数字信号处理的数学推导.doc

DSP课件中的数学推导及解释（v1.0）
陈明

1-1 离散时间信号-序列
第5页：对正弦信号采样，T=1ms时，求序列

第19页：任何序列可以表示为单位冲激序列的移位加权和（即与的卷积和）。
解释：这个过程可以理解把任意序列分解成很多只包含一个非0序列值的序列之和，而每一个单独的序列可表示为，所以总的序列为多个之和。

第26页：数字角频率的单位为弧度/样本。
解释：复指数序列可以看成是由连续复指数信号采样得来，因此：，可以看到数字角频率与模拟角频率的关系是：，的单位为弧度/s，T的单位为s，或理解为s/样本，因此的单位为弧度/样本。

第28页：复指数序列不一定是周期的。
解释：要想为周期序列，必须满足：，则，因此，必须，与连续情况不同，这里要求N为整数，这使得当取某些值时，可能取不到整数的N，只有当为有理数（包括整数）时，才会存在整数N，序列才是周期的。

1-2 线性移不变系统
第4页：要理解只是一个符号，不是一个具体的公式。所以不能将中的变量n简单替换为n-1，认为等式依然成立。实际上，的含义是输入序列先移位，然后再经过系统处理后的输出，的含义是输入序列先经过系统输出，然后再移位，两者是不一样的过程产生的输出，不要想当然认为一定相等。

第7页：判断下面系统是否是线性的
l ：

l ：

l ：

第10页：判断下面系统是否是移不变的
l ：
注意上面的变量替换在后面的分析中经常遇到
l ：
令，则

第13页：用BIBO稳定性定义分析累加器系统是否是稳定的
累加器系统：，令输入序列为，显然是有界的，而，当，是无界的。所以累加器系统不是稳定的。
目前已经证明了累加器系统是线性移不变因果不稳定系统。

第15页：求累加器系统的单位冲激响应
根据单位冲激响应的定义，

第16页：证明LTI系统的输入与输出关系

第二个等号利用了任意序列可用单位冲激序列来表示，第三个等号利用了系统的线性，第四个等号利用了单位冲激响应的定义以及系统的移不变性。

第18页：如何求序列卷积和一定要去练习（一般用第二种方式，书上有例题）

第19,20页的证明不要求掌握，但要求记住。

第22页：判断LTI系统的因果稳定性
由于，是因果的。
，是绝对可和的，即系统是稳定的。

第28页：证明
l

最后一个等号利用只能在取值
l 累加器系统和后向差分系统的级联等价于一个直通系统
已经证明累加器系统的单位冲激响应为
而后向差分系统的单位冲激响应为
因此，级联后系统的单位冲激响应为：
，这是全通系统
第二个等号利用了。

1-3 常系数线性差分方程
第11页：证明：LTI系统满足初始松弛条件，则一定是因果系统
LTI系统的输入输出为

当时，上式可写为，初始松弛条件要求此时的，即
则必然要求，此时，所以有，即系统为因果系统
（其实，满足初始松弛条件的差分方程所代表的系统一定是LTI因果系统。这个结论可以用归纳法来证明）

第12页：求，在初始松弛条件下系统的单位冲激响应

由于系统是因果的，所以，从n=0开始
，，
可得
大家可以尝试用后面讲的z变换法求。

2-1 2-2 z变换的定义与收敛域
第23页：ZT ROC的性质一和二的证明不要求，性质三是显然的，下面证明性质四
根据ZT定义，
l 显然要使，必然要求都为0，即这是因果序列
l 要使，必然要求都为0，即这是反因果序列

第24-27页：每种序列ZT ROC形式证明不要求，但要求记住。

第29页：利用ZT定义求下面序列的ZT，并获取ZT ROC
l ：
，极点为。由于该序列为左边序列，所以ROC为
l ：，是因果有限长序列，
l ：
有两个极点：右边部分的极点，左边部分的极点
这是双边序列，因此ROC为（由于，所以可保证）

第30页：求下面序列的ZT，并获取ZT ROC
l
，有两个极点：，由于是右边序列，所以ROC为
l
，有两个极点：右边部分的极点为，左边部分的极点为，这是双边序列，所以ROC为

2-3 z反变换
第10页：推导求的公式
因为：
两边乘以，则：
令，则：

第11页：求的Z反变换
令：，则可求得待定系数：

所以
根据ROC的形式，序列为右边序列，所以可得

第13页：求的Z反变换
由于M=N，所以会有一项常数项，先用长除法确定该常数项

所以：

所以：
根据ROC的形式，可知序列为右边序列，因此：

2-4 z变换的基本性质和定理
第3页：线性组合序列的ZT ROC可能比交集大
有时候两个序列的组合，会使得它们的ZT函数组合后产生一个新的零点，正好与函数的某个极点抵消，由于少了极点，使得ROC扩大。

第4页：求的ZT
，
注意：由于新产生了一个零点，与极点抵消了，所以ROC不是两个序列ROC的交集，而是（实际该序列已经变成了一个有限长序列）

第5页：证明ZT的时移性

第6页：求的Z反变换
由于，则

第7页：证明乘以指数序列特性

第8页：证明Z域求导

第9页：求的Z反变换
可得：，则
所以： ，这里利用了时移性
而根据求导性质，则，所以

第10页：证明共轭性

第11页：证明翻褶性

第13页：证明ZT的时域卷积定理：

第二个等号利用了ZT的线性，第三个等号利用了ZT的时移性质。

第18页：分析系统的因果稳定性，当输入为时的输出
可得：，
根据系统函数的ROC：，且，可知ROC包含单位圆之外的所有区域，所以系统是因果稳定系统

利用部分分式展开法可得：
根据ROC，反变换序列为右边序列，则

第21页：已知因果LTI系统差分方程，求系统函数和单位冲激响应；分析系统为稳定的条件
解：对差分方程两边求ZT，得，可得系统函数为，由于是因果系统，所以ROC为，求反变换得单位冲激响应
系统为稳定系统的条件是系统函数的ROC必须包含单位圆，则要求

2-6 序列的DTFT
第4页：证明序列DTFT的周期性

第9页：求的DTFT

注意：为什么相位谱图形在一些频率点处会出现不连续？因为在那些频率点，，而在这个频率点左右附近，发生正负号的改变，导致相位有一个的跳变。

第11页：推导DTFT的反变换

第17页：求理想低通滤波器的IDTFT，即单位冲激响应

第19页：求复指数序列的DTFT表示

第三个等号利用了积分范围，只需取一个冲激。
（周期序列的傅里叶表示更常用的是后面讲的DFS）

第20页：，根据上面结论，可知

2-7 DTFT的主要性质
*大部分的证明与ZT的性质类似，这里就只列出部分

第9页：证明DTFT的时域卷积定理

第二个等号利用了DTFT的线性，第三个等号利用了DTFT的时移性。

第16页：由频域卷积定理推导帕塞瓦定理
由于，所以
，令，则：

第17页：利用帕塞瓦定理证明能量守恒定理
帕塞瓦定理：
令，则：

第19页：求自相关函数的DTFT
自相关函数
由帕塞瓦定理可知：
所以

2-8 DTFT的一些对称性质
第5页：证明DTFT的对称性

第6页：证明实序列的DTFT为共轭对称的
因为，因此

1-4 连续时间信号的采样
第10页：推导连续周期信号的两种FT形式（这是信号与系统的内容，复习一下）
设连续时间周期信号的周期为，它的基波角频率为，可以把该信号分解为谐波复指数信号的线性组合：，称为傅里叶级数的系数，下面推导它的表达式为：
（1）
下面关键是利用谐波复指数信号的正交性，如下：

第三个等号利用了

因此，
代入（1）式：

连续时间周期信号的第二种傅里叶表示是：傅里叶变换，如下：

证明如下：

第4个等号利用了

第11页：求周期冲激串的傅里叶变换
好了，有了连续周期信号的两种FT表示：
，

对于周期冲激串，可得傅里叶级数的系数为：

第二个等号是因为积分范围为，所以只取一个冲激，第三个等号利用了：
因此，周期冲激串的FT为：
由于周期冲激串的周期就是采样周期，所以基波频率，所以有

第12页：求冲激串信号的FT

第16-17页：分析冲激串FT与序列的DTFT关系

直接用FT的定义，可得冲激串的FT为：

而序列的DTFT为：
由于，比较后，可知

第21页：获取几个模拟角频率所对应的数字角频率

第35页：推导由序列重建连续时间信号的公式
先推导理想重建滤波器的单位冲激响应

因此重建后的连续时间信号为：

3-3 周期序列的离散傅里叶级数
第13页：证明周期序列DFS的系数为
（1）
下面证明谐波复指数序列的正交性：
，（注意由于（1）式只考虑，所以这里不需考虑的情况）
（分母不会是0）
所以：
代入（1）式可得：

第21页：求的10点周期序列的DFS

3-4 DFS的性质
第3页：证明DFS的时移性
第四个等号利用了序列的周期性。

第4页：证明DFS的对偶性

或者：，把符号k,n交换后，则
，

第5页：证明周期序列DFS翻摺性和共轭性

第三个等号利用了序列的周期性

对称性证明与DTFT的对称性证明相同

第7页：证明周期卷积定理

第二个等号利用了DFS的线性，第三个等号利用了DFS的时移性。

3-5 DFT
第26页：求的IDFS
（1）
(注意这里由于m可取范围为，不能只考虑n=m)

(分母不为0)
所以：
代入（1）式，可得：

第30页：由序列的N点DFT，即N个离散频谱重建出连续频谱

第五个等号省略了几步，前面都有类似的步骤，比如本文档3-3第21页。

第30页：DFT的变量k与其所对应的连续角频率之间的关系

3-6 DFT的性质
第6页：证明DFT的圆周移位性
由DFT的定义可知：隐含着，所以有：
第二个等号利用了DFS的时移性。

第8页：证明DFT的对偶性

第二个等号利用了DFS的对偶性。

第13页：注意用作为的圆周翻摺的简写时，应该记住：，另外，这只是有些书中这样简写，正式的写法还是

第16页：证明序列共轭和圆周翻摺的DFT

第二个等号利用了共轭序列的DFS。

第二个等号利用了翻摺序列的DFS。

第20页：证明DFT的圆周共轭对称性

第30页：证明时域圆周卷积定理
第三个等号利用了DFS的线性，第四个等号利用了DFS的时移性

第31页：证明圆周卷积满足交换律

第36页：解释：当，线性卷积的N点离散频谱值等于两个序列DFT的乘积
做N点采样，并取主值序列，则：
第三个等号是由于，利用DFT与离散频谱的关系。

第37页：证明
实际就是证明
推导过程参见本文档3-5第26页