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第八章 散射理论
本章介绍：前面讨论了薛定谔方程中的束缚态问题。而对于能量连续的散射态，能级间隔趋于零，因此一般说来，不能用微扰论来处理。另一方面，微观粒子之间的散射或称碰撞过程的研究，对于了解许多实验现象十分重要，所以，建立一套散射理论无论从实验上看，还是使理论更加完善上看，都是完全必要的。
本章将分别就弹性散射和非弹性散射，按入射粒子的能量高低，分别建立不同的散射理论，并介绍了分波法和玻恩近似两种处理散射问题的近似方法。
§8.1 散射截面
§8.2 分波法
§8.3 分波法应用实例
§8.4 玻恩近似
§8.5 质心坐标系与实验坐标系
§8.6 全同粒子的散射
§8.1 散射截面

在经典力学中，弹性散射是按照粒子在散射过程中，同时满足动量守恒和能量守恒来定义的。在量子力学中，一般说来，除非完全略去粒子之间的相互作用势能，否则，动量将不守恒。因此，在量子力学中，不可能按经典力学的公式来定义弹性散射。
在量子力学中，如果在散射过程中两粒子之间只有动量交换，粒子由内部运动状态决定，则这种碰撞过程成为弹性散射。如果在散射过程中粒子内部运动状态有所变化，如激发、电离等则称为非弹性散射。本章只讨论弹性散射问题。

考虑一束入射粒子流向粒子射来，取粒子流入射方向为轴。为散射中心。为讨论方便起见，假定的质量比入射粒子大得多，由碰撞引起的的运动可以忽略。

应当指出，散射过程是两体问题。因为它涉及两个互相散射的粒子。对于两体问题，最好的处理方法是采用质心坐标系。因为在质心坐标系中，一个两体问题将被归结为一个粒子因为与质心的相互作用而被散射。另一粒子的运动可对称给出。从而归结为单体问题。

如果散射中心粒子的质量比入射粒子大得多，可以认为质心就在上，这样就使问题处理简单多了。

如图所示，入射粒子受的作用而偏离原来的运动方向，发生散射。图中角为散射粒子的方向与入射粒子方向的夹角，称为散射角。

单位时间内散射到面积元上的粒子数应与成正比，而与到点的距离的平方成反比，即与对所张的立体角成比例：
同时，还应与入射粒子流强度成正比。
粒子流强度：垂直于入射粒子流前进方向去一单位面积，单位时间内通过的粒子数。
于是
以表示这个比例关系中的比例系数，在一般情况下，它与观察方向有关，因而上式可写为
当强度固定时，单位时间内散射到方向的粒子数由决定。它与入射粒子、散射中心的性质以及它们只见的相互作用和相对动能有关。

它的物理意义：一个入射粒子经散射后，散射到方向单位立体角的几率。
它的量纲可由（8.1.3）式中其他各量的量纲得出

（8.1.4）
即具有面积的量纲。我们称为微分散射截面。

如果在垂直与入射粒子流方向区面积，则单位时间内穿过这个面积的粒子数等于
将对所有的方向积分，得
（8.1.5）
称为总散射截面。
上述微分散射截面和总散射截面的定义，在量子力学和经典力学中同样适用。

下面我们讨论量子力学中如何由解薛定谔方程来定散射截面。
取散射中心为坐标原点，用表示入射粒子与散射中心之间的相互作用势能，则体系的薛定谔方程为 （8.1.6）
式中是入射粒子质量，是它的能量，为方便，令
（8.1.7）
则（8.1.6）式可改写为

我们观察被散射粒子都是在离开散射中心很远的地方，所以只需讨论时的行为就够了。

假设时，，即粒子在远离散射中心时，两者之间的相互作用趋于零。这样，在的地方，波函数应由两部分组成：一部分是描述入射粒子的平面波；另一部分是描述散射粒子的球面波函数
（8.1.9）
这个波是由散射中心向外传播的，这里考虑的是弹性散射。所以散射波的能量没有改变，即波矢的数值不变。上式中仅是的函数与无关。

取，则，这表明每单位体积只有一个入射粒子。入射波的几率流密度
（8.1.10）
也就是入射粒子流强度，即（8.1.3）的
散射波的几率流密度是 （8.1.11）
它表示单位内穿过球面上单位时间的粒子数，故单位时间穿过面积的粒子数是

因为，比较（8.1.12）与（8.1.3）两式，可知微分截面是
（8.1.13）
所以知道了，就可以求得。称为散射振幅。的具体形式通过求薛定谔方程（8.1.8）的解并要求在时解具有（8.1.9）的形式而得出。
下面几节我们将具体讨论如何求方程（8.1.8）的解。
§8.2 分波法
本节我们介绍在粒子受到中心力场的弹性散射时，从解方程（8.1.8）而求出散射截面的一种方法，后面还将介绍另一种方法，这两种方法各有各的适用范围。
在中心力场的情况下，方程（8.1.8）可改写为
（8.2.1）
取沿粒子入射方向并通过散射中心的轴线为极轴，这个轴是我们所讨论问题的旋转对称轴，波函数和散射振幅都与角无关。

方程（8.2.1）的一般解可写为
（8.2.2）
现在既与无关，所以，因而（8.2.1）的一般解写为
（8.2.3）
这个展式中每一项称一个分波，是第个分波，每个分波都是方程（8.2.1）的一个解。通常称的分波分别为分波。
径向函数满足方程
（8.2.4）
令
则 （8.2.5）
由于与角无关，只是的函数，的渐进表示式（8.1.9）可写为
（8.2.6）
当趋于无限大时趋于零，所以当时则（8.2.5）式可化为
（8.2.7）
它的解是
由此有 （8.2.8）
其中 （8.2.9）
将上式代入（8.2.6）式，得到（8.2.1）的渐进解
（8.2.10）
将其写成（8.2.6）的形式就可以得到散射振幅，为此目的我们利用平面波按球面波展开公式
（8.2.11）
式中是球面贝塞尔函数，它和贝塞尔函数的关系是

因此

（8.2.12）
利用公式
将上式中的正弦函数写成指数函数，得

（8.2.13）
要使上式成立，则和的系数必须都为零
（8.2.14）
（8.2.15）
在（8.2.15）式两边乘以后，对从积分，并利用勒让德多项式的正交性，可得 （8.2.16）
将这个结果代入（8.2.14），就得到
（8.2.17）
则 （8.2.18）
微分散射截面是 （8.2.19）
总散射截面是
（8.2.20）
（8.2.21）
是第个分波的散射截面。
由于，所以的虚部是 （8.2.22）

称为光学定理。它表示由散射振幅在零点的虚部可以求出总散射截面。
综上所述，我可以看到，分波法对低能粒子的散射特别有效。对低能粒子，小，，要算的分波的数目较少。
§8.3 分波法应用实例
作为应用分波法的一个例子。我们讨论低能粒子受球对称方形势阱的散射。入射粒子能量很小，它的德布罗意波长比势场作用范围大得多。质子和中子的低能散射可以近似归结为这种情形。

以表示方势阱的范围，于是粒子的势能可写为

在势阱的情况下，因为，即，所以只需讨论散射就够了，取（8.2.5）中得
（8.3.1）
（8.3.2）
式中
方程（8.3.1）的解是
（8.3.3）
由波函数标准条件，在处有限，所以
在，处为连续，得 （8.3.4）
得 （8.3.5）
由公式（8.2.20），总散射截面
（8.3.6）
在粒子能量很低的情况下，因为时，，所以（8.3.5）式可简化为

（8.3.6）式可化为
（8.3.7）
如果散射场不是势阱而是势垒，即，那么在（8.3.7）式中将换成，时总散射截面为 （8.3.8）
当时，，于是有 （8.3.9）
代入（8.3.8）式中得
在这种情况下，总散射截面等于半径为的球面面积。这个结果与经典情况不同。在经典力学中，总散射截面等于刚球的最大截面面积。量子力学的结果比经典力学大四倍。
§8.4 玻恩近似
这一节我们介绍另一种近似方法——玻恩近似。
如果入射粒子的动能比粒子散射与散射中心相互作用的势能大得多，以致势能可以看作是微扰时，可用玻恩近似来计算散射截面。

体系的哈密顿量写为
其中是自由粒子的哈密顿量，。
取箱归一化的动量本征函数作为的本征函数，这种归一化描写在体积内有一个粒子。微扰使粒子从动量为的初态跃迁到动量为的末态。根据能量守恒，有

入射粒子流强度为，其中。根据（ 8.1.1 ）式，单位时间内散射到立体角内的粒子数为：
（8.4.1）
另一方面，方向在立体角内的末态的态密度是
单位时间散射到立体角内的粒子数：
(8.4.2)
比较（8.4.1）和（8.4.1），注意到，立即可的
（8.4.3）
上式的绝对值号之内保留负号是因为用其他方法算出的散射振幅有一负号。引入矢量
（8.4.4）
它的数值是

其中是散射角，是散射引起动量的变化。于是（8.4.3）式的积分可以简化为：

因而 （8.4.5）
若势能已知，由上式即可的微分散射截面。
如果势能可以近似的表示为球对称的方式垒或势阱

那么玻恩近似条件就容易得出。
如果散射波的相移很小，特别是分波的相移很小，就说明势场对散射波的影响很小，因而把势场看作微扰时合理的，所以分析分波相移就可以得出玻恩近似成立的条件。

由方程（8.3.4），注意到得：
（8.4.6）
当粒子能量很高时，
于是上式左边余切的宗量可写为
当此宗量与只差一小角时，则相移很小。
于是玻恩近似有效的条件是
（8.4.7）
是入射粒子的经典速度。由此可见，波恩近似适用于粒子的高能散射。分波法则适用于低能散射，两种方法相互补充。

势阱情况下，波恩近似对低能散射也可能有效。由（8.4.6）式，当时，有 （8.4.8）
所以只要不是很接近于，则很小，于是玻恩近似就可以应用。

作为例子，我们来计算一个高速带电粒子（带电）被一中性原子散射的散射截面。原子核所产生的电场被原子内部的电子所屏蔽，这种屏蔽库仑场可以表示为
（8.4.9）
式中为原子半径，为原子序数。
将（8.4.9）是代入（8.4.5）式得
（8.4.10）
如果 （84.11）
则（8.4.10）式中的项可以略去，结果得到微分散射截面
（8.4.12）

这就是卢瑟福散射公式。它首先由卢瑟福用经典力学方法计算库仑散射得出，这说明（8.4.11）是经典力学可以适用的条件。
§8.5质心坐标系与实验室坐标系
从前几节可以我们看到计算微分散射截面都是在质心坐标系中进行的，这是因为在质心系中两粒子碰撞问题可归结到一个粒子在力场中散射的问题，因而使计算比较简单。但实验结果的测量通常是在实验坐标系中进行。为把计算的结果变换到实验坐标系中去，必须首先把质心坐标系中的变换到实验坐标中去。

设碰撞过程是质量为，速度为的粒子沿轴碰撞质量为的粒子，后者在被碰撞前静止于实验坐标系中则两粒子的质心以速度运动（图1）。
在质心坐标系中粒子的速度是
（8.5.1）
而粒子的运动速度是（图2）
（8.5.2）
碰撞后两粒子由质量中心两边以相反方向运动，每个粒子运动速度的大小与碰撞前相同，设碰撞后粒子的速度与轴成角，它的大小为 （8.5.3）
设在实验室坐标系中，在碰撞后的速度与轴成角（图3），因为（8.5.4）
所以 (8.5.5)
(8.5.6)
以（8.5.5）两边除（8.5.6）两边，并注意
则得 (8.5.7)
这就是两坐标系中散射角之间的关系。
根据微分散射截面的定义（81.3），由于在两坐标中应该是相同的，因此
(8.5.8)
即 (8.5.9)
因为
所以 (8.5.10)
由（8.5.7）时，得 (8.5.11)
将上式进行微分，得到 (8.5.12)
将上式代入（8.5.10），得到两坐标系中微分散射截面的变换关系：
(8.5.13)
至于总散射截面在两坐标系中是相同的。
当时，质心可认为是在上，这时两坐标系重合，可得

§8.6 全同粒子的散射
前面讨论的散射，则考虑两粒子并非全同粒子的散射，如果两粒子是全同粒子，由于这两粒子组成的体系的波函数必须具备确定的对称性，因此散射截面的计算必须考虑全同性问题。

先考虑无自旋的两非全同粒子和的散射。如图1，在质心系中，在探测器中测量粒子及粒子。粒子出现在的几率，微分截面是，粒子在方向的散射振幅与粒子在方向的散射振幅相同。散射截面是。因此，探测器测的粒子或的几率即散射截面是
(8.6.1)
再考虑两全同玻色子和的散射。在质心内，体系为对称化的散射波函数在无穷远的渐进表示式是：
（8.6.2）
式中是两粒子之间相互位置矢量。的极坐标是。互换两粒子的坐标，变为，变为，对称波函数在无穷远的近似表示式是
（8.6.3）
因此粒子在方向的散射振幅是，微分散射截面是
（8.6.4）

上式表明，全同粒子与非全同粒子散射的角分布不同，全同粒子微分散射截面中出现干涉项。当时，非全同粒子散射，全同玻色子散射。
由（8.6.4）可得
（8.6.5）
对对称
再来考虑两个全同费米子和的散射。同样，我们先忽略粒子的自旋。在质心系中，交换反对称波函数在时的表示式为
（8.6.6）
因此，在方向的散射振幅是，微分散射截面是
（8.6.7）
现在考虑粒子的自旋。先考虑两个电子的散射，电子自旋为，总波函数是反对称波函数。如果忽略自旋轨道耦合，则
（8.6.8）
在质心坐标系，要使反对称，可以由两种情况：一种是对称，反对称；另一种是反对称，对称两个电子组成的自旋态，反对称态是，对应的是单态。对称态，是三重态，对应于。于是有空间对称，，自旋态反对称，对应于的单态。或者空间反对称，自旋态对称，对应于的三重态。如果入射电子束和靶的电子都不极化，即它们的自旋取向都是无规则的，从统计的结果上看，有的几率处于单态，有的几率出于三重态，因此，总的微分散射截面是
（8.6.9）
现在对（8.6.9）做一些说明：
首先，
其次，对也是对称的
l另外，如果入射电子或靶是极化的，即自旋已经有了确定取向，（8.6.9）中得和江不再成立，这时结果如下表所示：
入射电子自旋取向
靶电子的自旋取向
测的电子的自旋取向
测的电子的自旋取向
微分散射截面

最后我们将上面讨论推广到任意自旋的全同粒子的情况。设粒子的自旋为。的本征值为。取共个值。因此，对粒子1，自旋波函数有个值，因为，有个值；对粒子2，自旋波函数也有个，因为有个值。所以总的自旋波函数有个。在这个波函数中，满足的波函数有个，这是对称波函数。的对称波函数
（8.6.10）
有个，这可以很容易从总的波函数个数中减去的个数，在除以二得出
（8.6.11）
之所以要除以二，是因为还有同样多的反对称波函数
（8.6.12）
综上所述，在总的个自旋波函数中，自旋对称的波函数的数目是：
（8.6.13）
自旋反对称的波函数的数目是 （8.6.14）
如果入射粒子和散射粒子都不极化，每一个自旋态出现的几率相同，因此体系处在对称自旋态的几率是
（8.6.15）
出于反对称自旋态的几率是
（8.6.16）
如果粒子是费米子，是半整数，总波函数反对称。对称的自旋波函数必须和反对称的空间波函数相乘，或者反对称的自旋波函数和对称的空间波函数相乘。因此，自旋的全同费米子的微分散射截面是
（8.6.17）
同理，全同玻色子的微分散射截面
（8.6.18）
（8.6.17）（8.6.18）式合并写成