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冰冻海洋中近海工程结构物极限冰载荷
广义数学模型

冰冻海洋中近海工程结构物极限冰载荷广义数学模型

俄罗斯符拉迪沃斯托克远东州立科技大学
摘要
The subject of this study is estimation of extreme ice loads from drifting hummocks and hummocky fields, as well as those from the even ice fields of occasional recurrence which affect the marine engineering structures on shelf of the fr这项研究的课题，主要是是评估漂流的冰体以及多冰体的冰区作用带来的极端冰载荷，在冰冻的海洋中，那些偶尔重现的较为稳定的冰区，对海洋工程结构带来影响。The authors have improved the previous deterministic model of dynamic contact interaction of drifting ice floes by simulation of frictional forces in cont作者们改进了以前的关于动态冰块接触摩擦的浮冰漂流确定性的模型。This model was realized as original computer animation model of ice floes impact, developed on the base of Delphi 7.0 s
该模型在Delphi 7.0软件的基础上，开发实现了利用计算机动画的形式模拟浮冰的影响。
关键词 ： 极端冰荷载，浮冰，冰体，确定性模型，动力学参数。
引言
When designing ice-resistant platforms for the development of the largest Russian Arctic deposits, the reliable estimation of the design ice loads is necessary with the target level of safety during all the lifetime of th在为最具发展潜力的俄罗斯最大的北极矿产设计抗冰平台时，该设计冰载荷可靠性估计是在与所有的满足安全要求和寿命要求的结构分析下进行的。冰载荷水平的估计可靠性直接取决于描述冰体相互作用程度的高精度数学模型的准确程度。
Generally the ice cover of the freezing seas represents the composite spatially-non-uniform structure consisting of constituents various in the origin and properties, such as the rare and layered ice fields, firstyear or perennial hummocks, hummock's rows, stamukha, and other ice formations drifting in water areas in condition of rarefaction with a various degree of unity (Bekker et al,一般来说，冰覆盖的海洋代表着复合的冻结空间，非均匀结构的组成成分的来源和性质不同，如稀有分层冰原，第一年或多年生的冰丘、冰排、搁浅冰山，以及其他在结冰条件下的稀疏水域漂流了不同大小的冰体[1]。
为了In order to describe mathematically the formation of extreme ice loads on offshore engineering structures, first of all, it is necessary:以数学方法描述极端冰载荷对海洋工程结构的作用，首先，我们将需要作如下工作：
- to select and analyze the design scenario with the ice cover including the analysis of the mode of a structure failure and target levels of structure reliability;- 选择和分析对冰体进行分析的设计方案，包括了进行结构的破坏程度分析和结构目标模式的可靠性分析；
- to develop the simplified mathematical models of interaction between the ice and the structure in every design scenario;- 开发简化的数学模型，在每一个设计方案中，研究冰载荷与结构物之间的相互作用；
- to determine design ice loads with the specified exceedance of probability for various ice conditions in every design scenario.- 在每一个设计方案中，在各种冰体条件下，确定实际载荷超出设计冰荷载的可能性。
In the previous studies (Bekker et al, 2006) the authors offered the deterministic model of a local ice drift in the water area including contact interactions of level ice fields with each other and with the fixed objects在以往的研究[2]中，作者提出了一个关于局部水域漂移冰作用的确定性模型，包括相互接触的冰体的相互作用，以及与某些固定物体的相互作用。在此模型中，冰盖被视为一个单一的漂流浮冰的机械系统，可以相互间发生作用，或者与某些固定的物体发生相互作用。因此，根据冰盖运动的特点，可以利用平衡方程计算外部运动的势力对单浮冰的作用。
The purpose of this study is mathematical simulation of formation of the extreme ice loads of various securities on offshore engineering structures affected by an integral ice cove这项研究的目的是建立一个不可分割的冰覆盖对海洋工程结构形成的极端冰载荷作用的数学模型。因此，采用了单元离散的方法，换句换说，就是以冰覆盖为代表的，有单一漂流随机单片，逐渐形成规模并形成大量的冰体（大冰原单浮冰、固体丘脊和单一冰体）。相邻片段的相互作用定义为他们的相对位移和相对速度。
This paper continues the studies of the authors concerning the given subjects, thus the following tasks were solved:本文在继承了前人的研究，在其研究成果的基础上，继续进行了研究，从而解决了以下问题：
- The design scenario of interaction of ice floes on contact with each other and with the fixed rigid object was analyzed;- 本设计主要对相互影响的浮冰之间的相互作用以及与某些固定的物体之间的相互作用进行了分析；
- The deterministic model of the dynamic contact interaction of the drifting ice floes by simulation of the frictional forces in contact was improved;- 对相互动态接触的漂流浮冰之间所产生的接触摩擦力的确定性仿真模型进行了改进；
- The original computer animation was developed in order to analyze the extreme ice loads in view of specificity of ice conditions offshore Sakhalin, described by previous studies (Bekker et al, 2001). - 为了分析具有特殊冰条件的萨哈林近海的极端冰载荷，根据先前的研究，对原来的电脑动画模拟进行了开发[1]。
确定性模型THE DETERMINISTI
In order to embedding the generalized deterministic model of the local ice drift in the water area including contact interactions of the ice fields between each other and with the fixed objects the following assumptions were developed (Bekker et al, 2006):为了引入包括相互联系的冰原之间的相互作用以及与某些固定物体的相互作用的广义确定性模型，做出以下的假设[2]：
1) The ice cover represented a mechanical system from single fragments - ice floes which can interact with each other and with the fixed rigid objects (a leg of the structure, single hummocks,hummocky ridges, etc.).1）冰覆盖代表了有关可以互相交流，并与固定僵硬的对象相关的单一机械系统（单腿结构，单一冰体，冰丘等）。
2) The flow of N ice floes with the initial known (according to natural observations) kinematical and geometrical performances moves uniformly in the water area affected by wind forces and currents.2）流动的N浮冰与初始已知（按自然观察）运动学和几何均匀风流和水流的力量影响的水域面积。
3) The impacts of ice floes with each other or with other objects were considered as elastic-plastic interaction between absolutely rigid bodies.3）浮冰之间的相互作用以及与其他物体的相互作用，被认为是弹性的。
4) Initially all the ice floes had an angular velocity w=0 .4）所有的浮冰最初有一个角速度w= 0。假如浮冰影响的对象，其角速度有变化。
5) The form of ice floes was considered circular in the plan.5）在本方案中，浮冰形式被认为是循环的。
6) Local motion of the ice floes was considered in a local (plane) frame ( x , y ).6）浮冰的局部运动被认为是在局部（平面）的，坐标为（x，y）。这就是为什么没有考虑浮力的影响和浮冰引力的影响。
7) Generally a moving ice floe was affected by frictional forces on "air-ice" and "ice-water" contact surfaces.7）一般而言，运动的浮冰受到“空气-冰”和“冰-水”接触面之间产生的摩擦力影响。科氏力一直被忽视。
The kinematic analysis of a single ice floe drift was considered in detail in the previous studies (Bekker et al, 2006), thus the differential equations of Lagrange of II- type were used.在前人的研究[2]基础上，进行进一步详细的分析，利用第二类拉格朗日微分方程，得到单一浮冰的漂移运动分析。
In this paper, the kinematic and dynamic parameters resulted from driving and interactions of single fragments of an ice cover were determined under the following scenarios :在本论文中，单一的冰覆盖相互作用引起的运动学和动力学参数，从以下几种情况进行分析：
1.1.Interaction between single drifting ice floes of random form and sizes; 单一的具有随机的形式和大小的漂流浮冰之间的相互作用；
2.2. Interaction of single drifting ice floes of random form and sizes with the single hummock leant against a structure and frozen thereto;单一的具有随机的形式和大小的漂流浮冰与停靠在结构物上单一冰丘之间的相互作用；
3.3. 单一的具有随机的形式和大小的漂流浮冰与延伸的冰体丘脊之间的相互作用；
Interaction of single drifting ice floes of random form and sizes with an extended ridge of hummocks;4.4. 单一的具有随机的形式和大小的漂流浮冰与完全固定的刚性单腿结构之间的相互作用。Interaction of single drifting ice floes of random form and sizes with a fixed, absolutely rigid leg of a structure.
Scenario 1 - Interaction of the drifting single ice情形1 漂流浮冰之间的相互作用：
a) Force interacti1）相互作用力
Let's introduce legend as follo让我们介绍如下：
是第k个浮冰的惯性力；
是力在OX轴上的投影；
是力在OY轴上的投影；
是第n个与第k个浮冰在接触点处产生的滚动摩擦力。
在浮冰相互作用点处的切线发向作用给定的作用力，其方向是由投影到坐标轴的切向方向决定的。
The given forces lay on a tangent line to a circle in the point of interaction of the ice floes, and their direction is determined by direction of inertial forces projection on axis parallel to a tangent line.明显地，有It is obvious that r ；
是第n个浮冰与第k个浮冰相互作用的力矩；
是第k个浮冰必然产生的相对应的力矩。
fr knAt the instant of interaction of the ice floes, a redistribution of inertial forces occurred through points of contact.在浮冰之间瞬间的相互作用下，惯性力在接触点处发生再分配。如果循环浮冰相互影响，这种再分配将沿着连接两个接触点中心的直线发生，并且依靠两个浮冰在这条预定的直线上的惯性力。如果一个浮冰与几个浮冰之间一次次地发生相互作用，给定的浮冰的惯性力将不可忽略地作用在其他浮冰上。很明显，大多数的惯性力会被认为与这些冰分别位于更接近浮冰所造成的
Thus, it is possible to express redistribution of the inertial forces as follows (Fig.1):因此，它可以表达如下再分配的惯性力（图1）：

图1:漂流的单一浮冰之间相互作用力示意图
(1)
其中，是第k个浮冰与第i个浮冰在中心相连接处产生的摩擦力在切线方向的分量；是惯性力重新分配的比例系数；是第k个浮冰与第i个浮冰在中心相连接处产生的摩擦力在切线的垂线方向的分量；是第k个浮冰的作用方向与第k个浮冰和第i个浮冰中心的连线之间的夹角。
根据几何因素，第k个浮冰与其相互作用的第i个浮冰之间的惯性力的比例系数，根据下式确定：
(2)
其中，是第i个浮冰在（见图1、图2）的作用下形成的扇形的面积；是的二等分线；是第k个浮冰与第i个浮冰之间相互作用点。
不能超过对其的限制，否则取。
根据给定的第i个浮冰的由于接触而产生的惯性力，这是其中具有特定关系的一部分。

图2: 单一漂流的浮冰之间运动学上的相互作用示意图
因此，第k个浮冰与其他浮冰相接触而产生的摩擦力，可以根据下式进行计算：
(3)
其中，为滚动摩擦系数；为滑动摩擦系数；为惯性轴第i个浮冰和第k个浮冰中心的连线之间的夹角。
根据在发生相互作用是产生的扭矩，选择相对应的系数。
The choice of the corresponding coefficient depended on a cross direction of the torques organized at the time of interaction.这种相互作用选择相应的系数取决于时间举办力矩交叉的方向。 If they were directed clockwise, we used ì s , or else ì r . 如果是顺时针方向，就选择，否则选择。
2b) Velocity pulse at impact of ice floes22222）速度冲击对浮冰的影响
Let's introduce legend as follo让我们介绍如下：
是第i个浮冰的角速度；
是第i个浮冰在发生相互作用之前的角速度；
是第i个浮冰的角加速度；
是第i个浮冰在发生相互作用之前的角加速度；
是第i个浮冰的速度；
是速度在OX轴上的分量；
是速度在OY轴上的分量；
是速度在第k个浮冰与第i个浮冰中心连线上的投影分量；
是速度在第k个浮冰与第i个浮冰中心连线的垂线上的投影分量；
根据之前1）中的推导，类似地，可以得到：
(4)
式中，是第k个浮冰的主冲量；第k个浮冰的质量；是冲量在第k个浮冰与第i个浮冰中心连线上的投影分量，因此可以得出下式，；是冲量在第k个浮冰与第i个浮冰中心连线的垂线上的投影分量，因此可得，；为方程（2）中定义的系数。
从以上的分析中可以得出，浮冰在发生相互作用时产生的旋转角速度关系式如下：
(5)
因此，第k个浮冰的总角速度可以定义如下：。
3）浮冰相互作用产生的旋转运动
在Until the moment of ice floes interaction, every ice floe may have only wi damping angular velocity (ie angular velocity tending to zero with time because of water friction), while missing moment of torsion Mi .浮冰相互作用，扭矩逐渐消失的时候，每一个浮冰只受到阻尼角速度作用（也就是说，在水阻力的作用下，角速度将逐渐趋于零）。
Taking as an example kth ice floe at the time of interaction from Fi以图1中相互作用的第k个浮冰为例，可以得出：
(6)
因此，从图1中可以明显地看出，当浮冰之间相互作用时，每个浮冰都将受到因相互作用而产生的几个力的作用。这些力是摩擦力以及阻力。
由此，可以得出以下两个结论：
1）如果，第k个浮冰与第i个浮冰在接触点处不会发生相对转动；
2）如果，第n个浮冰与第k个浮冰在接触点处将发生相对转动；
因此可以得到：
(7)
式中，是第k个浮冰的半径。
因此，在与其他浮冰的相互作用时，在相互作用时产生的力矩确定了第k个浮冰的总力矩，由下式计算：。
由此，可以得出，在相互作用时因转动而产生的角加速度，可以由下式确定：
(8)
因此，第k个浮冰的总加速度可以由下式确定：。
情形2、3、4 随机形式和尺寸的单浮冰与完全刚性的固定物体（冰丘、冰脊、支撑结构等）的相互作用
从图3中可以得出，与一个浮冰与另一个浮冰之间的相互作用产生的摩擦力相比，浮冰与各种不同的物体相互作用产生的摩擦力具有多种不同的形式。From Fig.也就是说，这种变化的主要原因是固定的物体对浮冰产生相对运动的压力。

图3: 具有随机性大小的浮冰与完全刚性的固定物体的之间相互作用示意图
(9)
第k个浮冰的其他动态的响应没有变化。
浮冰在接触处的动态响应
从前人的研究成果中，可以得到浮冰的相互作用产生如下的主要动态响应：压力，摩擦力，阻力。其中压力是对惯性力的调整得到的，摩擦力和阻力是由相互的转动形成的。因此，由浮冰之间的相互作用（根据假设3），得出第k个浮冰的惯性力根据下式计算：
(10)
角力矩以及阻力分别由下列方程确定：
(11)
(12)
从方程（11）和方程（12）中可以得出，如果与其他浮冰又相互接触，角力矩会形成新的阻力（由方程（6）决定），而在接下来的瞬间又会形成新的角力矩。因此，空气阻力以及水阻力限制了力的增长。
因此，给定的浮冰的主要力矢是由其组成部分的力矢总和决定的。例如：和。这条理论关系到所有浮冰。
类似地，我们得到了新的动态响应，关系式如下：
(13)
式中，是第i个浮冰与第k个浮冰中心连线上的投影分量的新的冲力。
更进一步的研究可以得到角速度和角加速度的关系，表达式如下：
(14)
(15)
式中，是第k个浮冰相对于第i个浮冰在相互作用的接触点处的切向加速度。
计算算法和结果
根据描述具有随意性形式和大小的单一漂流的浮冰的广义数学模型，可以得到下列的算法（图4），描述了浮冰之间相互作用以及浮冰与固定的刚性物体之间的相互作用。

图4:任务流程的总块图
1. 根据具有随机性漂流形式的浮冰N，赋予第i个浮冰初始的运动学、物理和几何参数，同时给固定的物体（例如：一个结构物、单一冰丘或冰脊）参数赋初始值。
2. 对引起作用的风以及水流施加给第i个浮冰的力进行定义。
3. 在给定的第k个区间上，找出用数学方程描述第i个浮冰运动的相应的拉格朗日第二类微分方程[2]。
4. 根据校核程序运行的时间，其中，是浮冰覆盖的设计方案持续运行时间量。如果条件满足，则根据第5项做进一步的计算，否则，根据第8项做进一步的计算。
5. 第i个浮冰在水域中的运动以及相互作用，将利用电脑动画的形式描述其结果。
6. 检验第i个浮冰与固定的刚性物体之间的相互作用。如果没有相互作用，则根据第7项进行计算，相互作用一旦确定下来，物体就将被确定下来（冰丘、冰脊、结构物）。根据物体的具体形式，依据给定的情形，确定第i个浮冰的动力学以及运动学参数。
7. 检查在给定的水域内，第i个浮冰的存在情况。
8. 计算程序结束，输出结果。
浮冰与结构之间的相互作用计算实例

图5: 浮冰与结构物之间压力的分配示意图
从图5中可以看出，以为圆心的浮冰与分别以 、为圆心的浮冰相互作用产生的力F，分解成两个力（除此之外，同样有阻力的作用，在此，没有考虑组里的作用，忽略他们的影响），因为分别以、为圆心的两个浮冰关于力的方向是对称的。很显然地，。
此外，以、为圆心的两个浮冰将会受到力的作用，相应地，根据相互作用的条件（以 为圆心的浮冰与分别以 、为圆心的浮冰发生相互作用，以 为圆心的浮冰与分别以 、为圆心的浮冰发生相互作用），将分解成相对应的和，其中，，。
现在讨论一下以 为圆心的浮冰。此浮冰从以、为圆心的两个浮冰受到压力的作用，同时，由于与以、为圆心的两个浮冰相互作用，受到以下两个力的作用：，，其中，将分别作用给以为圆心的浮冰以及以为圆心的浮冰。但除了受到此力的作用以外，他们将同样受到力的作用。根据与结构物相互作用的以、、为圆心的浮冰，可以确定压力的上限值，确定绘制压力的分布曲线（图5）。
由于作用在以、为圆心的两个浮冰上的作用力相等，可以得到：

对于以为圆心的浮冰来说，有如下关系式：

结论
1. 在本论文中，在前人的研究成果基础上，作者改善了漂流的浮冰之间的相互动态相触产生相互作用的确定性模型。因此，建立了浮冰与结构物之间相互接触而产生的摩擦力的联系，确定了浮冰的运动学以及动力学参数，并在相互作用的多方面情形中均被给予考虑。
2. 根据萨哈林近海的特殊的冰条件，利用Delphi软件技术基础上发展开发的可控动画模型，证实了结果的可靠性。
3. 作者们计划了进一步学术研究的发展方向：
- Introduction in the model of probability parameters of ice floes of various plan sizes;- 对多种平面大小的浮冰可能性参数的模型进行介绍；
- 进一步调查浮冰相互作用点的边界条件以及浮冰间接触的弹塑性相互作用问题的解决办法；
- 模拟浮冰与浮冰之间以及浮冰与结构物之间相互作用的动力过程；
- 模拟在指定的特殊情况下近海结构物上的额外浮冰载荷作用；

参考文献
[1] Bekker, AT and Sabodash, OA, and Venkov, AV (2001),“Investigation of Extreme Ice Loads on Offshore Structures”, Proc. Int. Society of Offshore and Polar Engineering Conf., Stavanger, Vol. 1, pp 788-795.
[2] Bekker, AT and Sabodash, OA and Shubin, OA (2006),”Global Simulation Model of Extreme Ice Loads On Marine Offshore Ice-Resistant Platforms”, Proc. the 7th ISOPE Pacific/Asia Offshore Mechanics Symposium, Dalian, pp 73-80.