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机械产品生产计划的优化设计
当今世界，瞬息万变。人们的生活节奏也越来越快，各种新产品层出不穷，已经进入了机械化时代。机械产品生产计划问题已经成为各大厂家关注的焦点。产品生产的原料配置以及销售计划急需优化。本文对一机械产品生产计划的利润进行了求解，并优化了产品生产方案，增大了产品的利润。
在合理的假设前提下，对机械产品生产计划进行分析，利用生产量、库存量、销售量之间的关系建立线性整数规划模型。运用lingo进行求解，得出最优的生产、库存、销售方案。
在原计划不变的条件下，即不改变机器设备定月检修的方案，对数据进行灵敏度分析，得出部分产品的销售价格可以上调；再固定各产品的销售价格，从设备的角度分析增加利润的，建立模型并求解，得出优化的机器设备检修方案。
把部分产品上调后的价格作为产品的价格销售方案，把调整后的设备检修表作为优化后的检修方案，建立优化线性整数规划模型。用lingo求得优化后的最大利润。
对机械产品生产逐步进行分析，从销售的价格、设备的检修等多角度寻求增加最大利润的方法。最终得出最优的生产计划方案。
关键字：机械产品生产 生产量、库存量、销售量 lingo求解 线性整数规划模型 设备检修

1．问题提出
机械加工厂生产7种产品（产品1到产品7）。该厂有以下设备：四台磨床、两台立式钻床、三台水平钻床、一台镗床和一台刨床。每种产品的利润（元/件，在这里，利润定义为销售价格与原料成本之差）以及生产单位产品需要的各种设备的工时（小时）如下表。表中的短划表示这种产品不需要相应的设备加工。
表3 产品的利润（元/件）和需要的设备工时（小时/件）
产品
1
2
3
4
5
6
7
单位产品利润
10.00
6.00
3.00
4.00
1.00
9.00
3.00
磨 床
0.50
0.70
--
--
030
0.20
0.50
立 钻
0.10
2.00
--
0.30
--
0.6
--
水 平 钻
0.20
6.00
0.80
--
--
--
0.60
镗 床
0.05
0.03
--
0.07
0.10
--
0.08
刨 床
--
--
0.01
--
0.05
--
0.05

从一月份至六月份，每个月中需要检修的设备是（在检修的月份，被检修的设备全月不能用于生产）：
表4 设备检修计划
月份
计划检修设备及台数
月份
计划检修设备及台数
一月
一台磨床
四月
一台立式钻床
二月
二台立式钻床
五月
一台磨床和一台立式钻床
三月
一台镗床
六月
一台刨床和一台水平钻床
每个月各种产品的市场销售量的上限是：
表5 产品的市场销售量上限（件/月）
产品
1
2
3
4
5
6
7
一月
500
1000
300
300
800
200
100
二月
600
500
200
0
400
300
150
三月
300
600
0
0
500
400
100
四月
200
300
400
500
200
0
100
五月
0
100
500
100
1000

300
0
六月
500
500
100
300
1100
500
60
每种产品的最大库存量为100件，库存费用为每件每月0.5元，在一月初，所有产品都没有库存；而要求在六月底，每种产品都有50件库存。工厂每天开两班，每班8小时，为简单起见，假定每月都工作24天。
生产过程中，各种工序没有先后次序的要求。
问题1：制定六个月的生产、库存、销售计划，使六个月的总利润最大。
问题2：在不改变以上计划的前提下，哪几个月中哪些产品的售价可以提高以达到增加利润的目的。价格提高的幅度是多大？
问题3：哪些设备的能力应该增加？请列出购置新设备的优先顺序。
问题4：是否可以通过调整现有设备的检修计划来提高利润？提出一个新的设备检修计划，使原来计划检修的设备在这半年中都得到检修而使利润尽可能增加。
最优设备检修计划问题
对案例3中的生产计划问题。构造一个最优设备检修计划模型，使在这半年中各设备的检修台数满足案例3中的要求而使利润为最大。
2．模型假设与说明
(1).假设工厂工人每月工作24天；
(2).在进行部分产品价格上调时，机器设备的检修方案不变；
(3)在优化检修设备方案时，产品的价格是上涨后的价格。

3．符号说明
i: 表示产品；
j: 表示月份；
m: 表示机器设备；
Aij: 表示第i中产品在第j个月的产量；
Bij: 表示第i中产品在第j个月的库存量；
Cij: 表示第i中产品在第j个月的销售量；
Dmi: 生产i中产品需要的m种设备时间；
Emj: m中设备在第j月的使用时间；
Fij：第i中产品在第j月的销售上限；
Pi: 第i中产品每件的利润；
4．问题分析和模型建立
4.1 模型分析
4.1.1本题要求制定出六个月的生产、库存、销售计划并求出总利润，为了增加利润，将产品的售价提高，求出提高的价格幅度，增加设备的能力，并购置新设备，调整设备的检修方案以增加利润。利润=售价-成本价-产品的库存费用。此题目中没有给出产品的成本价，因此，我们在求最大利润是直接用产品的销售总价减去产品的库存费用。由于工厂每天开两班，每班8小时，假定每月工作24天，结合检修计划表，由此可以算出每种机器设备每月的使用时间（矩阵Emj，求解如下），建立一个机器生产设备使用的约束条件，每种产品每个月的库存量小于等于100,并要求在第六个月底，每种产品都有50件库存，可以建立两个库存约束条件。产品在销售时，每月的产品销售量为当月的产量加上上月的库存量要小于销售上限。由于第一月无上月的库存量，故直接是产品生产产量小于销售上限。建立销售的约束条件。利用lingo建立一个整形规划的数学模型。
4.1.2提高部分产品的销售价来提高总利润。利用（1）中的建立的模型球的的解，进行灵敏度分析来解答。将“General Solver”选项卡中的“Dual Computation”下拉项修改为“Prices & Ranges”。然后，我们点“Solve”运行程序，运行完之后，回到模型界面，点击“lingo”菜单下的“range”选项可以进行灵敏度分析。
4.1.3增加设备的能力来提高利润，通过看影子价格来求出答案。
4.1.4由于设备要定时的检修，在检修时设备无法使用，我们可以优化设备检修计划来增加利润。
4.1.5 利用（2）求出的增加部分产品的价格和（4）优化的机器设备的检修方案。重新建立模型。进行求解。
4.2 模型建立
在求解总利润时，建立目标函数
把=10 6 3 4 1 9 3带入目标函数中得

设备时间约束为
(1)

库存约束为

（2） （3）
销售约束为
（4）
（j>=1） （5）

A和B均是整数矩阵
将约束条件用矩阵表示为
* < （1）
<= （2）
>= （3）
（4）
+--<=(5)
运用lingo求解
5．模型求解5．1 模型求解
5．1 运行后部分数据截取如下（具体数据见附件）：
Objective value: 32468.00
Total solver iterations: 37
A( 1, 1) 600.0000 0.000000
A( 1, 2) 0.000000 0.000000
A( 1, 3) 0.000000 0.000000
A( 1, 4) 200.0000 0.000000
A( 1, 5) 0.000000 0.000000
A( 1, 6) 550.0000 0.000000
…………
Aij 第i中产品在第j个月的生产量

Bij 第i种产品在第j个月中的库存量

Cij 第i种产品在第j个月的销售量
Ci1=Ai1-Bi1
Cij=Aij+Bi,j-1-Bij

5.2 进行灵敏度截取相关数据

Ranges in which the basis is unchanged:

Objective Coefficient Ranges
Current Allowable Allowable
Variable Coefficient Increase Decrease
DEMAND( 1) 0.0 0.0 INFINITY
DEMAND( 2) 0.0 0.0 INFINITY
DEMAND( 3) 0.0 0.0 INFINITY
DEMAND( 4) 0.0 0.0 INFINITY
DEMAND( 5) 0.0 0.0 INFINITY
A( 1, 1) 10.00000 INFINITY 9.300000
A( 1, 2) 10.00000 INFINITY 8.500000
A( 1, 3) 10.00000 INFINITY 0.0
A( 1, 4) 10.00000 0.5611111 9.700000
………
以上数据分析得出结论
（1） 产品1的1、2、3月份增加为无穷大；4 、5 、6月份分别增加0.5611111 0.5388889 50.70000
（2） 产品2的1、2、3、4、5、6月份都增加 6
（3） 产品3 的1、2、3、4、5、6月份都增加3
（4） 产品4的1、2、3、4、5、6月份都增加4
（5） 产品5的1、2、3、4、5、6月份分别增加 1
（6） 产品6的1、2、3、4、5、6月份分别增加 9
（7） 产品7的1、2、3、4、5、6月份分别增加 3
5.3 设备的能力增加
对数据分析，得出结论，
(1).当立钻在第二个月能增加使用1小时时，则利润可以增加100元, 当立钻在第四个月能增加使用1小时时，则利润可以增加3元，当立钻在第五个月能增加使用1小时时，则利润可以增加1.666667元，总共增了104.666667元；
(2).当水平钻在第一个，第五个，第六个月各能增加使用1小时时，则利润分别可以增加1元、0.361111元、1元，总共增了2.361111元；
(3).当镗床在第三个月能增加使用1小时时，则利润可以增加200元；
(4).当刨床在第六个月能多使用1小时时，利润增加220元。
通过比较利润的增加值可以得出，需增加设备 刨床、镗床、立钻、水平钻。
5.4优化机器设备的检修方案
(1).由5.3 (1)中立砖在第二月增加使用时间可以增加利润可得出二月份检修的2台立钻1台放在一月份，1台放在三月份检修，这样可以增加利润100元；

(2).由5.3(2) 中水平钻第六个月各能增加使用1小时可以增加利润可得中六月份检修的水平钻在三月份检修；
（3）5由.3 (3)中镗床在第三个月能增加使用1小时时，则利润可以增加200元可得，把在三月份检修的镗床放在六月份检修；

(4).由5.3(4)中刨床在第六个月能多使用1小时时，利润增加220元可得，把在六月份检修的刨床在三月份检修。
由此可以得出机器设备的最大使用时间表

应调整为

由此得到
Global optimal solution found.
Objective value: 37025.00
Total solver iterations: 38

Variable Value Reduced Cost
DEMAND( 1) 0.000000 0.000000
DEMAND( 2) 0.000000 0.000000
DEMAND( 3) 0.000000 0.000000
DEMAND( 4) 0.000000 0.000000
………
优化后的设备检修表为：

月份
设备的检修方案
1
一台立钻和一台磨床
2
无检修设备
3
一台刨床和一台立钻和一台水平钻床

4
一台立式钻床

5
一台磨床和一台立式钻床

6
一台镗床

6． 模型进一步分析
结合5.2 中部分产品价格的增加以及5.4中设备的检修优化，可以建立如下优化模型

其中

运行结果截取部分数据为：
Global optimal solution found.
Objective value: 40891.00
Total solver iterations: 40

Variable Value Reduced Cost
DEMAND( 1) 0.000000 0.000000
DEMAND( 2) 0.000000 0.000000
DEMAND( 3) 0.000000 0.000000
DEMAND( 4) 0.000000 0.000000
……
故最大利润为：40891.00（元
提升主要由模型数据中的产品部分价格增加和机器设备检修方案的调整决定。
7． 模型评价
(1) 针对题目中所给出的数据，考虑了生产量、库存量以及销售量建立了最大利润的目标函数模型。
(2).运用lingo对模型进行求解，并进行灵敏度分析，调整部分产品价格。
(3).用调整方案后的数据作为模型优化数据，重新求得最大利润。