2012渭南实验初中八年级数学竞赛试题答案.doc

1、 分解因式 (x-3)(x+4)(x-5)(x+6)+80.
分析：这道题的前面是四个多项式的乘积，可以把它们分成两组相乘，使之转化成为两个多项式的乘积. 无论如何分组，最高项都是x2，常数项不相等，所以只能设法使一次项相同. 因此，把 (x-3)(x+4)(x-5)(x+6)分组为[(x-3)(x+4)][(x-5)(x+6)] = (x2-x-12) (x2-x-30)，从而转化成例2形式加以解决.
我们采用“均值换元法”，设m = [ (x2-x-12)+ (x2-x-30)]=x2-x-21，则x2-x-12=m+9，x2-x-30= m-9，原式变形为
(m+9)(m-9)+80
= m2-81+80
= m2-1
= (m+1)(m-1)
= ( x2-x-21+1)( x2-x-21-1)
= ( x2-x-20)( x2-x-22)
= (x+4)(x-5)( x2-x-22).
2、已知M＝、N＝，用“+”或“－”连结M、N,有三种不同的形式，M＋N、M－N、N－M，请你任取其中一种进行计算，并化简求值，其中x︰y=5︰2．
解析：本题有三种选择，只写一种即可．
如，
当∶=5∶2，即，原式=．
3．（8分）蕲春红人电器行“家电下乡”指定型号的冰箱彩电的进价和售价如右表所示：
⑴按国家政策，农民购买“家电下乡”产品可享受售价13%的政府补贴；农民蕲大伯到该电器行购买了冰箱一台，彩电两台，可以享受多少元的政府补贴？（2分）
⑵为满足农民需求，红人电器行决定用不超过85000元采购冰箱和彩电共40台，且冰箱的数量不少于彩电数量的．
①请你帮助该电器行设计相应的进货方案；（3分）
②哪种进货方案电器行获得的利润最大？(利润＝售价－进价)最大利润是多少？(3分)
类别
冰箱
彩电
进价(元/台)
2320
1900
售价(元/台)
2420
1980

13．（8分）⑴(2420＋1980×2)×13%＝829.4 2分
⑵①设冰箱采购x台，则彩电采购(40－x)台，根据题意得
解不等式得： 4分
∵x为正整数，∴x＝19，20，21
∴该商场共有3种送货方案

冰箱买台
彩电买台
方案1
19
21
方案2
20
20
方案3
21
19

5分
②设商场获得总利润y元，根据题意得：
y＝(2420－2320)x＋(1980－1900)(40－x)＝20x＋3200 7分
∵20＞0，∴y随x的增大而增大
∴当x＝21时，y最大＝3620元
故方案3利润最大，最大利润是3620元 8分
4. 解方程：
. 解：原方程化为

方程两边通分，得

化简得
解得
经检验：是原方程的根。
5、 一列火车从车站开出，预计行程450千米，当它开出3小时后，因特殊任务多停一站，耽误30分钟，后来把速度提高了0.2倍，结果准时到达目的地，求这列火车的速度。
解：设这列火车的速度为x千米/时
根据题意，得
方程两边都乘以12x，得
解得
经检验，是原方程的根
答：这列火车原来的速度为75千米/时。

6、已知a是非零整数，且，试解方程。
解：不等式组化为
，从而，1。
当时
方程无解
当时
方程即为
解之得

7、在中，三边a,b,c满足
求证：
证明：

8、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，BE⊥CD于E，且BC＝BD，对角线AC、BD相交于G，AC、BE相交于F。求证：。

分析：由于FG、FA、FC三条线段在同一直线上，不能直接证明一对三角形相似而得结论。根据题设条件易得BE是DC的垂直平分线，于是连结FD得FD＝FC，再证△FDG∽△FAD即可。
9、、　如图所示，某校计划将一块形状为锐角△ABC的空地进行生态环境改造，已知△ABC的边BC长为120m，高AD长80m，学校计划将它分割成△AHG、△BHE、△GFC和矩形EFGH四部分，现计划在△AHG上种草，在△BHE、△GFC上种花。问：当FG长为多少米时，种草的面积与种花的面积相等？
分析：如图2，四边形EFGH为矩形，则GH∥BC，AK⊥GH，

设FG=x，AK=AD－FG=80—x
由△AHG∽△ABC，  即，
HG=120－x，又BE+FC=BC－EF=BC—HG=x
由S△AHG=S△BHE +S△GFC，
（120－x）（80—x）=·x·x  解得x=40
即FG长40米时，种草的面积与种花的面积相等。

9、 如图，花丛中有一路灯杆AB在灯光下，小明在D点处的影长DE=3米，沿BD方向行走到达G点，DG=5米，这时小明的影长GH=5米，如果小明的身高为1.7米，求路灯杆AB的高度（精确到0.1米）
解析：根据题意得，AB⊥BH，CD⊥BH，
FG⊥BH，则AB∥CD∥FG，
得到Rt△ABE∽Rt△CDE，
∴ ①，同理 ②
又CD=FG=1.7米，DE=3米，DGF=GH=5米，由①、②可得，解得
BD=7.5米，将BD=7.5米代入①，得AB＝5.95米≈6.0米，即路灯杆AB高约6.0米．
说明：同光线下的影子的计算类问题，多需要用到相似形问题．
11、　如图9，在一个长40m、宽30m的长方形小操场上，王刚从A点出发，沿着A→B→C的路线以3m/s的速度跑向C地。当他出发4s后，张华有东西需要交给他，就从A地出发沿王刚走的路线追赶，当张华跑到距B地的D处时，他和王刚在阳光下的影子恰好重叠在同一条直线上，此时，A处一根电线杆在阳光下的影子也恰好落在对角线AC上。
　　（1）求他们的影子重叠时，两人相距多少米（DE的长）？
图9
　　（2）求张华追赶王刚的速度是多少（精确到0.1m/s）？
　　解：（1）由阳光与影子的性质可知DE∥AC
∴∠BDE＝∠BAC，∠BED＝∠BCA
∴△BDE∽△BAC
　　（2），王刚到E点的时间为，张华追赶王刚的速度是。
12、　小胖和小瘦去公园玩标准的跷跷板游戏，两同学越玩越开心，小胖对小瘦说：“真可惜！我只能将你最高翘到1米高，
如果我俩各边的跷跷板再伸长相同的一段长度，那么我就能翘
到1米25，甚至更高！”
　　（1）你认为小胖的话对吗？请你作图分析说明；
　　（2）你能否找出将小瘦翘到1米25高的方法？试说明．
　　解：（1）小胖的话不对．
　　小胖说“真可惜！我现在只能将你最高翘到1米高”，情形如图1所示，是标准跷跷板支架的高度，是跷跷板一端能翘到的最高高度1米，是地面．
　　∵，，，
　　∴．∴．
　　又∵此跷跷板是标准跷跷板，，
　　∴，而米，得米．
　　若将两端同时都再伸长相同的长度，假设为米．如图2所示，米，米．

　　∵，∴，即．
　　∴，同理可得．
　　∴，由米，得米．
　　综上所述，跷跷板两边同时都再伸长相同的一段长度，跷跷板能翘到的最高高度始终为支架高度的两倍，所以不可能翘得更高．
　　（2）方案一：如图3所示，保持长度不变．将延长一半至，即只将小瘦一边伸长一半．使，则．

　　由，得，∴米．
　　方案二：如图4所示，将支架升高米．

　　，，又因为米．
∴，∴米．