用关系式表示变量的关系.doc

2　用关系式表示的变量间关系

教学目标：
1.经历探索某些图形中变量之间的关系的过程,进一步体会一个变量对另一个变量的影响,发展符号感.
2.能根据具体情境,用关系式表示某些变量之间的关系.
3.能根据关系式求值,初步体会自变量和因变量的数值对应关系.
教学方法：
1.如何将生活中的实际问题转化为数学问题.
2.如何用数学方法解决实际生活中的问题.

技能：培养学生动手的能力,探索问题、研究问题的能力及应用数学知识的能力.通过教学让学生领悟探索问题和研究问题的方法.

重点：　通过用关系式表示变量之间的关系,体会变量之间的数值对应关系.

难点　将具体问题抽象成数学问题并将它用关系式表示出来.

教学手段　多媒体课件.
教学过程：
新课导入;
导入一:
【活动内容】
复习用表格表示两个变量之间的关系.
【问题】　随着手机的普及,现代人们的通信越来越便捷.打电话要交话费,下表是某同学家长调取的几次通话时间和相应通话费用:
通话时间/分钟
1
2
3
4
5
6
通话费用/元
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
(1)你能说出表格中的两个变量哪一个是自变量,哪一个是因变量吗?
(2)随着通话时间的增加,通话费用是如何变化的?
(3)如果用字母x表示通话时间,用字母y表示通话费用,你能用字母表示它们之间的关系吗?
[处理方式]　通过熟悉的事物让学生回顾上节课所学,理解变量、自变量、因变量、常量等概念;看懂表格,准确得出信息,独立完成解答.(板书课题:2　用关系式表示的变量间关系)
[设计意图]　电话是现代生活中最常见的通信工具,通过这个情境更能够激发学生的学习兴趣,既复习了上节课用表格表示变量间的关系,又引出了关系式的概念并进行了简单的应用,让学生初步经历了用关系式表示变量间的关系,培养学生学习数学、应用数学的意识.
导入二:

夏天到了,小明的妈妈让小明到鞋店去买双凉鞋,小明心想,何不用刻度尺量量自己的脚有多长,再去鞋店?结果小明用刻度尺量得自己的脚长25厘米,就急忙去了鞋店,老板问小明:你穿多大的鞋?小明顺口说:我穿二五的.鞋店老板愕然,对小明说:你怎么穿这么小的码呀!小明说:我来之前,在家刚量完,是25厘米.这么一说,老板恍然大悟,对小明说:我问你穿的“码”数,你告诉我的却是“厘米”数.鞋店老板喜欢和学生经常讨论数学问题,他心想,何不让小明找出“码”数与“厘米”数的关系式.于是,他告诉了小明:你观察下表,如果你能找出“码”数与“厘米”数的关系来,我就送你一双鞋.
厘米
22
22.5
23
23.5
24
24.5
码
34
35
36
37
38
39
问题1
如果设鞋子的“厘米”数为x,“码”数为y,那么自变量和因变量分别是什么?
问题2
当“厘米”数每增加0.5厘米,“码”数怎样变化?
问题3
随意给出一个“厘米”数,如何快速找到所对应的“码”数呢?
[处理方式]　问题1,2由学生口答,问题3由于上学期学习探索规律的时候,探索过这样的问题,引导学生找到厘米x和码y之间的等量关系y=2x- 10.
[设计意图]　通过生活情境激发学生利用数学解决生活问题的欲望,由于上学期学习过探索规律,能理解它们的数量关系,但是从变量的角度来理解,又体现了表示变量间关系的一种方法,使学生又有了新的认识.

新
　　[过渡语]　我们能用表格的形式反映出两个变量之间的关系,还能不能用另一种形式表达呢?
探究活动1　变化的三角形
【问题】　三角形ABC底边BC上的高是6 cm.当三角形的顶点C沿底边所在直线向点B运动时,仔细观察三角形面积的变化.

(1)在三角形ABC变化的过程中,自变量、因变量各是什么?
(2)如果三角形的底边长为x(cm),那么三角形的面积y(cm2)可以表示为　　　　; 
(3)当底边长从12 cm变化到3 cm时,三角形的面积从　　　　cm2变化到　　　　cm2; 
(4)完成下表.
x/cm
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
y/cm2

[处理方式]　鼓励学生大胆去讨论、思考、尝试,教师及时点拨、评价学生探索的结果,帮助学生认识自我,建立信心.

y=3x表示了三角形底边长x和三角形面积y之间的关系,它是变量y随x变化的关系式.
关系式是我们表示变量之间关系的另一种方法,利用关系式(如y=3x),我们可以根据任何一个自变量值求出相应的因变量的值.
[设计意图]　利用多媒体课件展示三角形的变化,让学生直观地感受两个变量,引导学生对关系式进行猜测、探究,提高学生的兴趣,帮助学生增强信心.利用关系式计算并进行填表,让学生体会关系式的优点:字母的广泛性.感受自变量和因变量的数值对应关系.
探究活动2　表格和关系式对比
思路一
【活动内容】
小组内交流两种表示变量关系的方法的异同.
【归纳总结】
1.y=3x表示了上图中三角形底边长x和面积y之间的关系,它是因变量y随自变量x变化的关系式.
2.关系式是我们表示变量之间关系的另一种方法.
关系式法的优点.
利用表格表示的变量间关系虽能直观地知道因变量和自变量间的对应关系,但是不够全面,不能找出对于任意一个自变量的值所对应的因变量的值.

[处理方式]　教师总结学生的探究成果,给出关系式法的名称,并指出关系式法的优点和利用方法,链接知识点——求代数式的值,从而降低新知识的难度.
思路二
【活动内容】
仔细理解两种表示变量关系的方法,并完成下表.
表格和关系式都可以表示两个变量间的关系,各有优点.具体见表格:

优点
缺点
二者关系
表格
直观反映两个变量部分数值的对应关系及变化趋势
变量的取值个数有限,估计时比较粗略
(1)利用表格可以写出关系式;
(2)利用关系式可以列表格
关系式
准确反映两个变量间的关系;已知一个变量的值,可以求出另一变量的值
变量间的对应关系不太直观
[处理方式]　加强师生、生生、组内、组间的交流合作.
[设计意图]　通过对比两种方法表示变量间的关系,总结归纳每种方法的优点和缺点,加深了学生对这两种表示变量间关系的方法的理解,对所学内容及时地回顾,有利于知识系统化,发展学生的辩证唯物主义.
探究活动3　关系式表示两变量关系的应用
【做一做】

如图所示,圆锥的高是4 cm,当圆锥的底面半径由小到大变化时,圆锥的体积也随之发生了变化.
(1)在这个变化过程中,自变量、因变量各是什么?
(参考答案:自变量为圆锥的底面半径,因变量为圆锥的体积)
(2)如果圆锥的底面半径为r(cm),那么圆锥的体积V(cm3)与r的关系为　　　　; 

(3)当底面半径由1 cm变化到10 cm时,圆锥的体积由　　　　cm3变化到　　　　cm3. 

[处理方式]　学生分小组进行探究活动,完成三个问题后在小组内进行交流、讨论.教师巡视指导学生解答,及时进行点拨,提示圆锥体积公式,最后公布答案.
[设计意图]　在三角形面积探索的基础上,进行圆锥体积变化的探索,进一步熟悉用关系式表达变量之间的关系.
【议一议】
你知道什么是“低碳生活”吗?“低碳生活”是指人们生活中尽量减少所耗能量,从而降低碳(特别是二氧化碳)的排放量的一种生活方式.

(1)用字母表示家居用电的二氧化碳排放量的公式为　　　　,其中的字母表示的意义为:　　　　; 
(y=0.785x,y表示二氧化碳的排放量(kg),x表示的是耗电量(kW·h))
(2)在上述关系式中,耗电量每增加1 kW·h,二氧化碳排放量增加　　　　,当耗电量从1 kW·h增加到100 kW·h时,二氧化碳排放量从　　　　增加到　　　　; 
(耗电量每增加1 kW·h,二氧化碳排放量增加0.785 kg,当耗电量从1 kW·h增加到100 kW·h时,二氧化碳排放量从0.785 kg增加到78.5 kg)
(3)小明家本月大约用电110 kW·h、天然气20 m3、自来水5 t、耗油75 L,请你计算一下小明家这几项的二氧化碳排放量.
(提示:根据上面的排碳计算公式,用电排放的二氧化碳数量为0.785×110=86.35(kg);用天然气排放的二氧化碳数量为20×0.19=3.8(kg);用自来水排放的二氧化碳数量为5×0.91=4.55(kg);开私家车耗油排放的二氧化碳数量为75×2.7=202.5(kg).以上各项相加得297.2 kg.即小明家这几项的二氧化碳排放量为297.2 kg)
[处理方式]　学生观察图形中的排碳计算公式,熟悉等量关系和单位,可能对低碳生活有新的认识.
[设计意图]　“低碳生活”对于七年级的学生来说还很陌生,通过对“低碳生活”的知识的学习,不仅拓展了学生的知识视野,也发展了学生数学表达的能力,如用字母表示变量,把语言表示转化为关系式等,同时也发展了学生的社会责任感.跟踪练习的设置,不仅是对关系式表示变量间关系的练习,也丰富了学生的知识,更为学生对比表格法和关系式法表示变量间的关系提供了例子.
[知识拓展]　
1.关系式是用含自变量的代数式表示因变量的等式.
2.利用关系式表示变量之间的关系,最大的优点在于能比较方便地求出自变量为任意一个值时,相对应的因变量的值.利用表格表示变量之间的关系时,对于表中没有给出的相应值,在需要时往往只能估计,很难达到足够的精确度,使用关系式则没有这样的缺点.
3.利用关系式求因变量的值时,实际上就是求代数式的值.
4.在一些问题中,自变量只能取某个范围内的值.例如,在解决关于三角形面积的问题时,自变量只能为正数.

1.我们一共学习了两种表示变量间的关系的方法:表格和关系式.
2.表格和关系式在表示变量间关系时各有优点和缺点.
3.书写关系式时应注意:
(1)涉及图形的面积或体积时,写关系式是利用面积或体积公式;
(2)关系式一定要将表示因变量的字母单独写在等号的左边,含有自变量的代数式写在等号的右边;
(3)已知一个变量的值求另一个变量的值时,就是代入关系式求值,一定要分清自变量和因变量.