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第一章 直角三角形的边角关系
《解直角三角形》教学设计说明
东港市北井子中学 廉守录
一、教材分析
《解直角三角形》是北师大版九年级下册第一章第四节的内容. 在此之前，学生已经具备了勾股定理、锐角三角函数的基本知识，会求任意一个锐角的三角函数值. 本节课是三角函数应用之前的准备课，旨在建立好解直角三角形的数学模型，以便有效的为现实生活服务.培养学生解答实际应用题的技能，掌握如何构建解直角三角形的思想方法、技巧.把勾股定理和锐角三角函数的前期准备知识有机的组织起来，使学生能承前启后、有思想性和可操作性. 因此，本节课在教材教学计划中起着一发牵制全局的重要作用.

二、学情分析
1、九年级学生已经掌握了勾股定理，刚刚学习过锐角三角函数，能够用定义法求三角函数sin、cos、tan值.
2、在计算器的使用上，学生学习了用计算器求任意锐角的三角函数值，并对计算器的二次功能有所了解.有上述知识技能作基础为学生进一步学习“解直角三角形”创造了必要条件.
3、但锐角三角函数的运用不一定熟练，综合运用所学知识解决问题，将实际问题抽象为数学问题的能力都比较差，因此要在本节课进行有意识的培养.

三、教学任务分析
本节内容是在学习了“锐角三角函数”“勾股定理”等内容的基础上进一步探究如何利用所学知识解直角三角形.通过直角三角形中边角之间关系的学习，整合三角函数的知识，归纳解直角三角形的一般方法.在呈现方式上，显示出实践性与研究性，突出了学数学、用数学的意识与过程，注重联系学生的生活实际，同时还有利于数形结合.通过本节课的学习，不仅可以巩固勾股定理和锐角三角函数等相关知识，初步获得解决问题的方法和经验，而且还让学生进一步体会数学与实际生活的密切联系.掌握将实际问题转化为数学模型的思想方法.所以教学目标如下：
知识技能：初步理解解直角三角形的含义，掌握运用直角三角形的两锐角互余、勾股定理及锐角三角函数求直角三角形的未知元素.
数学思考：在研究问题中思考如何把实际问题转化为数学问题，进而把数学问题具体化.
解决问题：解直角三角形的对象是什么？在解决与直角三角形有关的实际问题中如何把问题数学模型化.通过利用三角函数解决实际问题的过程，进一步提高学生的逻辑思维能力和分析问题解决问题的能力
情感态度：在解决问题的过程中引发学生形成数形结合的数学思想，体会数学与实践生活的紧密联系.从而增强学生的数学应用意识，激励学生敢于面对数学学习中的困难.通过获取成功的体验和克服困难的经历，增进学习数学的信心，养成良好的学习习惯.
教学重难点：重点：理解并掌握直角三角形边角之间的关系，运用直角三角形的两锐角互余、勾股定理及锐角三角函数求直角三角形的未知元素.难点：从已知条件出发，正确选用适当的边角关系或三角函数解题.

四、教学过程
1. 知识回顾
1、在一个直角三角形中，共有几条边？几个角？（引出“元素”这个词语）
2、在RtΔABC中，∠C=90°.a、b、c、∠A、∠B这些元素间有哪些等量关系呢？
讨论复习：
RtΔABC的角角关系、三边关系、边角关系分别是什么？
总结：  直角三角形的边角关系
（1） 两锐角互余：∠A+∠B=90°
（2） 三边满足勾股定理：a2+b2=c2
（3） 边与角的关系：

3、填一填 记一记
三角函数
角α
30°
45°
60°
sinα

cosα

tanα

定义：在直角三角形中由已知元素求出未知元素的过程就是解直角三角形.

2. 探究新知
在Rt△ABC中,

B
A3．疑点：学生可能不理解在已知的两个元素中，为什么至少有一个是边.
　　4．解决办法：设置疑问，引导学生主动发现方法与途径，解决重难点，以相似三角形知识为背景解决疑点.
C
（1）根据∠A= 60°,斜边AB=30,你能求出这个三角形的其他元素吗?
（2）根据AC=，BC= ，你能求出这个三角形的其他元素吗？
（3）根∠A=60°,∠B=30°, 你能求出这个三角形的其他元素吗?
从以上关系引导学生发现，在直角三角形中，只要知道其中两个元素（至少有一个是边）就可以求出其余的几个元素，从而引出解直角三角形的定义：
在直角三角形中由已知元素求出未知元素的过程就是解直角三角形.
3. 例题讲解
例1 在Rt△ABC 中，∠C 为直角，∠A，∠B，∠C 所对的边分别为 a，
b,c,且a =，b =，求这个三角形的其他元素.
解;

例2：如图：在RtΔABC中，∠C=90°，∠B=25°，b=30.解这个直角三角形（结果保留小数点后一位）.
注意强调：在解决直角三角形的过程中，常会遇到近似计算，尽量选择原始数据,避免累积误差.
4. 知识应用
1、在Rt△ABC 中，∠C =90° ，根据下列条件求出直角三角形的其他几个元素（角度精确到 1° ）
（1）已知 a=4，b=8；
（2）已知 b=10，∠B=60° ；
（3）已知 c=20，∠A=60° ．
（1）中已知两条边如何解直角三角形，（2）（3）已知一条边及一个角解直角三角形，本题的设计重在引导学生体会并归纳常规解直角三角形的常规方法：
解直角三角形的方法遵循“有斜用弦，无斜用切；宁乘勿除，化斜为直”
2、如图在RtΔABC中，∠C=90°，AC=，BC=，解这个直角三角形.

3、在Rt△ABC中,∠C=90度,a,b,c分别是∠A,∠B,∠C的对边.
(1)已知 ,解这个直角三角形
(2)已知 ,解这个直角三角形
以上两题由学生小组内讨论解决.接下来,在教师引导下分析解决之.
5. 能力提升
问题： 要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角a一般要满足50°≤∠a≤75°.如果现有一个长6m的梯子，那么
（1）使用这个梯子最高可以安全攀上多高的墙？（精确到0.1m）
（2）当梯子底端距离墙面2.4m时，梯子与地面所成的锐角a等于多少？（精确到1°）这时人是否能够安全使用这个梯子？
师生共同分析解决问题1、问题2.
注意强调：在解决直角三角形的过程中，常会遇到近似计算，除特别说明外.边长保留四位有效数字，角度精确到1′.
五、课堂小结
一、通过本节课的学习，大家有什么收获?
六、作业布置：
1、习题1.5   1、2.
2、预习下一节内容，要求了解什么是仰角和俯角
A
B
C
450
300
4cm
3、补充作业：
如图,根据图中已知数据,求△ABC其余各边的长,各角的度数和△ABC的面积.
七、板书设计：

§ 1.4 解直角三角形
一、概念 二、例题
解直角三角形定义： 例1：
A

c
C
a
B
b

八、教学反思  
本节课，为解直角三角形应用题之前的准备课，旨在建立好解直角三角形的数学模型，以便有效的为现实生活服务.培养学生解答实际应用题的技能，掌握如何构建解直角三角形的思想方法、技巧.把勾股定理和锐角三角函数的前期准备知识有机的组织起来，使学生能承前启后、有思想性和可操作性.因此，本节课在教材教学计划中起着一发牵制全局的重要作用.
本节课第一个知识点，是具有至少一边的两个条件，可解直角三角形.为此，我设计了三个问题即分别从已知一角一边、两边，以及两角的的不同条件.通过师生互动的教学形式，归纳出只有具有至少一边的两个条件，可解直角三角形，以及直角三角形的基本类型和解法.
已知两边（1）两直角边（2）斜边一条直角边
已知一边一个锐角 （1）一条直角边和一个锐角（2）斜边和一个锐角
为了深化知识，提高学生的解题能力.我又设计两个小题 给出某角、某三角函数值等条件、通过组合图形达到间接解决问题的目的.
本节课第二个知识点，是重点体现学生应用意识过程.当学生掌握和了解直角三角形的思想方法及技巧能力欣慰之时，我及时不失时机地举例引出课本练习题中的判别梯子是否安全的问题，学生通过观察，思考，讨论，回答了两个问题， 每个人脸上都绽放出成功的喜悦.
这节课由于内容较多，学生需要变式思维.我通过利用多媒体教学技术的优势，提供给学生直观形象，既提高了学生的解题能力，又增强了他们对运用数学的意识.这是我努力创设授课过程的出发点和重中之重.在教学过程中，采取了学生自主学习、小组讨论和师生互动的形式.通过教师积极组织引导，学生通过利用所掌握的解直角三角形知识与技能解决了生活中的实际问题，又激发了学生学习数学的积极性，为学生今后的学习奠定了基础.取得了教师预期的教学效果，比较圆满的完成了本节课教学目标设计.
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