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弹塑性力学

1 弹塑性的概念
所谓弹塑性指的是物体在外力作用下发生变形而外力除去后变形不能完全恢复的性质。变形中可回复的部分称为弹性变形，变形中不可回复的部分称为塑性变形。
塑性变形总是在外力的作用超过一定的限度后出现。

2 简单拉压状态下金属材料弹塑性行为及其数学模型

（1）理想塑性材料的弹塑性行为
O
A
B
M
N
B΄
C
A
σs
εs
O
M
N
ε
σ
ε
σ

主要特点：
屈服后加载，表现出一种流动变形现象，材料失去进一步承载的能力；
屈服后卸载，应力应变增量大致与弹性变形段相同。
卸载至零后再次加载，应力应变关系相当于原应力应变关系曲线在应变轴方向作了一个平移，平移量为残余塑性应变。

数学表达：

（2）线性强化材料的弹塑性行为
O
A
B
M
N
C
A
σs
εs
O
E
E’
ε
ε
σ
σ

主要特点：
屈服后加载，材料仍有进一步承载的能力，但应力应变增量的比例较弹性段小；
屈服后卸载，应力应变增量大致与弹性变形段相同。
卸载至零后再次加载，屈服应力为卸载前的应力值（较先前的屈服应力大），应力应变关系相当于原应力应变关系曲线在应变轴方向作了一个平移，平移量为残余塑性应变，同时应力轴伸长。

两种常用的强化模型
A
σs
εs

O
E
E’
-σs

=-
A
σs
εs
O
E
E’
-σs

=2σs-

数学表达：

上述描述弹塑性材料应力应变关系的数学模型称为全量型本构关系。显然不能代表弹塑性变形规律的全貌。它描述了单调应力-应变过程。

为了描述弹塑性力学行为的“过程相依”，需要建立增量型本构关系。

记当前应力为，应力增量为，应变增量为，分析弹塑性行为可以得出相应的增量变形法则。

理想塑性材料的增量型弹塑性关系

（1）由决定
当时，
当时，
当时，

（2）由决定
当时，
当时，
当时，
例：已经测得某理想弹塑性材料的细杆所经受的轴向应变过程如图所示，试求此杆中的应力过程。

O
A
εs
1.5εs
B
-1.5εs
D
A
σs
εs
O
1.5εs
-0.5εs
-1.5εs
O
A
εs
1.5εs
B
D
-1.5εs
C
E

增量步
0-A
A-B
B-C
C-D
D-E
E
当前应力
0
σs
σs
-σs
-σs
0.5σs
当前应变
0
εs
1.5εs
-0.5εs
-1.5εs
0
应变增量
εs
0.5εs
-2εs
-εs
1.5εs

应力增量
E*εs=σs
0
E*(-2εs)=-2σs
0
1.5σs

后继应力
σs
σs
-σs
-σs
0.5σs

后继应变
εs
1.5εs
-0.5εs
-1.5εs
0

塑性强化材料的增量型弹塑性关系
塑性强化材料与理想塑性材料的不同之处在于其屈服限要随着塑性变形的发展而变化，另外，它不存在塑性流动现象，塑性应变仅出现在应力自当前屈服限向外发展的情况下，故在一个增量步中，若记当前应力为，当前屈服极限为和，应力增量为，应变增量为，则变形规则应该为

（1）由决定
当时，
当时，
当时，

（2）由决定
当时，
当时，
当时，
需要注意的是
当前屈服限需要随着过程的发展逐步修正，若采用随动强化模型，则

这里的积分意味着对以往所有出现过塑性应变的增量步求和。
通常称出现塑性应变的增量步为“加载增量步”，在加载增量步中必有

如果采用等向强化模型，则
，

例：已经测得某线性随动强化材料的细杆所经受的轴向应变过程如图所示，试求此杆中的应力过程。假设E'=0.1E
O
A
εs
1.5εs
B
-1.5εs
D
A
σs
εs
O
1.5εs
-0.5εs
-1.5εs
O
A
εs
1.5εs
B
D
-1.5εs

增量步
0-A
A-B
B-C

C-D
D-E
E
当前应力
0
σs
1.05σs
-0.95σs
-1.05σs
0.45σs
当前应变
0
εs
1.5εs
-0.5εs
-1.5εs
0
应变增量
εs
0.5εs
-2εs
-εs
1.5εs

应力增量
E*εs=σs
E'*0.5εs=0.05σs
E*(-2εs)=-2σs
E'*(-εs)=-0.1σs
1.5σs

后继应力
σs
1.05σs
-0.95σs
-1.05σs
0.45σs

后继应变
εs
1.5εs
-0.5εs
-1.5εs
0

塑性变形
0
0.45σs

当前屈服限
σs
1.05σs
1.05σs
0.95σs

当前屈服限
-σs
-0.95σs
-0.95σs
-1.05σs

3 一般应力状态下金属材料弹塑性行为及其数学模型

屈服条件问题
首先需要解决一般应力情况下的屈服条件问题，也就是说，从应力状态发展的情况观察，变形体中一点的应力状态要发展到怎样的限度才有可能发生塑性应变。

事实上，一般应力情况下的屈服条件的提出不能像简单拉压时一样通过试验观察提出。必须借助理论分析，由简单拉压情形进行合理的推广才能提出。

应力空间的概念
屈服面的概念

当变形内一点的应力从零开始发展，当其到达屈服面时，我们认为其达到弹性极限（屈服限）

用函数形式可以表示为：

当，材料处于弹性状态。

为了获得函数的具体形式，通常是在理论上提出假定，然后考虑当应力状态退化为简单拉压时，函数的形式应该能和已知的一维屈服条件相符合。

不同材料的屈服函数形式可能不同

在此重点分析各向同性金属材料的屈服函数形式。

（1） 由于材料是各向同性的，因此可以认为材料的屈服条件与材料的取向无关，也就是说与采用的坐标系无关，为此屈服函数应该是应力不变量的函数。

（2） 人们通过对金属材料塑性变形的细观机理分析发现，塑性变形主要表现为晶粒间的滑移或错动，这种变形机制一般不会造成晶体体积的改变，因此认为应力状态中静水应力部分与材料的屈服无关。

关于静水应力与材料体积变化的关系，偏应力与材料形状变化的关系，可以参看有关应变能分解的内容。

O
P
σ1
σ2
σ3
N
Q

σ1
σ2
σ3

O'
y
σ3
x
Q'

考察在π平面的投影实际上就是，，投影的叠加
：（）
：（）
：（）
所以
：（）
，
即为（）

采用极坐标表示时，

为Lode参数，如果规定，则
对简单拉伸：
对简单压缩：
对纯剪切：

对屈服面形状的一般讨论

几个常用的屈服条件
（1）Tresca屈服条件，也称最大剪应力屈服条件：

的值可以用实验测定
简单拉伸：，，所以
纯剪切：，，所以
（2）Mises屈服条件

c的值可以用实验测定
简单拉伸：，，所以，
纯剪切：，，所以，
（3）最大偏应力屈服条件（双剪应力屈服条件）

强化模型
对理想弹塑性材料不存在这个问题。加载条件