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3.5 角动量 角动量守恒定律 力矩的时间累积效应 冲量矩、角动量、角动量定理. 力的时间累积效应 冲量、动量、动量定理. 一 质点的角动量（angular momentum of a particle） 角动量是质点运动中的一个重要的物理量， 在物理学的许多领域都有着十分重要的应用。 ? ? L m O p r ? ?? 质点m对惯性系中的固 定点O的角动量定义为： 单位：kg m2/s 大小： 方向： 决定的平面（右螺旋） 动量矩 L r v ? m ?? O 质点作匀速率圆周运动时，对圆心的角动量的大小为: 方向?圆面不变。 同一质点的同一运动，其角动量却可以随固 定点的不同而改变。 例如： 方向变化 方向竖直向上不变 O l O? 锥摆 m 作用于质点的合力对参考点O 的力矩 ，等于质点对该点 O 的角动量随时间的变化率. 二 质点的角动量定理 质点角动量定理（微分形式） 质点角动量定理（积分形式） 称冲量矩（角冲量），用H表示 ――力矩对时间的积累作用。 质点的角动量定理： 对同一参考点 O ，质点所受的冲量矩等于质点角动量的增量. ― 质点系角动量定理 锥摆的角动量 对O点： 合力矩不为零，角动量变化。 对O?点： 合力矩为零，角动量大小、方向都不变。 （合力不为零，动量改变！） O l O? 锥摆 m 三 质点角动量守恒定律 ——角动量守恒定律（Law of Conservation of Angular Momentum） 2 通常对有心力： 例如 由角动量守恒可导出行星运动的开普勒第二定律 1 角动量守恒是物理学基本定律之一，它不仅适用宏观体系，也适用微观体系，且在高速低速范围均适用 说明 m ? 行星对太阳的位矢在相等的时间内扫过相等的面积 过O点,M 0,角动量守恒 例1 一半径为R的光滑圆环置于竖直平面内.一质量为m 的小球穿在圆环上,并可在圆环上滑动.小球开始时静止于圆环上的点A 该点在通过环心O的水平面上 ,然后从A点开始下滑.设小球与圆环间的摩擦略去不计.求小球滑到点B 时对环心O的角动量和角速度. 解 小球受重力和支持力作用,支持力的力矩为零,重力矩垂直纸面向里 由质点的角动量定理 考虑到 得 由题设条件积分上式 当飞船静止于空间距行星中心4 R时，以速度v 0发射一 解 引力场（有心力） 质点的动量矩守恒 系统的机械能守恒 例2 发射一宇宙飞船去考察一质量为M、半径为R的行星， 质量为 m 的仪器。要使该仪器恰好掠过行星表面 求θ角及着陆滑行的初速度多大？ 1 刚体定轴转动的角动量 2 刚体定轴转动的角动量定理 非刚体定轴转动的角动量定理 O 四 刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律 角动量守恒定律是自然界的一个基本定律. 内力矩不改变系统的角动量. 守恒条件 若 不变， 不变；若 变， 也变，但 不变. 刚体定轴转动的角动量定理 3 刚体定轴转动的角动量守恒定律 ，则 若 在冲击等问题中 常量 说明 有许多现象都可以用角动量守恒来说明. 自然界中存在多种守恒定律 动量守恒定律 能量守恒定律 角动量守恒定律 电荷守恒定律 质量守恒定律 花样滑冰 跳水运动员跳水 思考: 温室效应对地球自转的影响 猫的下落（A） 猫的下落（B） 观察表明，猫从高处掉下，受伤程度随高度增加而减少，据报导，有猫从32层楼掉下，也仅有胸腔和一颗牙齿有轻微损伤为什么？ 猫下落时，身体无转动，总角动量为零。尾巴一甩而具有角动量，据角动量守恒，身体须反转，产生反向角动量。另外猫很灵活，它在甩尾时能调节身体各部位，使身体快速转动，这样，四肢朝下先着地，不会伤害身体其它部位。 圆锥摆 子弹击入杆 以子弹和杆为系统 机械能不守恒 . 角动量守恒； 动量不守恒； 以子弹和沙袋为系统 动量守恒； 角动量守恒； 机械能不守恒 . 圆锥摆系统 动量不守恒； 角动量守恒； 机械能守恒 . 子弹击入沙袋 细绳质量不计 思考 例3 一长为 l , 质量为 的竿可绕支点O自由转动 . 一质量为 、速率为 的子弹射入竿内距支点为 处，使竿的偏转角为30o . 问子弹的初速率为多少 ? 解 把子弹和竿看作一个系统，子弹 射入竿的过程系统角动量守恒 射入竿后，以子弹、细杆和 地球为系统 ，机械能守恒 . m 黏土块 y x h P θ O M 光滑轴 均质圆盘 （水平） R 例4 如图示， 求：碰撞后的瞬刻盘 P 转到 x 轴时盘 解： m下落： 1 m P h v 对（m +盘），碰撞中重力对O 轴力矩可忽略， 2 已知：h，R，M 2m， θ 60? 系统角动量守恒： 3 对（m + M +地球）系统， m mg ?? O M R 令P、x 重合时 EP 0，则： 5 由 3 4 5 得： 由 1 2 3 得： 4 只有重力作功，E守恒。 （m +盘）角动量 例5：质量为M、半径为R的转台，可绕通过中心 的竖直轴转动。质量为m的人站在边沿上，人和转台原来都静止。如果人沿台边缘奔跑一周，求对地而言，人和转台各转动了多少角度？ 解：以M，m为研究对象 故角动量守恒 以地面为参照，建立轴的正方向如图 + M x m 因人和台原来都静止故角动量 （2）式×dt积分： + M x m 若人和转台的角速度分别为 + M x m A A m 核心：物体的运动 物体：两个模型,①质点;②刚体 运动： ①How-运动学; ②Why-动力学 质点运动学：r r t ,Δr , →v,→a（求导，积分） 　　　　　　圆周运动 an at ；相对运动 刚体运动学：θ θ t ,Δθ , →ω,→α 力学小结 瞬时 F ma M Iα 空间累积 时间累积 质点动力学 刚体动力学 3.1 刚体的定轴转动 刚体 rigid body ： 在外力作用下，形状和大小都不发生变化的物体。 或：任意两质点间距离保持不变的特殊质点组。 刚体是个理想化的模型 二 刚体的基本运动形式：平动和转动 刚体平动 质点运动 1 平动（translation）： 刚体中所有点的运动轨迹都保持完全相同，或刚体内任意两点间的连线总是平行于它们的初始位置间的连线 . 2 转动（rotation）：刚体中所有的点都绕同一直线做圆周运动。转动又分定轴转动和非定轴转动。 3 刚体的一般运动 质心的平动 绕质心的转动 + 三 刚体定轴转动的角速度和角加速度 转动平面 角位移 角坐标 q 规定 逆时针转动 顺时针转动 角速度矢量 方向：右螺旋 参考方向 角加速度 1）每一质点均作圆周运动，圆面为转动平面； 2）任一质点运动 均相同，但 不同； 3）运动描述仅需一个坐标。 定轴转动的特点 刚体定轴转动（一维转动）的转向可用角速度的正负来表示。 3.2 转动动能 转动惯量 一 转动动能 M 刚体的动能： r i 任一小质元动能： 质量连续分布： I－转动惯量（rotational inertia） 转动惯量的计算 1 计算公式 －质量不连续分布 －质量连续分布 －线分布λ＝m/l －面分布σ＝m/S －体分布ρ＝m/V 2 决定 I 的三要素: 1 总质量 2 质量分布 3 转轴的位置 O′ O 解 设棒的线密度为 ，取一距离转轴OO′为 处的质量元 例1 一质量为 、长为 的均匀细长棒，求通过棒中心并与棒垂直的轴的转动惯量 . O′ O 如转轴过端点垂直于棒 例2 圆环绕中心轴旋转的转动惯量 例3 圆盘绕中心轴旋转的转动惯量 dl O m R O m r dr R 3 平行轴公式 P 质量为m的刚体，如果对其质心轴的转动惯量为 ，则对任一与该轴平行，相距为 的转轴的转动惯量 C O 圆盘对P 轴的转动惯量： O 均匀细棒的转动惯量 4 薄板 垂直轴公式 M L 求对圆盘的一直径的转动惯量 已知 y x z 圆盘 R C m x,y轴在薄板内； z 轴垂直薄板。 z x y A m, l m,R ω 系统由一细杆和一圆盘组成，求绕过A点的轴转动时的转动惯量。 课后思考 下图中的 J 如何求？ z l D m C a a z m 3.3 力矩 转动定律 P * O : 力臂 刚体绕 O z 轴旋转 , 力 作用在刚体上点 P , 且在转动平面内, 为由点O 到力的作用点 P 的径矢 . 对转轴 Z 的力矩 一 力矩 moment of force O 1）若力 不在转动平面内，把力分解为平行和垂直于转轴方向的两个分量 2）合力矩等于各分力矩的矢量和（定轴转动为代数和） 其中 对转轴的力 矩为零，故 对转轴的力矩 说明 力是连续分布的： x L ? O M y 例 已知棒长L ,质量M ，在摩擦系数为? 的桌面转动 如图 解 根据力矩 x dx T T' 例如 T T' 在定轴转动中，力矩可用代数值进行计算 求 摩擦力