大学物理振动.pptx

振动是一种普遍的运动形式。如：振动是一种普遍的运动形式。如：机械振动机械振动 电磁振动电磁振动 广义振动：任一物理量广义振动：任一物理量(如位移、电如位移、电 流等流等)振动分类振动分类受迫振动受迫振动自由振动自由振动阻尼自由振动阻尼自由振动无阻尼自由振动无阻尼自由振动无阻尼自由非谐振动无阻尼自由非谐振动(简谐振动简谐振动)无阻尼自由无阻尼自由谐振动谐振动在某一数值附近反复变化。在某一数值附近反复变化。其特点是：其特点是：(1)有平衡点；有平衡点；(2)具有重复性具有重复性(周期性周期性)第第1页页/共共97页页 简谐振动是最简单、最基本简谐振动是最简单、最基本的振动形式，一切复杂的振动的振动形式，一切复杂的振动都可由简谐振动合成。都可由简谐振动合成。第第2页页/共共97页页4.14.1 简谐振动简谐振动一.一.简谐振动简谐振动 表达式表达式 x(t)=Acos(t+)特点特点(1)等幅振动等幅振动 (2)周期振动周期振动 x(t)=x(t+T)一物理量随时间的变一物理量随时间的变化规律遵从余弦函数化规律遵从余弦函数关系，则称该物理量关系，则称该物理量作简谐振动。作简谐振动。XAA0第第3页页/共共97页页 表达式表达式 x(t)=Acos(t+)二二.描述描述简谐振动简谐振动的特征量的特征量 1.振幅振幅 A：即最大位移：即最大位移：xA3.周期周期T 和频率和频率 v2.角频率角频率（圆频率）（圆频率）（弧度（弧度/秒：秒：rad/s）而而 v=1/T/2（Hz）T2 T2/（s）（完成一次全振动所需的时间）（完成一次全振动所需的时间）（单位时间内完成全振动的次数）（单位时间内完成全振动的次数）第第4页页/共共97页页4.相位相位(1)(t+0 0 )是是 t 时刻的时刻的相位相位(2)0 0 是是t=0时刻的相位时刻的相位 初相初相第第5页页/共共97页页三三.简谐振动简谐振动的描述方法的描述方法1.解析法解析法由由 x=Acos(t+0)已知表达式已知表达式 A、T、0 已知已知A、T、0 表达式表达式2.曲线法曲线法0 xmx0=00A-Atx 0=/2T 已知曲线已知曲线 A、T、0 已知已知 A、T、0 曲线曲线第第6页页/共共97页页3.3.旋转矢量法旋转矢量法 0 t+00 xxt=tt=0 x=A cos(t+0)四四.相位差相位差 =(2 t+2)-(1 t+1)对两对两同频率同频率的谐振动的谐振动 =2-1初相差初相差 同相和反相：同相和反相：当当 =2k ,(k=0,1,2,),两振动步调相同两振动步调相同,称称同相同相第第7页页/共共97页页当当 =(2k+1),(k=0,1,2,),两振动步调相反两振动步调相反,称称反相反相 。x2Tx0A1-A1A2-A2x1t反相反相tx0A1-A1A2-A2x1x2T同相同相 超超 前前 和和 落落后后若若 =2-10,则则 x2比比x1较早达到正最大较早达到正最大,称称 x2 比比 x1 超前超前 (或或 x1 比比 x2 落后落后)。第第8页页/共共97页页超前、落后以超前、落后以 0 0 0a 0 0 0减速减速加速加速减速减速加速加速 AA-A-A-2A va第第10页页/共共97页页解题方法解题方法由由初始条件初始条件求解振幅和初位相求解振幅和初位相：设设 t=0 时，振动位移：时，振动位移：x=x0 振动速度：振动速度：v=v0第第11页页/共共97页页第第12页页/共共97页页例题例题例题例题1 1 1 1 一质点沿一质点沿X轴作简谐振动，振幅为轴作简谐振动，振幅为1212cmcm，周期，周期为为2s2s。当。当t t=0=0时时,位移为位移为6 6cmcm，且向，且向X X轴正方向运动。求轴正方向运动。求1 1、振动方程；、振动方程；2 2、t t=0.5s=0.5s 时，质点的位置、速度和加速时，质点的位置、速度和加速度度；3 3、如果在某时刻质点位于、如果在某时刻质点位于x=-0.6=-0.6cmcm，且向，且向X 轴负轴负方向运动，求从该位置回到平衡位置所需的时间。方向运动，求从该位置回到平衡位置所需的时间。解：解：设简谐振动表达式为设简谐振动表达式为已知已知：A=12cm,T=2s，x=A cos(t+)x=0.12 cos(t+)初始条件：初始条件：t=0 时，x0=0.06m,v0 0第第13页页/共共97页页0.06=0.12 cos振动方程：振动方程：YX当当t=0时时,位移为位移为6cm，且向且向X轴正方向运动。轴正方向运动。第第14页页/共共97页页2、t=0.5s时，质点的位置、速度和加速度时，质点的位置、速度和加速度振动方程：振动方程：第第15页页/共共97页页设在某一时刻设在某一时刻 t1，x=0.06 m代入振动方程：代入振动方程：yx3、如果在某时刻质点位于、如果在某时刻质点位于x=0.6cm，且向，且向X 轴负方轴负方向运动，求从该位置回到平衡位置所需的时间。向运动，求从该位置回到平衡位置所需的时间。振动方程：振动方程：第第16页页/共共97页页YX3/2 t23、如果在某时刻质点位于、如果在某时刻质点位于x=0.6cm，且向，且向X 轴负轴负方向运动，求从该位置回到平衡位置所需的时间。方向运动，求从该位置回到平衡位置所需的时间。第第17页页/共共97页页例题例题例题例题2 2 2 2 两质点作同方向、同频率的简谐振动，振幅两质点作同方向、同频率的简谐振动，振幅相等。当质点相等。当质点1 1在在 x1 1=A/2=A/2 处，处，且向左运动时，另一个且向左运动时，另一个质点质点2 2在在 x2 2=-A/2=-A/2 处，且向右运动。求这两个质点的处，且向右运动。求这两个质点的位相差。位相差。解：解：解：解：A A-A-Ao oA/2A/2-A/2-A/2YX第第18页页/共共97页页YXA A-A-Ao oA/2A/2-A/2-A/2第第19页页/共共97页页例题例题3 3 一轻弹簧，一端固定，另一端连一定质量的物一轻弹簧，一端固定，另一端连一定质量的物体。整个系统位于水平面内。今将物体沿平面向右拉体。整个系统位于水平面内。今将物体沿平面向右拉长到长到x0=0.04m处释放，已知处释放，已知6.0 rad/s。试求：。试求：1、简谐振动方程；简谐振动方程；2、物体从初始位置运动到第一次经过物体从初始位置运动到第一次经过A/2处时的速度。处时的速度。解：解：解：解：000=-=xvarctan第第20页页/共共97页页所以：所以：0 rad/s A0.04 mt0 时：时：xAcos（t）v A sin（t）把初始条件代入方程组：把初始条件代入方程组：0.04 Acos 0 6 A sin得：得：第第21页页/共共97页页yx2、物体从初始位置运动到第一次经过物体从初始位置运动到第一次经过A/2处时的速度。处时的速度。第第22页页/共共97页页4.2 谐振子振动系统振动系统：参与振动的一个或参与振动的一个或几物几物 体所构成的一体所构成的一个系统。个系统。谐振系统谐振系统：作简谐振动的振动系统作简谐振动的振动系统谐振子谐振子：作简谐振动的系统作简谐振动的系统第第23页页/共共97页页一、弹簧振子一、弹簧振子弹簧振子：弹簧振子：一根轻弹簧和一个刚体构成的一个一根轻弹簧和一个刚体构成的一个 振动系统振动系统F根据胡克定律：根据胡克定律：（k为劲度系数或倔强系数）（1）在弹性限度内，弹性力在弹性限度内，弹性力 F 和位移和位移 x成正比。成正比。（2）弹性力弹性力F和位移和位移x 恒反向，始终指向平衡位置。恒反向，始终指向平衡位置。回复力：回复力：始终指向平衡位置的作用力始终指向平衡位置的作用力xXo第第24页页/共共97页页振动的条件振动的条件:（1 1）存在回复力；（）存在回复力；（2 2）物体具有惯性）物体具有惯性振动过程：振动过程：X0A A-A-AF F由牛顿第一定律得：由牛顿第一定律得：得得:第第25页页/共共97页页比较比较结论：结论：结论：结论：（1）弹簧振子的振动为弹簧振子的振动为简谐振动简谐振动。（2）周期：周期：角频率：角频率：周期周期T与振子的本身性质（与振子的本身性质（k和和m）有关，而与其）有关，而与其它因素无关。它因素无关。例：例：T在地球和月球上一样。在地球和月球上一样。第第26页页/共共97页页二、简谐振动的能量二、简谐振动的能量 平均值平均值1 1、振动系统的能量、振动系统的能量振子动能：振子动能：振子势能：振子势能：xX0v第第27页页/共共97页页XXEpEk221kAE=第第28页页/共共97页页谐振系统的总机械能：谐振系统的总机械能：第第29页页/共共97页页（1 1）振子在振动过程中，动能和势能分别随时间变）振子在振动过程中，动能和势能分别随时间变 化，但任一时刻总机械能保持不变。化，但任一时刻总机械能保持不变。（2 2）动能和势能的变化频率是弹簧振子振动频率的两倍。）动能和势能的变化频率是弹簧振子振动频率的两倍。（3 3）频率一定时，谐振动的总能量与振幅的平方成正比。）频率一定时，谐振动的总能量与振幅的平方成正比。（适合于任何谐振系统）（适合于任何谐振系统）结论结论：XEpEk221kAE=X第第30页页/共共97页页2 2、平均值、平均值（1 1）振动位移的平均值：振动位移的平均值：振动位移的平均值：振动位移的平均值：（2 2）谐振动势能的平均值：）谐振动势能的平均值：）谐振动势能的平均值：）谐振动势能的平均值：第第31页页/共共97页页 平均意义上说，简谐振动系统的能量中一平均意义上说，简谐振动系统的能量中一半是动能，另一半是势能。半是动能，另一半是势能。（3 3）谐振动动能的平均值：）谐振动动能的平均值：）谐振动动能的平均值：）谐振动动能的平均值：结论：结论：结论：结论：第第32页页/共共97页页Ol mgT三、单摆三、单摆 第第33页页/共共97页页结论：结论：结论：结论：单摆的振动是单摆的振动是简谐振动简谐振动。设振子最大摆角为设振子最大摆角为m，若考虑，若考虑m的影响：的影响：64第第34页页/共共97页页m真周期真周期/01.00005 1.000510 1.001920 1.007730 1.017445 1.039760 1.0719设振子最大摆角为设振子最大摆角为m，若考虑，若考虑m的影响：的影响：64第第35页页/共共97页页1、概念、概念2、运动方程、运动方程 重力矩重力矩转动定律转动定律3、周期与频率、周期与频率4、应用：、应用：1）测重力加速度；测重力加速度；2）测转动惯量）测转动惯量四、复摆四、复摆第第36页页/共共97页页五.电磁振荡一、振荡电路一、振荡电路 无阻尼自由电磁振荡无阻尼自由电磁振荡电磁振荡：电磁振荡：电荷和电流、电场和磁场随电荷和电流、电场和磁场随时间作周期性变化的现象。时间作周期性变化的现象。LCLC振荡回路：振荡回路：K K CL第第37页页/共共97页页CL+Q-Q(1)CLi(2)CL+Q-Q(3)CLi(4)LC回路的振荡过程回路的振荡过程第第38页页/共共97页页1.1.LCLC 振荡方程振荡方程CLi自感电动势自感电动势：(书书P208:9.15式式)电容器电压：电容器电压：(书书P153：7.43式式)回路方程：回路方程：第第39页页/共共97页页电流：电流：第第40页页/共共97页页电压：电压：在在LC电路中，电流、电压、电荷都电路中，电流、电压、电荷都随时间作简谐振动。随时间作简谐振动。结论：结论：结论：结论：2.2.LC 振荡的能量振荡的能量电场能量：电场能量：磁场能量：磁场能量：第第41页页/共共97页页总能量：总能量：在在LC电路中，电能和磁能交替转换，电路中，电能和磁能交替转换，但总能量保持不变。但总能量保持不变。结论：结论：结论：结论：第第42页页/共共97页页例例4.2 弹簧下悬一质量为弹簧下悬一质量为0.1kg的小球时，其伸长量是的小球时，其伸长量是8cm。现在弹簧下端挂一个。现在弹簧下端挂一个M0.25kg的物体构成弹簧振的物体构成弹簧振子。将物体从平衡位置向下拉子。将物体从平衡位置向下拉4cm后，再给它向上的初后，再给它向上的初速度速度0.21m/s。取竖直向下为。取竖直向下为X轴正方向。求：轴正方向。求：1.物体的物体的振动周期振动周期;2.任意时刻的振动函数和速度。任意时刻的振动函数和速度。解：解：1.求周期求周期 T：由已知：由已知：kx0mgkmg/x0=0.19.8/0.08 12.25（N/m）角频率角频率T2/0.90（s）第第43页页/共共97页页如图建立坐标系，规定静止时小球位置为坐标原点。如图建立坐标系，规定静止时小球位置为坐标原点。0X/m则振动函数：则振动函数：x(t)=Acos(7t+）v(t)=7Asin(7t+）x(0)=0.04m已知：已知：v(0)=0.21m/s2.求任意时刻的振动函数和速度：求任意时刻的振动函数和速度：第第44页页/共共97页页x(0)=0.04m已知：已知：v(0)=0.21m/s1）直接把初始条件带入下列公式，求）直接把初始条件带入下列公式，求A，：第第45页页/共共97页页解得：解得：tan(0.21)/(70.04)0.750.64 rad A 0.05 m所以：所以：v(t)=0.35 sin（7t 0.64）x(t)=0.05 cos（7t0.64）Acos=0.04m7Asin=0.21 m/s2）根据初始条件列方程组：）根据初始条件列方程组：x(0)=0.04m已知：已知：v(0)=0.21m/s第第46页页/共共97页页例题例题4.6 在平板上放一质量为在平板上放一质量为1kg的物体，平板沿铅直方的物体，平板沿铅直方向作简谐振动，振幅为向作简谐振动，振幅为2cm，周期为，周期为0.5s。求：。求：1.平板位平板位于最高点时于最高点时,物体对平板的压力是多大？物体对平板的压力是多大？2.平板应以多大平板应以多大振幅运动时，才能使重物跳离平板？振幅运动时，才能使重物跳离平板？0X/mNmg解：解：如图建立坐标系，选向上为正方向。如图建立坐标系，选向上为正方向。当平板位于最高处时计时开始。当平板位于最高处时计时开始。则振动函数为：则振动函数为：x(t)Acost0.02 cos 4t2/T第第47页页/共共97页页0X/mNmgx(t)0.02 cos 4t加速度为：加速度为：a(t)2Acost 0.322 cos4t1.物体受力如图所示，根据牛顿物体受力如图所示，根据牛顿定律：定律：Nmg ma在最高处：在最高处：a0.322则：则：Nmamg 6.64（牛顿）（牛顿）2.由：由：Nmg m2 A cos 4t得：得：N m（g 2 Acos 4t）第第48页页/共共97页页N m（g 2 A cos 4t）0X/mNmg物体不脱离平板，即物体不脱离平板，即 N 0。所以：。所以：当当 g 2 Acos4t 0时，时，N0，物体脱离平板。物体脱离平板。即：即：A g/2 g/162 0.062m第第49页页/共共97页页4.3 4.3 阻尼振动阻尼振动一、阻尼振动的微分方程一、阻尼振动的微分方程0Xxr：阻力系数：阻力系数0：固有频率：固有频率 ：阻尼系数：阻尼系数 （阻尼因子）（阻尼因子）mmkor =2,:2令令22dtxdmvkx=-r动力学方程：动力学方程：第第50页页/共共97页页动力学方程：动力学方程：方程解：方程解：周期周期:阻尼振动周期阻尼振动周期 T 大于自由振动周期大于自由振动周期T0 第第51页页/共共97页页讨论：讨论：3、当（）时，为“临界阻尼临界阻尼”情况。是质点不作往复运动的一个极限1、阻尼较小时（），振动为减幅振动，振幅 随时间按指数规律迅速减少。阻尼越大，减幅越迅速。阻尼振动周期大于自由振动周期。2、阻尼较大时（），振动从最大位移缓慢回到平衡位置，不作往复运动。第第52页页/共共97页页第第53页页/共共97页页4.4 4.4 受迫振动受迫振动0Xx系统在周期性外力持续作用下所发生的振动。系统在周期性外力持续作用下所发生的振动。受迫振动：受迫振动：驱动力：驱动力：周期性的外力周期性的外力设：设：一、受迫振动一、受迫振动第第54页页/共共97页页0Xx令：令：tf0 xdtdxdtxdobcos2222=+tcosFdtdxkxdtxdmo22r+-=第第55页页/共共97页页稳定振动状态：稳定振动状态：在稳定振动状态下，受迫振动的频率在稳定振动状态下，受迫振动的频率等于驱动力的频率。等于驱动力的频率。结论：结论：结论：结论：222b-=oarctan第第56页页/共共97页页二、共振二、共振1.位移共振：位移共振：当驱动力的频率当驱动力的频率 时，时，受迫振动的位移振幅达到最大值的现象。受迫振动的位移振幅达到最大值的现象。第第57页页/共共97页页A大阻尼大阻尼小阻尼小阻尼零阻尼零阻尼共振频率：共振频率：共振振幅：共振振幅：阻尼系数阻尼系数 越小，共越小，共振角频率振角频率 r r 越接近于系越接近于系统的固有频率统的固有频率 O O ，同时，同时共振振幅共振振幅A Amax max 也越大。也越大。结论：结论：结论：结论：222bb-=omaxf0A相位：相位：/2振动相位落后外力振动相位落后外力/2,外力与速度同相位。外力与速度同相位。第第58页页/共共97页页2.速度共振：速度共振：当驱动力频率等于系统固有频率时，当驱动力频率等于系统固有频率时，受迫振动速度的振幅达到极大值。受迫振动速度的振幅达到极大值。当当0时，速度有极大值：时，速度有极大值：当当0时，位移共振频率时，位移共振频率0，与速度共振同时发生。与速度共振同时发生。22第第59页页/共共97页页应用应用:电磁共振选台电磁共振选台(收音机收音机)乐器利用共振提高音响效果乐器利用共振提高音响效果研究避免共振的破坏的措施：研究避免共振的破坏的措施：v破坏外力破坏外力(强迫力强迫力)的周期性的周期性;v改变系统固有频率改变系统固有频率;v改变外力的频率改变外力的频率;v增大系统阻尼力增大系统阻尼力.第第60页页/共共97页页例题（作业十例题（作业十.5）：一阻尼系统某一时刻的振幅为）：一阻尼系统某一时刻的振幅为A010cm；10s后，其振幅变为后，其振幅变为A11cm；求振幅变；求振幅变为为A20.3cm还需多少时间？还需多少时间？解：解：第第61页页/共共97页页例题（作业十例题（作业十.6）：阻尼振动时（）：阻尼振动时（0），位移的），位移的两个相邻的极大值之比是多少？两个相邻的极大值之比是多少？解：解：欠阻尼振动的振动函数为：欠阻尼振动的振动函数为：x(t)=Aetcos(t）所以：所以：设设t 时刻振幅极大，为：时刻振幅极大，为：XM(t)=Aet则相邻振幅极大为：则相邻振幅极大为：XM(t+T)=Ae(t+T)其中：其中：比值：比值：第第62页页/共共97页页例题（作业十例题（作业十.7；书中；书中4.8）：在简谐力作用下弹）：在简谐力作用下弹簧振子作受迫振动。设重物质量是簧振子作受迫振动。设重物质量是10kg，弹簧的劲，弹簧的劲度系数是度系数是700N/m，阻力系数是，阻力系数是40Ns/m，简谐力的，简谐力的振幅是振幅是100N，角频率是，角频率是10rad/s，求：，求：1.稳态时各时刻重物的速度；稳态时各时刻重物的速度；2.简谐力的角频率为多大时才能产生共振？共振简谐力的角频率为多大时才能产生共振？共振时速度的振幅是多大？时速度的振幅是多大？解：解：1.稳态时：稳态时：xAcos(t）v Asin(t)Acos(t/2)第第63页页/共共97页页v=Acos(t/2)222b-=oarctan其中：其中：f0F0/m=100/10=10;02k/m700/10=702=100;2；代入上两式得：代入上两式得：A0.2m；=0.295 v=2cos(10t0.205)第第64页页/共共97页页2.简谐力的角频率为多大时才能产生速度共振？简谐力的角频率为多大时才能产生速度共振？共振时速度的振幅是多大？共振时速度的振幅是多大？简谐力的角频率：简谐力的角频率：产生速度共振。产生速度共振。共振时，速度的振幅有极大值：共振时，速度的振幅有极大值：vmAf0/22.5m/s第第65页页/共共97页页4.5 4.5 同一条直线上两个简谐振动的合成同一条直线上两个简谐振动的合成一、同方向同频率简谐振动的合成一、同方向同频率简谐振动的合成 某一质点在直线上同时参与两个独立的同频某一质点在直线上同时参与两个独立的同频率的简谐振动，其振动方程分别表示为：率的简谐振动，其振动方程分别表示为：x第第66页页/共共97页页 一个质点参与两个在同一直线上频率相同一个质点参与两个在同一直线上频率相同的简谐振动，其合成运动仍为简谐振动。的简谐振动，其合成运动仍为简谐振动。结论：结论：为其它值时，为其它值时，A介于二者之间。介于二者之间。212122212:AAAAA2A1A-=-+=则则第第67页页/共共97页页例题：例题：两个同方向的简谐振动曲线两个同方向的简谐振动曲线(如图所示如图所示)1、求合振动的振幅。、求合振动的振幅。2、求合振动的振动方程。、求合振动的振动方程。解：解：xTt第第68页页/共共97页页第第69页页/共共97页页解：解：解：解：例题：例题：例题：例题：两个同方向，同频率的简谐振动，其合振动的振两个同方向，同频率的简谐振动，其合振动的振幅为幅为20cm，与第一个振动的位相差为，与第一个振动的位相差为 。若。若第一个振动的振幅为第一个振动的振幅为 。则（。则（1）第二个振动的振）第二个振动的振幅为多少？（幅为多少？（2）两简谐振动的位相差为多少？）两简谐振动的位相差为多少？第第70页页/共共97页页h如图：如图：A sin/6 A2 sinh第第71页页/共共97页页二、同方向，不同频率两谐振动的合成二、同方向，不同频率两谐振动的合成 拍拍 设两同方向，角频率分别为设两同方向，角频率分别为 和和 的两简谐振动的两简谐振动（）。它们所对应的旋转矢量分别为）。它们所对应的旋转矢量分别为 和和 相对于相对于 的转动角频率的转动角频率:两矢量同向重合时：两矢量同向重合时：合振动振幅合振动振幅 极大极大合振动振幅合振动振幅 极小极小两矢量反向重合时：两矢量反向重合时：拍：拍：拍：拍：合振动的振幅时强时弱的现象合振动的振幅时强时弱的现象第第72页页/共共97页页拍的周期：拍的周期：拍的频率：拍的频率：从解析式来分析：第第73页页/共共97页页振幅：振幅：随时间缓慢变化随时间缓慢变化为一谐振因子为一谐振因子第第74页页/共共97页页同方向同方向,不同频率合成波形如图所示不同频率合成波形如图所示:第第75页页/共共97页页拍现象的应用：拍现象的应用：v 用音叉振动校准乐器用音叉振动校准乐器v 测定超声波测定超声波v 测定无线电频率测定无线电频率v 调制高频振荡的振幅和频率等调制高频振荡的振幅和频率等第第76页页/共共97页页分振动：分振动：yx4.6 4.6 互相垂直简谐振动的合成互相垂直简谐振动的合成第第77页页/共共97页页结论：结论：结论：结论：两相互垂直同频率简谐振动的合成其振动两相互垂直同频率简谐振动的合成其振动轨迹为一椭圆轨迹为一椭圆(又称又称“椭圆振动椭圆振动”)。椭圆轨迹的。椭圆轨迹的形状取决于振幅和位相差。形状取决于振幅和位相差。第第78页页/共共97页页讨论：讨论：yx1.第第79页页/共共97页页yx结论：结论：质点振动轨迹为正椭圆质点振动轨迹为正椭圆 2.第第80页页/共共97页页xy结论：结论：结论：结论：质点作线振动质点作线振动3.第第81页页/共共97页页 =5/4 =3/2 =7/4 =0 =/2 =3/4Q =/4P .第第82页页/共共97页页四四.垂直方向不同频率简谐振动的合成垂直方向不同频率简谐振动的合成 两分振动频率相差很小两分振动频率相差很小 =(2-1)t+(2-1)可看作两频率相等而可看作两频率相等而 2-1随随缓慢变化缓慢变化 合运动轨迹将按上页图合运动轨迹将按上页图依次缓慢变化依次缓慢变化 轨迹称为李萨如图形轨迹称为李萨如图形 x y=3 2 （Tx:Ty=2:3）2=0,1=/4yxA1A2o-A2-A1 两振动的频率成两振动的频率成整数比整数比第第83页页/共共97页页相互垂直的简谐振动的合成相互垂直的简谐振动的合成相互垂直的简谐振动的合成相互垂直的简谐振动的合成Tx:Ty第第84页页/共共97页页4.7 谐振分析谐振分析一一.一个周期性振动可分解为一系列频率分立的简谐振动一个周期性振动可分解为一系列频率分立的简谐振动-谐振分析谐振分析求解一个周期性函数所包含的各种简谐振动求解一个周期性函数所包含的各种简谐振动的频率及振幅的数学方法称的频率及振幅的数学方法称傅立叶分析傅立叶分析复杂振动可分解为一系列不同频率的谐振动之和。复杂振动可分解为一系列不同频率的谐振动之和。若若F(t)是周期性振动函数，即：是周期性振动函数，即：F(tT)F(t)则则F(t)可展开成如下傅立叶级数：可展开成如下傅立叶级数：第第85页页/共共97页页 基频：基频：2/T 是各分振动的最低频，也是周期函数是各分振动的最低频，也是周期函数F(t)的频率的频率k 称称 k 次谐频次谐频若周期振动的频率为若周期振动的频率为:0则各分振动的频率为则各分振动的频率为:0,2 0,3 0,(基频基频,二次谐频二次谐频,三次谐频三次谐频,)基频：决定音高（音调）基频：决定音高（音调）谐频：决定音色（音质）谐频：决定音色（音质）第第86页页/共共97页页ak、bk是常数：是常数：第第87页页/共共97页页对于每一个对于每一个k，可把，可把换写成换写成其中：其中：且令且令 A0 a0，则有：则有：第第88页页/共共97页页A0/2 表示表示 F(t)在一个周期内的平均值；在一个周期内的平均值；Ak 和和k 分别是第分别是第 k 个谐振动的振幅和初相位。个谐振动的振幅和初相位。第第89页页/共共97页页方方波波的的分分解解x0t0tx1t0 x3t0 x5t0 x1+x3+x5+x00tx0第第90页页/共共97页页xot锯齿波锯齿波A 03 05 0锯齿波频谱图锯齿波频谱图以各谐振动的频率为横轴，以相应的各振动振幅为纵轴以各谐振动的频率为横轴，以相应的各振动振幅为纵轴所作图解所作图解-一个实际振动的频谱一个实际振动的频谱将任一振动分解为许多简谐振动的方法称为将任一振动分解为许多简谐振动的方法称为频谱分析频谱分析周期性函数（振动）分解为若干倍频率谐振动，周期性函数（振动）分解为若干倍频率谐振动，其频谱是分立的线状谱其频谱是分立的线状谱第第91页页/共共97页页二二.一个非周期性振动一个非周期性振动xot阻尼振动曲线阻尼振动曲线阻尼振动频谱图阻尼振动频谱图o A可分解为可分解为无限多个频率连续变化的简谐振动无限多个频率连续变化的简谐振动频谱是连续谱频谱是连续谱第第92页页/共共97页页4.8 相空间中振动的轨道相空间中振动的轨道位形空间：位形空间：由位置坐标（由位置坐标（x，y，z）构成的空间。）构成的空间。相空间：相空间：由质点的位置由质点的位置 x 和动量和动量 P 构成的空间。构成的空间。相空间是法国数学家庞加莱（相空间是法国数学家庞加莱（Poincare）19世世纪末提出的。纪末提出的。相图上每一点表示了系统在某一时刻的状态。相图上每一点表示了系统在某一时刻的状态。第第93页页/共共97页页一、简谐振动的相图一、简谐振动的相图以作简谐振动的弹簧振子为例。以作简谐振动的弹簧振子为例。由机械能守恒定律得：由机械能守恒定律得：（总机械能，常量）（总机械能，常量）EEpEk其中：其中：第第94页页/共共97页页其相图是一个椭圆：其相图是一个椭圆：vXo等能轨道等能轨道椭圆点椭圆点图：简谐振动的相空间曲线图：简谐振动的相空间曲线在在O点点:E0第第95页页/共共97页页二、阻尼振动的相图二、阻尼振动的相图对于小阻尼振动，其方程为：对于小阻尼振动，其方程为：xAetcos(t+）质点的动量：质点的动量：P mv mdx/dt mAetcos(t+)mAetsin(t+)第第96页页/共共97页页P mAetcos(t+)mAetsin(t+)小阻尼振动的相图是螺旋线簇：小阻尼振动的相图是螺旋线簇：图：阻尼振动的相空间曲线图：阻尼振动的相空间曲线坐标原点坐标原点O称为：称为：“吸引子吸引子”或或“不动点不动点”第第97页页/共共97页页