流体力学教案第12章气体的二维超声速速流动.doc

第十二章 气体的二维超声速流动

在航空和动力工程等实际问题中，除已讨论过的一维流动问题外，还常遇到三维流动问题。一般说来，三维流动问题的分析和处理是比较困难的。因此，往往通过对二维流动的研究来进一步了解可压缩流体流动的主要现象和特征，为处理三维流动问题奠定基础。本章主要讨论超声速流动的马赫波、膨胀波和斜激波等可压缩流体流动的最重要的物理现象，并研究其特征和处理方法，这在气体动力学中具有典型意义。

§12-1 空间流场中微弱扰动波的传播

图12-1 微弱扰动在流场中的传播

4a
3a
2a
a
O
υ=0
(a)
4a
3a
2a
a
O
υa
υ
2υ
3υ
4υ
马赫锥
A
B
(d)
4a
3a
2a
a
O
υ=a
υ
2υ
3υ
4υ
马赫锥
A
B
(c)
通过对不同速度的流场中微弱扰动波的传播情况说明超声速流动和亚声速流动的差别。

1．静止流场
在静止流场中，空间某点存在一微弱扰动源，它所产生的扰动波以声速a向四周传播，形成以扰动源所在位置O为中心的同心球面波，如图12-1a所示。如果不考虑扰动波的传播过程中的损失，随着时间的延长，扰动必将传遍整个流场。
2．均匀亚声速流场
在均匀亚声速流场中，处于某一固定点上有一小扰动源，它所产生的扰动波如图12-1b所示。由于流体本身以速度V运动，故扰动波传播的绝对速度应是两个速度的矢量和。由于V传播到上游半空间。
4．均匀超声速流场
在均匀超声速流场，扰动波的传播情况如图12-1d所示，由于V>a，扰动波面由自扰动源点出发的锥面的一系列内切球面所组成。通常称此锥为马赫锥。显然，扰动只能在马赫锥内传播，永远不会传播到马赫锥以外的空间。
马赫锥的半顶角称为马赫角，用μ表示。由图可容易看出，它与马赫数的关系为：
(1)
马赫锥通常也称为马赫波。马赫波就是超声速气流受到微弱扰动时，所形成的已受扰动影响和未受扰动影响的分界面。三维流场形成锥形波面；二维流场则形成相交的平面波，而不呈锥形，故称马赫波比马赫锥具有更广泛的意义，穿过马赫波，气流状态参数发生微变化，其变化过程为等熵过程。

§12-2 超声速气流的小角折转流动

均匀超声速气流沿平壁流动，在O点折转一小角度，如图12-2所示，由于壁面存在折角，必然对气流产生扰动，折角即为一扰动源。根据上节讨论的超声速气流中扰动传播特征，扰动将在由折转点O所发生的马赫波的下游区域内传播，马赫波上游的区域不受扰动的影响。经马赫波，气流的速度由V变为V+，气流的方向也由水平方向折转一个小角度，沿平行于折转后的壁面的方向流动。
dq
m
O
V
V+dV
图12-2超声速气流的小角折转流动

为求出折角与速度变化量之间的关系，我们建立沿马赫波方向的动量方程
(1)
式中，为穿过马赫波每单位面积上的质量流量。展开上式，考虑到，故，并略去高阶小量，得

由于，故，代入式中，得
(2)
因为超声速流动，M>1，根号下的值永远为正，故当>0时，dV>0，即绕凸钝角流为加速流动，或膨胀性流动，对应的马赫波为膨胀性马赫波。若<0，则dV <0，即绕凹钝角的流动为减速流动，或压缩性流动，对应的马赫波为压缩性马赫波。
利用能量方程、马赫数的表达式等，可消去上式中的V和dV，得到与dM的关系式
(3)
此式即为超声速气流小角折转计算式，它描述了折角与马赫数变化之间的关系。式中折角以弧度计，膨胀性折转(外折)的符号为正；压缩性折转(内折)为负。见图12－2。

§12-3 膨胀波

超声速气流沿平壁流动时，遇到微小折角会产生一道马赫波，经过马赫波，气流速度的大小和方向均发生微小变化，如果壁面发生一系列折角如图12-3a所示，则在每个折角处产生一道马赫波。因为是膨胀折转，dq为正，经波后气流马赫数增大，即dM为正，故马赫波与水平方向的夹角越来越小。这来自两个原因：一是马赫角减小，一是气流也在偏转。若壁面连续地折转，相当于流过平滑曲线壁面，如图12-3b所示，则会形成一个连续变化的扰动区。当壁面的弯曲部分收缩为一点，即在一点集中产生一个有限大的折角时，如图12-3c所示，则扰动区中的所有马赫波均由此点出发，形成一个扇形扰动区，气流通过扰动区连续变化，直到通过最后一道马赫波达到与壁面平行为止。在此应注意，壁面是集中一次折转了q角，但所引起的气流的膨胀却是在扰动区内连续发生，而不是“突跃”变化，也就是说，这些马赫波虽自一点发生，但并不会叠加在一起，而是呈发散状，形成一个扇形的变化区，其原因正如上面所述，即m在逐步减小，气流也在不断偏转。
前节推导的(3)式适用于上述各种情况下的任一马赫波，若将该式积分，便可求得超声速气流的马赫数与折角q 的关系式：
(4)
式中M1为折转前气流的马赫数，M2为折转后的马赫数。这里必须指出，折转角q只要是使超声速气流发生膨胀性折转即可应用此式求之，而不必考虑它是左旋还是右旋。
若起始马赫数M1=1，上式可写成：
(2)
它表示起始马赫数M1=1的气流沿壁面折转膨胀时，折转角q与折转后马赫数的关系。q是M数的函数，故写成q =q(M)。该函数称为普朗特一麦耶(Prandtl-Mayer)函数。实用中将此函数的计算结果列成表格以备查用。
由式(2)还可以求出由M1=1膨胀到M=¥时的最大折转角qmax，即
(3)
对于空气，k=1.4
qmax=130°27′

图12-3
dq
dq
dq
dq
M1
M2
M1
M2
q
M1
M2
(a)
(b)

(c)

§12-4 斜激波

一、斜激波的形成
超声速气流遇到压缩性小角折转时，将产生压缩性马赫波，如图12-4a所示。超声速气流在A点遇到一微小折角的扰动，则由A点起产生一道马赫波，经马赫波后，气流的方向将偏转一微小角度，气流的速度及压强、密度等均发生一微小变化，由于是压缩性折转，波后气流马赫数小于波前马赫数。如果气流再发生角的折转(如图12-4b)，则又会产生压缩性马赫波，马赫波的斜率将大于前一马赫波的斜率。这是由于M数的减小使马赫角μ增大，再加上气流也向内折转了之故，若壁面继续折转，则后面所形成的波的斜率就会越来越大，致使这些波会相遇而叠加起来(图12-4b的上边部分)形成一道强压缩扰动波，即为激波。如果由A到D的逐次折转中，使D无限接近A点，则这些波将在A点叠加成一道与气流夹角为β的斜激波,气流在A点一次折转θ角。因激波面与来流方向呈倾斜状态，故称斜激波。头部呈尖角形的物体的气体中以超声速运动时，也会出现斜激波，见图12-5。斜激波和正激波一样，都是突跃压缩波，具有相同的基本特性。
(d)
q
M1
M2
(c)
M1
(b)
A
B
C
D
dq
M1
M2
(a)
A
M1>1
图12-4 物体头部的斜激波
M2

二、斜激波前后气流参数的关系
平面超声速气流中存在一固定斜激波(见图12-6)。激波前气流参数分别为、、和，激波后为、、和。将激波前后的速度分解为与波面垂直的分速度和，以及与波面平行的分速度和。
图12-6斜激波前后的速度

由于通过激波波面的流量与沿波面的切向分速度和无关，故连续方程为
(1)
切向动量方程为
(2)
由上述两方程可得
(3)
该式表明，斜激波前后的切向速度相同。这样，当气流穿过激波时，只有法向速度发生突变。因此，可以将斜激波看成是法向速度的正激波，波前速度,波后速度为。以M1sinβ代替正激波关系式，便可得斜激波前后气流参数间的关系
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
斜激波前后的马赫数关系类似正激波，但需以M2n=M2sin(β-θ)和M1n=M1sinβ分别代替式中的M2和M1而得到
(10)
对于兰金一雨贡钮式，因其中不包含马赫数，也不包含激波倾角β，所以对正激波和斜激波都适用。

三、激波倾角β与气流折角θ的关系
由图12-6的几何关系知
，
又知，故可得到

利用(5)式，得

整理后，可以得到
(11)
为便于应用，将关系式(11)绘成曲线，如图12-7所示，由图可以看出，曲线为双值函数。
(1) 在下面两种情况下，气流折角：
当，即时，也就是激波倾角等于马赫角时，激波强度为无限小，激波成为马赫波。
当ctgβ=0，即β=时，这是正激波情况。
可见，马赫波和正激波都是斜激波的两种极限情况。
(2) 对于每一个给定的马赫数M1，气流偏转角都存在一个极大值。
(3) 对于每一个给定的马赫数M1，当时，对应有两个β值。小值对应于较弱的激波，大值对应于较强激波。
(4) 波后的气流马赫数M2，可能小于1，也可能大于1，它取决于激波倾角β，气流折角和马赫数M1。

四、脱体激波
由图12-7可以看出，对于确定的来流马赫数M1，对应一个最大的偏转角，当壁面偏转角时，在图中的曲线上没有交点，在楔尖处不存在斜激波，而是在前部一定距离处形成一道曲线形激波，如图12-8所示。这就是脱体激波。脱体激波的形状和位置取决于物体的几何形状、下游条件和来流马赫数。脱体波的中间部分为正激波，经正激波后的流动为亚声速流动。由中间向两侧延伸的激波逐渐倾斜，激波倾角逐渐减少，激波强度逐渐减弱。故脱体激波为非等强度激波。
超声速气流中的钝头物体(如图12-8c所示)，只要来流马赫数大于1，必然在其前方出现脱体激波。

§12-5 拉伐尔喷管的非设计工况流动分析

在变截面流一节中，已讨论过气体在拉伐尔喷管中按设计工况流动时，背压必须等于计算出口压强,否则，得不到予计的超声速气流(见图12-9)。若时，喷管内为完全亚声速流动。
下面我们讨论当背压在和之间的情况。
当出口背压略低于，如为时，在喉部下游某处产生一正激波，激波后气流为亚声速，随通道截面的扩张而减速、增压，在出口压强达到。随着背压的降低，激波向下游移动，直到当时，激波移动到管口处，若管口压强再降低，激波将逐步变成斜激波。
此外，如果管口外面的环境压强(背压)低于时，将会在管口外继续膨胀，形成如图所示的膨胀波，后面还会发生波的相交和反射，产生复杂的波系。
不论在管口出现斜激波，还是膨胀波，波后气流都是超声速的，都会在下游产生相交和反射的波系，气流性能变坏，并发生不可逆过程，产生损失。
正激波
正激波
斜激波
膨胀波
图12-9 拉伐尔喷管的非设计工况流动