北航机械考研971972动力学课后答案概8.doc

点的运动学

点的运动学研究是物体上的某个点（或质点）在空间的位置随时间的变化规律，它既是研究质点动力学的预备知识，又是研究物体一般运动的基础。运动都是相对的，要描述物体的运动就必须选取另一个物体作为参考，这个被选作参考的物体称为参考体，与参考体固连的坐标系称为参考系。点的运动学研究点相对某参考体的运动规律，包括点的运动方程、速度、加速度以及它们之间的关系。研究点的运动，常用的方法有：矢量法、直角坐标法和自然坐标法。
在研究某些问题时，需要在不同的参考系中观察或描述点的运动，这些不同的参考系之间还存在有相对运动；有时可以把一些较复杂的运动分解成在不同参考系中几个简单运动的合成，这时就需要用复合运动的方法去处理这些问题。

一、点的运动学的基本理论
1、 矢量法
图1－5

o

矢量法是用矢量描述点的运动规律。
运动方程： （5－1）
速度： （5－2）
加速度： （5－3）
运动轨迹：矢径端点的曲线。
该方法通常用于理论推导，在研究具体问题时，还应选用合适的坐标系来描述有关的物理量。
2、 直角坐标法
直角坐标法是用点的直角坐标描述其运动规律。
运动方程： （5－4）
速度： （5－5）
其中：是速度在三个坐标轴上的投影。
加速度： （5－6）
其中：是加速度在三个坐标轴上的投影。
3、 自然坐标法
图5－2

o

s

点沿曲线运动时，其速度、加速度与曲线的几何形状有关，因此当点的运动轨迹已知时，其运动规律一般用自然坐标描述。
运动方程： （5－7）
速度： （5－8）
加速度： （5－9）
其中：，，
上式中为单位向量，分别是切向量（指向弧坐标s的正向）、法向量（指向曲线的凹向）和副法线向量（垂直于密切面并且满足关系式），它们构成一个正交的框架，称为自然轴系。为切向加速度，反映了速度大小的变化；为法向加速度，反映了速度方向的变化。
二、点的复合运动的基本理论
1、基本定义
定参考系：研究运动的基础参考系。在工程中，一般取与地面或机座固连的参考系作为定参考系。
动参考系：相对基础参考系运动的参考系。
动 点：被研究的点。动点要相对定参考系和动参考系均有运动。
绝对运动：动点相对定参考系的运动。
绝对速度：动点相对定参考系的速度，一般用表示。
绝对加速度：动点相对定参考系的加速度，一般用表示。
相对运动：动点相对动参考系的运动。
相对速度：动点相对动参考系的速度，一般用表示。
相对加速度：动点相对动参考系的加速度，一般用表示。
牵连运动：动系相对定系的运动，动系一般固连在某个刚体上。
瞬时重合点：在某瞬时动系上与动点重合的点。瞬时重合点在与动系固连的刚体上或该刚体的延展体上。
牵连速度：瞬时重合点相对定参考系的速度，一般用表示。
牵连加速度：瞬时重合点相对定参考系的加速度，一般用表示。
2、基本定理
速度合成定理：动点在每一瞬时的绝对速度等于该瞬时牵连速度与相对速度的矢量和，即：
（5-9）
该定理适用于动系作任何运动的情况，其中，是和构成平行四边形的主对角线，这三个矢量必定共面并且可用6个标量表示（如各矢量的大小用一个标量表示,其方向用另一个标量表示；或用各矢量在两个正交轴上的投影表示）。式（5-9）是一个平面矢量方程，等价于两个代数方程，只能确定两个未知量与其它四个量的关系。
加速度合成定理：动点在每一瞬时的绝对加速度等于该瞬时的牵连加速度、相对加速度与科氏加速度的矢量和，即：
（5-10）
其中： （5-11）
加速度合成定理（5-10）式适用于动系是任意运动的情况，（5－11）式中的为动参考系的角速度。当动系作平移时，，此时，加速度合成定理可表示成：

（5-12）
公式（5-10）可以写成最一般的形式
（5-13）
如果上式中的7个矢量共面，则该矢量方程等价于两个代数方程，可求解两个未知量；若这7个矢量不共面，则该矢量方程等价于三个代数量方程，可求解三个未知量。需要注意的是，当复合运动问题中的各种速度(角速度)求解出来后，在轨迹的曲率半径已知的条件下，加速度均为已知量。
3、动点与动系的选择
为了便于求解复合运动问题，应选取合适的动点与动系，如果选取不当，就可能对问题的求解带来困难。动点与动系的选取应遵循以下规则：
（1） 动点与动系不能选在同一个刚体上，应使动点相对动系有运动，否则不能构成点的复合运动。
（2） 应使动点的相对运动轨迹易于确定，最好为一已知的直线或曲线（轨迹的曲率半径已知），这样便于确定矢量的方向。

思考题与习题
（质点运动学）

5-1 点在运动过程中，速度与加速度始终垂直，则该点可能作 。
A：圆周运动 B：平面曲线运动 C：空间曲线运动 D：直线运动

5-2 点在运动过程中，加速度为一恒定矢量，则该点可能作 。
A：圆周运动 B：平面曲线运动 C：空间曲线运动 D：直线运动

5-3 点在运动过程中，加速度矢量始终指向某一固定点，则该点可能作 。
A：圆周运动 B：平面曲线运动 C：空间曲线运动 D：直线运动

5-4 点沿曲线匀速率运动，点的法向加速度是否恒不为零。

5-5 点作曲线运动，其加速度为恒定矢量如图所示，问该点是否作匀变速运动？
题5－5图

o

a

题5－6图

5-6 点沿椭圆轨道顺时针运动（），已知该点加速度a的方向始终指向坐标原点O，其大小随时间变化。该动点在哪个象限作“加速”运动（速度矢量的模增加）？
5-7 一质点沿圆锥曲线运动（为常量），其速率为，求它的速度在和方向分量的大小。

5-8 点做平面曲线运动，已知该点速度的大小，速度的方向与轴的夹角，其中是时间t的连续可微的函数，并且，求任意时刻点的速度和加速度在轴上的投影以及轨迹的曲率半径。

5-9 求例题5-4中滑块C加速度的大小，并指出加速度的方向。

5-10 已知点作平面曲线运动，初始时的速度大小为，在运动的过程中切向加速度和法向加速度的大小相等且为常量，即，求经过时间秒后，速度矢量转过的角度。

5-11如图所示，半径为R的滑轮以匀角速度绕O轴转动，并带动滑块A在铅垂杆上运动，试将滑块A的速度和加速度表示成的函数。
题5－11图

题5－12图

A

O

R

x

A

B

O

5－12 如图所示半圆盘以匀角速度绕O轴逆时针转动，两动点A、B均以相对速度u沿其边缘运动，试定性分析比较两个动点绝对加速度的大小。
A: ； B：； C:
5－13 机构如图所示，物块B平移的速度为，靠在其上的OA杆（长为L）可绕O轴作定轴转动，试定性分析比较OA杆角速度的大小。
A B: C:
题5－13图

(a)

A

B

O

(b)

A

B

O

题5－14图

题5－15图

O

B

A

O

A

B

C

5－14 滑块A通过铰链与OA杆的A端连接，并可在物块B上的半圆形滑道内滑动，若物块B在水平面上匀速平移，试确定当滑块A运动到图示位置（OA杆与半圆弧相切）时， OA杆角加速度的转向，并分析此时物块B的速度方向与OA杆角加速度的转向是否有关。

5-15半径为R的圆盘绕B轴转动,带动长为2R的OA杆绕O轴转动。图示瞬时圆盘的角速度为，角加速度为零，直径AB与水平线的夹角为，OA杆水平。求该瞬时OA杆的角速度和角加速度。

A

B

题5－16图

5－16 车轮在地面上纯滚动，若轮心O以匀速向右运动，试定性分析车轮边缘上A点和B点的速度大小在经过一个充分小的时间间隔后，是增加还是减小。

题5－17图

题5－18图

A

B

D

A

O

B

5－17 长为L的AB杆，其A端与滑块铰接，B端靠在物块D上，图示瞬时，滑块A的速度为，加速度为，物块D的平移速度为，加速度为零，求该瞬时AB杆的角速度和角加速度。

5－18 半径为R的圆盘以匀角速度绕O轴作定轴转动，其上缠绕的绳索（无相对滑动）一端系在套筒A上，套筒可在OB杆上滑动。若OB杆以匀角速度绕O轴转动，求系统在图示位置（OB杆水平）时，套筒A的速度和加速度。

题5－19图

题5－20图

1

2

5-19 曲柄滑块机构如图所示，在图示瞬时滑块的速度为，若以OA杆为动系，滑块B为动点，求该瞬时滑块的相对速度。

5－20 机构如图所示，长度为L的杆1和杆2在铅垂面内绕固定轴转动，并带动半径为R的圆柱凹槽运动；长为3R的AB杆可绕A轴转动，B端用铰链与半径为r的圆盘连接，该圆盘在凹槽上滚动。图示瞬时杆1和杆2铅垂，杆1的角速度为，角加速度为，AB杆水平，若R＝3r，求图示瞬时AB杆的角速度和角加速度。