流变学基础讲稿.doc

粘弹性(viscoelasticity)
第一章基本概念
弹性固体具有确定的构形，在静载荷作用下发生的变形与时间无关，卸除外力后能完全恢复原状。粘性流体没有确定的形状，或决定于容器，外力作用下形变随时间而发展，产生不可逆的流动。

若材料同时具有弹性和粘性两种不同机理的形变，综合地体现粘性流体和弹性固体两者的特性，则称材料的这种性质为粘弹性。
如果材料性能表现为线弹性和理想粘性特性的组合，则为线性粘弹性。
线弹性一般用胡克体，理想粘性一般用牛顿流体来表达。
蠕变(creep)：恒定应力下，应变随时间增加的现象。
滞弹性(anelasticity)：在弹性范围内加载或卸载，发现应变不是瞬时达到其平衡值，而是通过一种驰豫过程来完成的，即随时间的延长，逐步趋于平衡值的，在应力作用下逐渐产生的弹性应变叫滞弹性应变。
应力松弛(stress relax)：当应变恒定时，应力随时间而减小的现象。

蠕变与回复 应力松弛
第二章 微分型本构关系
1. 基本的典型模型（根据流变学分类法)
弹性：没有记忆（与历史无关)，可逆的(没有耗散)，没有时效，瞬时响应，与加载速率无关。
塑性：有记忆（与历史有关)，不可逆(有耗散)，没有时效，瞬时响应，与加载速率无关。
粘性：有记忆，有耗散，不可逆，有时效。
各种材料模型的比拟文件如图1所示。

多数的工程材料，可用上述三者之一或三者中的某种组合来描述（在一定的条件下)。

图1 比拟元件图
弹性元的件
塑性元件
粘性元件

2. 粘弹性材料
该材料既有粘性，又有弹性。
变形 = 瞬时效应+随时间而变化的变形（后效，滞后部分)。
（弹性) （粘性流动)
3. 两种典型的特性试验
弹性：，若 则 （柔度)；
，若，则 （模量)。
粘弹性： (由于增加，则减小，材料软化)，
蠕变柔量。
松驰实验：，
松驰模量。
线性粘弹性本构方程，可用叠加原理。
材料本构方程有三种表述形式：
① 微分算子型；② 积分型——遗传积分；③ 复数型（本次不介绍)。

§2 微分算子型
1. 两个基本的比拟模型（非真正的材料模型，用于定性的说明)
① Maxwell模型
元件的本构方程为
图2.1 Maxwell模型
(2.1)
如图2所示组成系统，因为

图2.2 Kelvin（Voigt）模型
则系统的本构方程（与的关系)为
(2.2)
该模型的本构方程接近于粘弹性流体的本构方程。
② Kelvin（Voigt)模型
元件的本构方程为
(2.3)
因为

则系统的本构方程为
(2.4)
该模型的本构方程接近于粘弹性固体的本构方程。
2. 推广到一般情况
定义，若
(2.5)
则
(2.6)
为微分算子型本构方程。其中，为材料常数，若与时间无关，则称材料无老化。
对于Kelvin材料，；，其余为零。
对于Maxwell模型， ；，其余为零。
3. Laplace变换
设满足
(2.7)
且
(2.8)
Laplace变换变换后，有
(2.9)
(2.10)
对Maxwell模型，本构方程(2.2)进行Laplace变换
(2.11)
则
(2.12)
利用逆变换，可求出。
对于Kelvin模型，本构方程(2.4)进行Laplace变换,有
(2.13)

或
(2.14)
利用逆变换，可求或。
对于一般情况, 本构方程进行Laplace变换,有
(2.15)
其中,均为多项式。则
(2.16)

图2.3 并联个Maxwell模型

一般性求解过程为，。
具体的方法：
1)并联个Maxwell模型(图10.2.3)

2)串联个Kelvin模型(图2.4)

图2.4 串联个Kelvin模型

§3 粘弹性定律，对应原理（相应原理)
线弹性本构方程为
(3.1)
其中，为应力偏张量，为应变偏张量。
线性粘弹性本构方程为
(3.2)
为粘弹性定律。
这两类材料的本构方程有如下对应关系。
(3.3)
称为本构方程的对应原理。
例如：

则
(3.4)
为一维线性粘弹性材料本构方程。
两类问题的解的对应原理。
线弹性：
(3.5)
线粘弹性：
(3.6)
进行Laplace变换以后，有
(3.7)
变换后所示的解与线性解的对应关系为
(3.8)
但注意，接触问题不能对应，断裂力学不能对应，因为边界在发生变化，上述只是边界条件不变时才可用。

§4 积分型
1. Boltzman叠加原理
引入函数
图4.1 函数图形
(4.1)
对不同时刻的突加应力或突加应变，以及多个时刻突加应力或突加应变的累计可表示为
(4.2)
且当时，。

图4.2 函数的应用

(4.3)
(4.4)
这就是Baltzman原理，如图4.2所示。
2. Voltera遗传积分
在上面中，取无穷小，为无穷小，则为无穷多项相加，些时可写为积分形式为
(4.5)
称为Voltera遗传积分。
若当时，。采用分部积分，有
(4.6)

该式只是一种表述形式，没有什么实际意义。

图10.4.3 应力在t=0时有突变
3. 卷积分
对图10.4.3所示的情况，积分可写为
(4.7)
则
(4.8)
下面定义卷积分。
设 当时均为零，定义
(4.9)
为与的卷积分。
在(4.8)式中应用(4.9)式的卷积分定义，有
(4.10)
4. 独立变量的互换
前面已讲述的，以为独立变量，有遗传积分表达式(4.5)为

其中，为核心函数，也称为材料特性函数或蠕变柔量。要已知，并要找出其全部历史，方可积分。
再以为独立变量，为响应（状态函数)，有
(4.11)
此时，为核心函数，也称为材料特性函数或松驰模量。要已知，并要找出其全部历史，方可积分。
对于，有突变的应变情况，有
(4.12)
5. 三维应力状态（推广到一般)
将(4.11)式推广到三维应力状态（即一般应力状态)的情况，有
(4.13)
其中，对和对称，但一般对和不对称，即，所以线弹粘性材料一般有36个特征函数。
对于各向同性材料，有
(4.14)
代入(4.13)式，有
(4.15)
其中，和称为特征函数。
特例：
1)均为常数，则
(4.16)
退化为虎克定律。
2)，且（时，为无限大，时，)，则
(4.17)
于是有
(4.18)
可模拟线性粘弹性流体本构方程。
说明：
1);
2)要加上静水压力（不流动时也有应力)。
所以线性粘弹性流体的本构方程应为
(4.19)
（该项为本构方程不确定应力)

yinjr@
yinjiuren@