常微分方程习题 (1).doc

习题 2.5
1. 求解下列方程的解
（1） ysinx+cosx=1
解：移项得，cosx=1-ysinx
两边同除cosx得=—y+
所以，y=e（edx+c）
y=cosx(dx+c)
y=cosx(xdx+c)
y=cosx(tanx+c)
所以 y=sinx+cosxc为方程的通解
(2)ydx-xdy=x2ydy
解：两边同除x2得，=ydy
则d（）=d（）
所以，=c为方程的通解
（3）=4e-ysinx-1
解：两边同乘以ey得，ey=4sinx-ey
所以=4sinx-ey
令u=ey得，
u=e (dx+c)
u=e-x(dx+c)
又因为dx=4=4sinxex-4dsinx=4sinxex-4dx=4sinxex-4
=4sinxex-4excosx+4d（cosx）=4sinxex-4excosx-4dx
所以=2exsinx-2excosx（分步积分法）
即ey=e-x（2exsinx-2excosx+c）所以ey=2（sinx-cosx）+ce-x为方程的通解。
4）=
解：分子分母同除x得，
令u=，则y=ux,由此,代入原方程得，x+u=
化简得，x=

当u≠0时，=dx
（
（
1

令- 则 即，
即x=y（-
经验证，y=0也是方程的解。
（5）（xye+y2）dx-x2edy=0
解：原方程可写为=（分子分母同除y2）
令u=，所以x=uy，对y求导得，
即
×
将上述分离变量，可得，-，即-eudu-=
两边积分得，-eu-ln，c为任意常数
整理得，ln即ln+e=c为方程的通解。
（6）(xy+1)ydx-xdy=0
解：由题意可知，，
所以=-（y≠0），从而求得方程的积分因子ʯ=e=
两边同乘以积分因子得，
化简得，xdx+,即
d(,所以为方程的通解。
经验证，y=0也为方程的解。
（7）(2x+2y-1)dx+(x+y-2)dy=0
解：原方程可化为=
此时，，则令u=x+y,所以
即，

两边积分得，
ln(1+u)2-u+ln=x+c1
ln(1+u)3=x+u+c1即（1+u）3=exeue令e=c得，（1+u）3=cex+u
所以方程的通解为（x+y+1）3=ce（2x+y）
（8）
解：（伯努利方程）
两边乘以（y≠0）得，
令z=y（-1），从而，，则此伯努利方程可化为
（一阶非齐次线性微分方程）
利用公式可得，z=
z=
z=,所以为方程的通解。
经验证，y=0也为方程的解。
（9）
解：由题意可知，此方程为一阶非齐次线性微分方程。
所以利用公式可得，y=
y=e
y=(利用分步积分法求的原函数)
y=
所以y=-为原方程的通解。
（10）
解：令，则即
可得
所以，dy=（p-dp
y=
即方程的通解为
（11）
解：方程可化为（x-y+1）dx=（x+y2+3）dy
故该方程为恰当微分方程，有
xdx-ydx+dx-xdy-y2dy-3dy=0
(x+1)dx-(y2+3)dy-ydx-xdy=0
d(
所以为方程的通解。
（12）
解：方程两边同乘以得，

令u=x+y，可得
即（eu>0），利用变量分离得，
两边同时积分得，-e-u=+c1
所以为方程的通解。
（13）(x2+y2)dx-2xydy=0
解：由题意可知，，
=-，从而求得方程的一个积分因子为
方程两边同时乘以积分因子得，dx+

所以，x2-y2=xc为方程的通解。
（14）
解:由题意可知，该方程为一阶非齐次线性微分方程。
利用公式可得，y=
y=（利用分步积分法求得积分）
y=
y=-x-2+exc
所以x+y+2=exc为方程的通解。
（15）
解：令u=，则y=ux，
所以，x
，两边同时积分得，-e-u=ln1
所以为方程的通解。
（16）（x+1）
解：两边同时乘以得，
令，则有（x+1）

-ln1
ln=0

所以（x+1）ey=2x+c为方程的通解。
（17）（x-y2）dx+y（1+x）dy=0
解由题意可知， ,
，从而求得方程的一个积分因子为
两边同时乘以积分因子得，
两边同时积分得，
即，经化简得，y2=2x+1+2c1（1+x）2
所以y2=c（1+x）2+2x+1为方程的通解。
（18）
解：由题意可知，，
，从而求得方程的一个积分因子为=
两边同时乘以得，
即
两边同时积分得，
所以
经化简，为方程的通解。
（19）
解：令，则xp2-2yp+4x=0
即，所以
经化简得，
经化简可得即
又因为，所以
当时，可知也为方程的解
所以为方程的通解。
（20）
解：令θ，则方程化为，
即y=，则
因为
两边同时积分得，x=tanθ+c，c为任意常数
则方程的解为｛ 即
经验证，当sinθ=0，的y=±1也是方程的解。
（21）
解：经化简可得，
令，，则
,(1)
当时，
-

当时，由的性质可知，必存在使得。
经验证，也为方程(1)的解。
综上所述，为方程的解。
（22）
解：，
因为所以该方程为恰当微分方程。

所以为方程的通解。
（23）
解：由题意可知，
所以
所以可得该方程的一个积分因子为
当时，两边同时乘以积分因子得
即，则有
所以为方程的通解
经验证，y=0也是方程的解。
（24）
解：两边同除得，
经化简得，

所以为方程的通解。
（25）
解：令，则即
可得即
两边同时积分得，
所以方程的解为
（26）
解：，
,则该方程的一个积分因子为9
方程两边同时乘以积分因子得，

所以，2
经化简，为方程的通解。
(27)
解：令，则，即
当时，分离变量得
两边积分得
把代入上述方程得，，c为任意常数。
当时，即
所以方程的通解为或
（29）
解：令则
所以

所以为方程的通解。
（30）
解：
则
令则有

则

所以
化简为为方程的通解。