且仅当b=c,c=a,a=b时取等号，而a, b, c是不全相等的正数
∴三式不同时取等号，三式相加得 a(b2 + c2) + b(c2 + a2) + c(a2 + b2) > 6abc
例4、设x > 0，y > 0，证明不等式：
证一：（分析法）所证不等式即：
即：
即：
只需证：
∵成立 ∴
证二：（综合法）∵

∵x > 0，y > 0， ∴
例5、若x, y > 0，且x + y >2，则和中至少有一个小于2。
反设≥2，≥2 ∵x, y > 0，可得x + y ≤2 与x + y >2矛盾，∴原式成立

例6、证明等差数列通项公式：
证明：(1) 当n＝1时等式成立；
(2) 假设当n＝k时等式成立, 即, 则=, 即n＝k＋1时等式也成立．
(3) 于是, 我们可以下结论： 等差数列的通项公式对任何n∈都成立．
例7、用数学归纳法证明：1＋3＋5＋…＋（2n－1）＝．

三、基础检测：
测 试 题
一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
1、 下列表述正确的是（ D ）.
①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理；③演绎推理是由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理；⑤类比推理是由特殊到特殊的推理.
A．①②③； B．②③④； C．②④⑤； D．①③⑤.
2、下面使用类比推理正确的是 （ C ）.
A.“若,则”类推出“若,则”
B.“若”类推出“”
C.“若” 类推出“ （c≠0）”
D.“” 类推出“”
3、 有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线；已知直线
平面，直线平面，直线∥平面，则直线∥直线”的结论显然是错误的，这是因为 （ A ）
A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误
4、用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是（ B ）。
(A)假设三内角都不大于60度； (B) 假设三内角都大于60度；
(C) 假设三内角至多有一个大于60度； (D) 假设三内角至多有两个大于60度。
5、在十进制中，那么在5进制中数码2004折合成十进制为 （ B ）
A.29 B. 254 C. 602 D. 2004
6、利用数学归纳法证明“1＋a＋a2＋…＋an＋1 =， (a≠1，n∈N)”时，在验证n=1成立时，左边应该是 （ C ）
(A)1 (B)1＋a (C)1＋a＋a2 (D)1＋a＋a2＋a3
7、某个命题与正整数n有关，如果当时命题成立，那么可推得当时命题也成立. 现已知当时该命题不成立，那么可推得 （ A ）
A．当n=6时该命题不成立 B．当n=6时该命题成立
C．当n=8时该命题不成立 D．当n=8时该命题成立
8、用数学归纳法证明“”（）时，从 “”时，左边应增添的式子是 （ B）
A． B． C． D．
9、已知n为正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设为偶数）时命题为真，则还需要用归纳假设再证 （B ）
A．时等式成立 B．时等式成立
C．时等式成立 D．时等式成立
10、数列中，a1=1，Sn表示前n项和，且Sn，Sn+1，2S1成等差数列，通过计算S1，S2，S3，猜想当n≥1时，Sn= （ B ）
A． B． C． D．1－
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.
11、一同学在电脑中打出如下若干个圈:○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●…若将此若干个圈依此规律继续下去,得到一系列的圈,那么在前120个圈中的●的个数是 。
12、 类比平面几何中的勾股定理：若直角三角形ABC中的两边AB、AC互相垂直，则三角形三边长之间满足关系：。若三棱锥A-BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两互相垂直，则三棱锥的侧面积与底面积之间满足的关系为 .
13、从1=1，1-4=-(1+2),1-4+9=1+2+3,1-4+9-16=-(1+2+3+4),…,推广到第个等式为______________________
14、设平面内有ｎ条直线，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用表示这ｎ条直线交点的个数，则= ；
当ｎ＞４时，＝ （用含n的数学表达式表示）。
三、解答题：本大题共5题，共44分。
15、（12分）观察以下各等式：

，
分析上述各式的共同特点，猜想出反映一般规律的等式，并对等式的正确性作出证明．
16、（8分）求证： +>2+。
17、（10分）已知正数成等差数列，且公差，求证：不可能是等差数列。
18、（14分）已知数列{an}满足Sn＋an＝2n＋1, (1) 写出a1, a2, a3,并推测an的表达式；
(2) 用数学归纳法证明所得的结论。

第 7 页 共 7 页