生产与库存的动态规划模型.docx

课程设计(论文)

题 目 名 称 生产与库存的动态规划模型
课 程 名 称 数学模型
学 生 姓 名 黄初
学 号 0940802016
系 、专 业 理学系信息与计算科学
指 导 教 师 杜超雄

2011年 12 月 18 日

邵阳学院课程设计（论文）任务书
年级专业
09信息与计算科学
学生姓名
黄初
学 号
0940802016
题目名称
生产与库存的动态规划模型
设计时间
2011.12.1-12.16
课程名称
数学模型
课程编号
080801201
设计地点
实验室2210
一、 课程设计（论文）目的
1.利用我们所学的数学模型的知识对工厂的生产与库存的问题进行分析，模型的假设，模型的说明，及模型的建立和求解，
2.对模型进行评价，对模型的优点及缺点分析，对优点加以利用到实际中，对缺点改进，使模型更加完美。

二、 已知技术参数和条件
1.电子计算机。
2． LINDO软件或者LINGO软件。

三、 任务和要求
任务：
1. 熟悉数学模型书中所学的经典模型。
2. 理解数学知识在实际生活的广泛应用。
要求：
1. 巩固和加深对数学模型基本知识的理解，提高综合运用课程知识的能力。
2. 培养学生自学参考书籍，查阅手册、图表和文献资料的能力。
3. 通过实际课程设计，初步掌握简单软件的分析方法和设计方法。
4. 了解与课程有关的数学模型，能正确解释和分析实验结果。
5. 题目具有足够的工作量。
注：1．此表由指导教师填写，经系、教研室审批，指导教师、学生签字后生效；
2．此表1式3份，学生、指导教师、教研室各1份。
四、参考资料和现有基础条件（包括实验室、主要仪器设备等）

[1] 谢金星等，《数学模型》第三版，高等教育出版社，2003
[2] 胡运权等，《运筹学基础及应用》第五版，高等教育出版社，2008
[3] 柳振航等，《数学建模》第一版，中国人民大学出版社 2004

五、进度安排
2011年11月25日-30日：收集和课程设计有关的资料，熟悉课题任务何要求
2011年12月 1 日- 4日：总体方案设计
2011年12月 5 日- 8日：数学模型设计
2011年12月 9 日- 12日模型设计与程序调试
2011年12月13日- 16日：整理书写设计说明书

六、教研室审批意见

教研室主任（签字）： 年 月 日
七|、主管教学主任意见

主管主任（签字）： 年 月 日
八、备注

指导教师（签字）： 学生（签字）：

邵阳学院课程设计（论文）评阅表

学生姓名 黄初 学 号 0940802016
系 理学系 专业班级 信息与计算科学
题目名称 生产与库存的动态规划模型 课程名称 数学模型
一、学生自我总结
通过这次课程设计，让我更好地理解并掌握所学课程的理论知识，同时也锻炼了自己的实践能力，分析问题，解决问题的能力，在课程设计的过程中，老师精心的指导，让我们很快就明确了题目，然后我们查阅资料，确定设计方案，充分锻炼了我们实践能力。在设计的过程中遇到问题，可以说得是困难重重，这毕竟第一次做的，难免会遇到过各种各样的问题，同时在设计的过程中发现了自己的不足之处，对以前所学过的知识理解得不够深刻，掌握得不够牢固，但是通过这次课程设计之后，一定把以前所学过的知识重新温故。
这次课程设计终于顺利完成了，在设计中遇到了很多编程问题，最后在杜超雄老师的辛勤指导下，终于游逆而解。同时，对给过我帮助的所有同学和各位指导老师再次表示忠心的感谢！

学生签名： 黄初 2011年 12月 18 日
二、指导教师评定
评分项目
资料查阅
编写规范
基本技能
设计能力
科学素养
工作量
综合成绩
权 重
10
12
25
30
13
10

单项成绩

指导教师评语：

指导教师（签名）： 年 月 日
注：1、本表是学生课程设计（论文）成绩评定的依据，装订在设计说明书（或论文）的“任务书”页后面；
2、表中的“评分项目”及“权重”根据各系的考核细则和评分标准确定。

生产与库存的动态规划模型

摘要 本文讨论了关于生产与存储的问题，这是一个多阶段决策的生产问题，就此可建立一个动态规划的数学模型．利用运筹学和计算机的数学软件等相关知识，应用动态规划方法解决了这一问题，达到生产、需求与库存之间的平衡，以及在资源限制条件下的最优化的生产方案．并建立混合整数规划模型用LINDON数学软件进行检验.

问题的提出
生产与库存最有问题。设某工厂调查了解市场情况，估计在今后四个时期市场对产品的去求见表1
表1
时期
1
2
3
4
需求量
2
3
2

4
假定不论在任何时期，生产每批草坪的固定成本费为3(万元)，若不生产，则为零。每单位生产的固定成本费为1(万元)。同时任何一个时期生产能力所允许的最大生产批量为不超过6个单位。有设每时期的每个单位产品库存费为0.5（万元），同时规定在第一期期初几第四期期末均无产品库存。试问，该厂如何安排各个时期的生产与库存，才能使所花的总成本费用最低？

符号说明
生产过程划分为四个阶段，阶段变量 即：
1、状态变量 表示第k阶段末的库存量，由已知得
2、决策变量 表示第k阶段的生产量， 表示第 k 阶段的需求量.
3、状态转移方程： ，
4、阶段指标函数 表示第 k阶段的总成本，它由两部分构成一部分是第 k阶段的生产成本 ，另一部分是第 k 阶段的存贮费 .最优指标函数

问题重述
已知时段k某产品的需求量为 (k=1,2,……K)，任一时段若生产该产品，需付出生产准备费 ，且生产每单位产品的生产成本为 n，若满足本时段需求后有剩余，每时段每单位产品需付出存贮费.设每时段最大生产能力为 ，最大存贮量为，且第1时段初有库存量 ，试制订产品的生产计划，即每时段的产量，使 K个时段的总费用最小.
为了通过具体的计算说明解决这问题的方法，现设，千元，n=1千元/单位，千元/单位.时期.，单位，没有给出，视为存贮量不受限制.

模型的建立
建立模型Ⅰ
在提出生产与存贮问题时，忽略生产准备费用，首先考虑到生产、需求与库存之间存在着的平衡关系，这是一个一般的线性规划问题，可假设生产量为，，，，由于存贮费用取决于库存量，则记第一、二、三时期末的库存量为，，，由此可以用生产成本与存贮费之和（记作Z）作为问题为目标函数，在已知的第一期期初及第四期期末均无产品库存，得到一个简单的线性规模型：

此模型可用单纯形法求解，或用数学软件Maple求解,也可将上模型输入LINDON求解，就可得到最优解（略）.注意：这是在忽略生产准备费用时的最优解.
建立模型Ⅱ
以上用混合整数规划求解过多阶段生产计划，实际上，这是一类典型的动态优化问题，与用变分法建立连续动态优化模型不同的是，多阶段生产计划属于离散动态优化问题，动态规划模型是解决这类问题的有效方法.本文先讨论确定需求下的最优生产计划，并将它转化为典型的动态优化模型——最短路问题，然后研究随机需求下如何求解最优生产计划.由上述数据、假设，可建立一个动态规划的数学模型.
由题可知：

所以：
基本方程为：

模型Ⅱ的求解
动态规划的寻优方向一般有用逆序算法（反向递归）或顺序算法（正向递归）进行求解.当问题的第一阶段初和第三阶段末的状态方程均已知时，即，可采用两种方法求解.下面用顺序算法求解：
为了简化这个多阶段生产计划问题，可以将它从前向后地分解为一个个单时段问题.
（1）首先看第一个时期，为使4个时期的总费用最小，对于第一时期期初的存贮量，则可由状态转移方程：，考虑到，在最大生产能力为 与第一时期的需求量出发，则可能存在的的5种情况：
当时，有
这时状态集合为：

下面就各状态分别计算：
， 所以
， 所以
， 所以，
同理可得： ，所以，
，所以
（2）当时，由

其中由：，
而状态集合是：
下面就各状态分别计算：

所以，

所以，同理可得：
，所以
，所以
注意：在计算和时，需要用到和，由于每个时期的最大生产批量为6单位，故和没有意义的，就取，其余类推.
（3）当时，由：
,
其中，而状态集合为：

下面就各状态分别计算：
，所以；
，所以或3；
，所以
，所以
，所以
（4）当时，因为要求第4时期期末的库存量为0，即为，故有：

所以有.
再回代求最优策略：由，得：
，所以有，
，所以有，
，所以
故最优生产策略为：
，，，
而相应的全个生产过程中的4个时期的最小总成本是：20.5千元.
模型的检验
这时我们可以建立一个混合整数规划模型来检验动态规划方法的结果正确性：
建立模型Ⅲ：与模型Ⅰ比较，除了考虑随产品数量变化的费用（生产成本和存贮费用）外，还要考虑与生产数量无关的费用，即生产准备费用，只要某个时期开工生产时就需要有的这项费用，引入了变量，当时表示不生产，当生产.
（）

这一模型也可将数据输入LINDON求解（代码附后），就可得到：
最优目标函数为：20.5
各变量值为：
w1=1 w2=0 w3=1 w4=0 x1=5 x2=0 x3=6 x4=0
s1=3 s2=0 s3=4
由此可验证动态规划方法的正确性.
参考文献：
【1】 谢金星等，《数学模型》第三版，高等教育出版社，2003
【2】 胡运权等，《运筹学基础及应用》第五版，高等教育出版社，2008
【3】 柳振航等，《数学建模》第一版中国人民大学出版社 2004

用LINDON计算混合整数规划模型Ⅲ，代码：
min 3w1+3w2+3w3+3w4+x1+x2+x3+x4+0.5s1+0.5s2+0.5s3
s.t.
x1-s1=2
x2+s1-s2=3
x3+s2-s3=2
x4+s3=4
x1-6w1<=0
x2-6w2<=0
x3-6w3<=0
x4-6w4<=0
x1>=0
x2>=0
x3>=0
x4>=0
s1>=0
s2>=0
s3>=0
end
int w1;int w2;int w3;int w4
运行结果：
OBJECTIVE FUNCTION VALUE
1) 20.50000
VARIABLE VALUE REDUCED COST
W1 1.000000 3.000000
W2 0.000000 0.000000
W3 1.000000 3.000000
W4 0.000000 0.000000
X1 5.000000 0.000000
X2 0.000000 0.000000
X3 6.000000 0.000000
X4 0.000000 0.000000
S1 3.000000 0.000000
S2 0.000000 0.000000
S3 4.000000 0.000000