任保平《宏观经济学》笔记(第3章 经济增长理论及其基准模型).doc

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任保平《宏观经济学》
第二篇 宏观经济学的长期模型

第三章 经济增长理论及其基准模型

复习笔记

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一、经济增长的基本问题
经济增长是指一个国家或地区在一定时期内所生产的产品和服务总量不断增加的过程，它是反映一个国家或地区的经济实力和生活水平最重要的指标。
1．经济增长的特征
（1）按人口计算的产出高。产出增长率、人均增长率与人均产出增长率都高。
（2）生产率增长的速度很高，技术进步促进了产出的增长。
（3）经济结构的变革速度比较高。
（4）社会结构与意识形态改革迅速。城市化进程加快，法律意识增强。
（5）经济增长在世界范围内扩大。
（6）各国生产率水平的差异、制度的差异、经济增长因素的差异导致世界各国的经济增长率不平衡。
2．经济增长的要素
（1）自然资源。自然资源主要包括耕地、石油、天然气、森林、水力和矿产资源等。许多国家凭借其富的资源跻身于高收入国家之列，但自然资源的拥有量并不是经济发展取得成功的必要条件。
（2）人力资源。劳动力投入包括劳动力数量和劳动力的技术水平，人力资源是一国经济增长最重要的因素。
（3）资本资源。资本资源包括物质资本投资、基础设施建设和金融资本资源等。
（4）技术进步。技术进步在经济增长中的作用体现在产出效率的提高。
3．经济增长的机制
经济增长的机制与规模报酬这个概念密不可分，规模报酬是指各种投入要素按相同比例变化时带来的产量变化。生产一种商品的技术可以描述为一个所需投入的齐次生产函数：

如果所有的投入要素都变化倍，产量同方向变化倍。当时，函数是线性齐次生产函数。当时，
如果，为规模报酬递增；
如果，为规模报酬不变；
如果，为规模报酬递减。
当时，如果，为规模报酬递增，其余以此类推。
新古典经济增长理论和经济增长模型以规模报酬不变为假设前提，而新增长理论则将规模报酬递增引入模型。
4．经济增长的度量
在宏观经济学中，经济增长通常用以固定价格计算的某种表示人均国民收入的指标的变化率来衡量，目前应用最广泛的是以不变价格计算的国内生产总值，即实际的国内生产总值。经济增长应当以实际国内生产总值的增长率来度量。如果考虑人口变动的影响，则采用人均国内生产总值来度量。此外，国民生产总值与国内净产值等变量也可以用来度量经济增长。

二、早期的经济增长模型：哈罗德-多马模型
哈罗德—多马模型奠定了现代经济增长理论的基本框架，也标志着经济增长理论研究在主流经济学中的复兴。
1．哈罗德模型
哈罗德模型以凯恩斯的收入决定为理论基础，在凯恩斯的短期分析中整合进经济增长的长期因素，主要研究了产出增长率、储蓄率和资本产出比三个变量之间的相互关系，认为资本积累是经济持续增长的决定性因素。
（1）哈罗德模型的基本假定
①假定消费者边际储蓄倾向为，且与平均储蓄倾向相等，储蓄。
②假定劳动力不变、外生的速率增长，即。
③假定不存在技术进步和资本存量的折旧。
④假定生产函数具有固定系数的性质，生产一单位产出要的劳动力和资本唯一给定，即

其中，乘数是劳动对总产出的比率；乘数是不变的资本—产出比，即。
进一步扩展假定，视平均的和边际的资本—产出比是一致的，则有。如果，则所有的工人和机器都得到充分的利用；如果，则只有的资本得到利用，其余被闲置；如果，则只有的劳动得到利用，其余的处于失业状态。
（2）哈罗德模型的基本方程
根据凯恩斯的收入决定论，只有当时，经济活动才能达到均衡状态。由于假定资本存量不存在折旧，则资本存量的增量，从而有：

两边同除以产出增量，可得：

因为，且则进一步有：

令，可得哈罗德模型的基本方程为：

（3）有保证的增长路径
经济的移动均衡增长路径是为了实现完全的经济均衡，工业与商业投资决策所必须始终遵守的必要的均衡增长路径，它要求全部净储蓄能够连续地被投资所吸收。哈罗德利用加速器原理，得出产出的有保证的增长率，有：

其中，为有保证的增长率；为意愿的充分就业下的储蓄率；为追求利润极大化的企业家认为是理想的边际资本—产出比。
（4）经济长期均衡增长的条件
①经济必须在每一年使投资等于充分就业的储蓄，即经济的实际增长率必须等于有保证的增长率。即。
②为保持连续充分就业，经济增长率必须等于实际劳动力增长率加上劳动生产率的增长率，即自然增长率。即。其中，为自然增长率；为基本假定中的劳动力增长率；为劳动生产率的增长率。
综上所述，一个经济只有当它的实际增长率同时等于有保证的增长率和自然增长率时，才能实现连续的充分就业，实现经济长期均衡的增长。当以上三个经济增长率相等时，经济增长便进入到了罗宾逊夫人所说的“黄金时代”。
（5）哈罗德问题
①哈罗德模型的刀刃性质
哈罗德模型把经济增长的路径设计为储蓄转换为投资，从而形成了刀刃上的增长，即经济不能自行纠正实际增长率与有保证的增长率之间的偏离，而且还会累积性地产生更大的偏离。
②哈罗德模型中增长的均衡可能不存在
如果有保证的增长率大于自然增长率，就意味着储蓄或投资率超过了人口增长和技术进步允许的水平，经济将往下向自然增长率偏离，陷入萧条之中；反之，则产出将往上向自然增长率接近，经济不断地走向繁荣。
2．多马模型
多马模型与哈罗德模型最大的区别就在于哈罗德模型注重完全就业，而多马模型更强调投资的双重性，即投资不仅是创造收入的工具，而且也能增加生产能力。
多马认为存在着一种均衡增长率，即能满足一个时期的实际产出增量恰好等于该时期最高潜在产出增量的增长率，并且总产量的均衡增长率又正好与投资增长率相等。假定在一定的技术条件下，用来表示已知投资水平下生产潜在能力的变化率，为常数。则，从而有，。
根据凯恩斯的乘数理论，实际产量增量等于投资乘以投资乘数，而。因此，实际产出的增量公式就可写为：

进而有，经变换后可得：

从而有：

我们用表示均衡增长率则其基本公式为：

三、经济增长的基准模型：新古典模型
1．基本假定
（1）排除市场和企业，仅考虑一个生产者的经济。假定经济中仅有和两种投入，生产函数形式为：。生产函数对时间的依赖则反映了技术进步的影响。
（2）假定一个单部门生产技术，其中产出是一种既可用来消费也可用于投资创造新物质资本的同质产品。
（3）假定经济是封闭的，家庭既不能购买也不能向国外出售国外的产品或资产。
（4）假定储蓄率是外生给定的，是一个常数。
（5）假定资本折旧率是一个常数。在一个时点上物质资本存量的变化为：

变量上方的一点表示对时间的导数，代表相邻期资本存量的变化，且有。
（6）假定人口以不变外生的速率增长，，且每个人的工作强度是给定的。如果把初始的人口数和每个人的工作强度均标准化为1，那么时的人口就为。
2．基本的索洛-斯旺模型
（1）新古典生产函数
如果忽略技术进步，即假定独立于，生产函数可以采取如下形式：

新古典的生产函数假设对每种投入的报酬递减、规模报酬不变以及投入之间具有某种正的且平滑的替代弹性。也就是说，新古典生产函数满足以下三个性质：
①对所有和，生产函数对每一投入具有正的且递减的边际产品：
，
，
②呈现出不变规模报酬，满足一次齐次性：

③满足稻田条件，即随着资本或劳动趋于零，资本或劳动的边际产品趋于无穷大；随着资本或劳动趋于无穷大资本或劳动的边际产品趋于零：

（2）资本积累的基本动态方程
在不变的资本折旧率下，可得资本积累的动态方程为：

为研究人均产出的变化过程，以劳动力人均资本重新表述资本积累方程：

其中，。这个非线性方程就是索洛-斯旺模型的基本微分方程。如图3-1所示。假定人均初始资本存量的经济，则人均投资量等于在此点的曲线的高度。人均消费量等于此点上和曲线之间的垂直距离。的变化由与之间的垂直距离给定。曲线与线之间的交点决定了资本的稳态水平。

图3-1 索洛-斯旺模型
（3）稳态增长
①稳态的含义
稳态是一种其中每一变量都以不变速率增长的状况。在索洛—斯旺模型中，稳态对应于，式中的，也就是图3-1中曲线与线之间的交点，满足如下条件：

因为在稳态中是不变的，相应的人均产出和人均消费也就分别固定。这就意味着在稳态中变量、和的水平以不变的外生的人口增长率的速率增长。
②投资率增加对稳态的影响
如图3-2所示，假定人均产出已经达到稳定状态值，消费者把投资率从提高到，这使得曲线向上移动到，直到，此时所对应的人均资本量达到一个新的更高的值。投资率的增加最终导致人均产出的增加。

图3-2 投资率的增加
③人口增长率增加对稳态的影响
如图3-3所示，假定经济体已经达到稳定状态，人口增长率从增加到，曲线将绕原点向左旋转至。对应于初始稳态下的人均资本量，人口增长后的人均投资量低于为保持人均资本量不变所必需的数量，从而资本—劳动比率开始下降，一直持续到为止。此时所对应的人均资本量为，低于人口增长前的数量，经济体比以前更加贫困了。人口增长率的增加最终导致人均产出的下降。

图3-3 人口增长率的上升
（4）资本积累的黄金律
①资本的黄金律水平
人们追求经济增长的最终目标是消费水平和福利水平的最大化。长期消费总水平最高的稳定状态被称为资本积累的“黄金律水平”。
对于一个给定的生产函数与给定的以及值，储蓄率的每个值存在唯一一个稳态值。人均消费的稳态水平为：

图3-4中纵轴表示对应于每一储蓄率的人均消费的稳态水平，使人均稳态消费达到最大时的储蓄率被称为“黄金律储蓄率”，在此以来表示。如果用来表示对应于最大值的的稳态值，那么决定的条件是：。相应的储蓄率可被表示为，与之相对应的稳定状态的人均消费水平为：

由此可见，稳定状态的人均消费是稳态人均产出与稳态折旧之差。

图3-4 资本积累的黄金律
②动态无效率
如图3-5所示，当储蓄率分别为，，时，都存在黄金率水平。当且仅当时，满足资本积累的黄金法则，此时经济体处于帕累托最优状态。当储蓄率为时，因为有，所以，且。从稳态出发，储蓄率被永久性地降低到。在全部转移时期以及新的稳态中都超过了。人均消费路径在所有时间点都位于另一条可行路径之下，此时经济处于过度储蓄状态，这种经济被称为“动态无效率”。

图3-5 黄金律和动态无效率
3．扩展的索洛-斯旺模型
将技术进步因素引入到基本的索洛-旺模型中，需要在生产函数中增加一个代表技术进步的变量：

假定以一个固定比率增长，即：

资本存量的变化条件为：

两边同除以，可得随时间变化的基本方程：

在该式两边同除以，可得增长率为：

对于给定的，因为以固定比率增长，资本的平均产品随着时间持续递增。反映在图3-6中就是负斜率的曲线持续右移，因此对应于这条曲线与线之间交点的也持续右移。

图3-6 引入技术进步的索洛—斯旺模型
根据定义，稳态增长率是不变的，、和都为常数，则资本的平均产品在稳态中也是不变的。与以相同的比率增长，则的稳态增长率也就等于。的稳态增长率也等于。
在索洛-斯旺模型中，沿着平衡增长路径，人均产出和人均资本的增长率等于外生的技术进步的增长率。由此可以得出，技术进步是推动经济持续增长的源泉。

四、经济增长基准模型的扩展
作为对经济增长基准模型的扩展，产生了拉姆齐-卡斯-库普曼斯模型和戴蒙德的世代交叠模型，它们把储蓄率作为模型的内生变量，通过家庭有关消费和消费-储蓄之间关系的最优决策，由模型内生地决定储蓄水平。
1．拉姆齐-卡斯-库普曼斯模型
（1）新古典生产函数
假定生产函数是具有哈罗德中性技术进步的新古典生产函数，满足新古典生产函数的三条性质，即每种投入的报酬递减、规模报酬不变以及稻田条件。因此，可以将其简记为，且有，，，。
（2）资本积累方程
对于资本积累方程，拉姆齐-卡斯-库普曼斯模型把储蓄的决定转化为最优消费的决定，并通过家庭的最优消费决策求得最优消费水平。假定在封闭经济中，总投资与总储蓄相等，最终产出由储蓄和消费两部分组成。，，所以。写为人均资本的形式则有：

从而，最优储蓄水平的决定就转化为最优消费水平的确定，而最优消费水平则根据家庭最优消费决策由模型内生地决定。
（3）最优决策与均衡增长
设时的总消费为，每个家庭都希望能使总效用最大化：

其中，参数为个人的主观贴现率；为整个经济中的初始人口数量。平衡增长的最优路径由消费和资本的最优动态路径共同决定。推导出消费的最优动态路径为。为消费的瞬时跨期替代弹性。
在完全竞争的市场中，企业追求利润最大化，必须使得资本的边际产品等于资本的边际收益，其中为资本的收益率。则。
根据约束条件式资本的动态变化，可表示为消费、资本以及其他参数的函数。由于通过消费的最优动态路径可求得各期最优消费水平，资本的最优动态路径也可以确定。
在拉姆齐-卡斯-库普曼斯模型中，任意时点上的总储蓄率为：

每个时点上、、和是由最优跨期消费决策所决定的，因此，任意时点上的总储蓄率是内生决定的。
2．戴蒙德的世代交叠模型
在世代交叠模型中，家庭消费决策者仅考虑自身生存时期的效用最大化问题，他们的消费—储蓄行为并不一定能实现社会最优的帕累托效率。此外，个人最优的分散均衡也并不必然导致稳态的经济增长，经济增长的稳态可能是不存在的，也可能存在多重的稳态增长，并且增长的稳态还可能是不稳定的、振荡性的。
（1）家庭
戴蒙德世代交叠模型假定个体寿命有限，存在人口的交替，所以消费决策者考虑的仅是自己在世时的效用最大化问题。假定时间是间断的而不是连续的，这样模型中的变量就定义为。为了简化分析，进一步假定作为经济主体的每个人只生活两期，在第一期年轻时期供给一单位劳动并获得实际工资，所得收入用于消费和储蓄；在第二期老年时期不进行劳动，仅消费上一期的储蓄和所获得的利息。
令为第期出生的人数，假定人口增长率为不变的，则有：

期出生的消费者在两个时期的预算约束为：

假定可加可分的消费者效用函数为：

设存在一个常数相对风险回避效用函数，可写为：

在两个时期的预算约束下使效用最大化，可得：

其中，。对方程求导数，可得对和的依赖性：
，
由此可得，，这意味着储蓄是实际工资的增函数。而对于，若，则，储蓄是利率的增函数；若，则，储蓄是利率的减函数；若，则。
（2）企业
企业一般具有新古典的生产函数，则有。假设第期的资本存量在相同时间内是生产性的，即生产与资本利用没有时滞。竞争性企业的利润最大化下净边际产品与要素价格相等，则有：

（3）均衡
假定在一个封闭经济中，家庭的资产等于其资本存量。总净投资等于总收入减去总消费：

经济的资源约束为：

其中，是总消费，包括年轻时期的消费与老年时期的消费。将消费者在两个时期的预算约束代入可得。
上式说明年轻人的储蓄就等于下一期的资本存量。假设一个不变的人口增长率，经过一系列变换后可得一个关于的非线性差分方程：

对于每个值，该式都隐含地确定了的均衡值，刻画出了资本存量的未来路径。
（4）稳态
若效用是对数型的（），则以上差分方程可简化为：

稳态资本密集度的解为：

五、基准模型的困境
基准模型以新古典生产函数为一个基本的假定前提，这决定了在动供给不变时资本的边际收益递减。当资本存量增长时，经济增长将会减缓并最终停止。这不符合世界各国经济增长的现实。
索洛-斯旺模型的一个重要结论是趋同性趋势，经验研究的结果显示出国家间的巨大人均收入差异与索洛模型的收敛性结论存在明显差异。
在索洛-斯旺模型中，技术变化被视为外生给定，在新古典生产函数的性质下得出外生的技术变化是经济增长的唯一源泉，这样基准模型就不可避免地陷入了困境，增长理论事实上并没有为增长提供一个理论基础。

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