考古年代测定的实际数学模型.doc

考古年代测定的实际数学模型
李建军(150142009026)李苏蒙(150142009029) 李祥杰(150142009030) 李永波(150142009034) 刘洋洋(150142009039)
（中国海洋大学数学科学学院数学与应用数学专业2009级1班，青岛•266100）

[摘 要] ：摘 要：宇宙射线从太空不断轰击大气层，这种轰击会使大气层中部分普通的碳原子形成放射性碳原子。当植物活着的时候，由于不断地进行光合作用，二氧化碳（包括碳12和碳14）不断地进入植物体内，植物被动物吃掉，碳14又进入动物体内。因此动植物体内的碳14的含量是不断变化的。但是，一旦植物或动物死亡了，植物不再吸收大气中的二氧化碳，动物也不再吃植物了。于是，动植物在死亡以后的年代里，因碳14是放射性同位素，仍在继续不断地进行衰变，因此死亡动植物体内的碳14的含量在一天天地减少。碳14的量是可以通过测量其放射性确定下来的。碳14的半衰期为5730年，即经过5730年以后，碳14的量只剩下一半。放射性碳测定年代法是最常用的考古方法，它所能断定的年份最久的达50000年。
A practical math model for archaeological dating
LI su-meng LI xiang-jie LI yong-bo LIU yang-yang LI jian-jun
[Abstract] : Cosmic rays constantly bombard the atmosphere from space, this bombardment will make the the common carbon atoms form atmosphere part become radioactive carbon atoms. When the plants were alive,because of the continuing photosynthesis ,carbon dioxide (including carbon 12 and carbon-14) continued access to plants, plants were eaten by animals,and then carbon 14 entered animal body. Therefore, animal’s and plant’s carbon-14 content in the body is constantly changing. However, once the plant or animal died, the plant will not absorb atmospheric carbon dioxide any more, the animals could not eat plants. Thus, plants and animals in the later years of death due to carbon-14 is a radioactive isotope to decay is still continuing, so dead animals’ and plants’ carbon content of 14 reduced day by day. The amount of carbon 14 is determined by measuring the radioactivity. 5730 half-life of carbon-14 years, that after 5730 years later, the amount of carbon 14 left half. Radiocarbon dating of archaeological method is the most commonly used method, it can determine the longest year of 50,000 years.
[关键词]：;放射性元素;衰变;半衰期
0 引言
考古学是时间的科学，在整理考古资料研究考古问题时，判断遗址遗物的年代是最基本的一环。年代对于考古学来说，犹如人体的骨架。考古学家根据田野发掘的地层关系，判断古物的相对年代，但无法判定其绝对年代。自从自然科学的断代方法引进考古学，与考古学结合后，史前考古年代学才真正建立在科学的基础上，甚至在一定意义上说，促进了考古学的快速发展。依靠大量的碳十四年代数据，可以建立起新石器时代各地各类文化的年代序列或称考古年代框架。
1933年，库利(F.N.D.Kurie)等人发现，N原子核（）在快中子轰击下，云雾室中出现了一条又长又细的反冲粒子经迹，后来有人用慢中子轰击N核得到了同样的结果，分析和计算证明，只有带正电荷的质子，才能在云雾室中形成细长的粒子径迹。因此，他们认为，这是快种子与相互作用生成后放出来的一个多余质子。
1940年，科夫(S.A.Korff)发现，宇宙射线在高空大气圈中会产生中子，并首先研究了地球大气圈上形成的物理条件。当时，美国芝加哥大学教授利比(W.F.Libby)和科夫刚好研制成功一种探测中子的计数器，他们把它放置在气球上，如实地记录大气圈内各高度层的高能宇宙产生的中子强度。实验结果证明：中子计数率随高度增加，到距离地面15km处，中子强度达到最大值。因此，在大气圈顶部，宇宙射线轰击空气时产生大量快、慢中子，这些中子轰击占空气80%的氮原子核后，同样产生放射性。与氧结合生成，在与大气中氧气混合后参加自然界碳的交换循环运动。植物通过光合作用与大气中的二氧化碳进行交换，与大气中处于平衡状态。动物通过食用植物体内吸入；动物通过排泄、死亡，植物腐烂、沉积，进入表层土壤而使进入土壤，大气于海面接触，二氧化碳又与海水中溶解的碳酸盐和二氧化碳进行交换，因此，海水、海生物及海底沉积物中都含有。由于碳在自然界的交换循环很快，所以，处于与大气相互交换的各种物质在各地的水平基本是一致的。这一点呢已由利比富集从阴沟臭水中收集的沼气中的，在屏蔽式技术器内做放射性测定得到证实。1949年，利比和阿诺德（J.R.Arnold）通过分析一套已知年龄的考古标本，证明用方法测年龄是可行的，利比首先提出了用测定古代遗址年龄的方法，并因创立了的测定技术而荣获1960年得诺贝尔化学奖。
1 模型准备
然界存在三种碳的同位素，它们的重量比例是12：13：14，分别用碳-12（）；碳-18（）；碳-14（）表示，它们的含量比例是98.9：1.1：10-10。前二者是稳定同位素，只有碳-14有放射性，亦称放射性。碳放射β粒子后蜕变为，半衰期为5730±40年,反应式为:

的半衰期只有五千多年而地球存在已有数十亿年,自然界却存在着保持一定水平的放射性碳元素,为使的产生和衰变处于平衡状态,保持一定水平,必然存在着一种源泉。这个来源就在大气高空层,在那里,宇宙射钱中子和大气氮核作用生成。发现这一自然现象并用实验加以证实的是法创始人利比(W.F.Libby)。他从宇宙射线和人工核反应的研究中得到启发,认为自然界存在生成的条件,有可能检测出来.经过仔细考查计算,并在实验中解决了低能量低本底测量上的技术问题,测出了自然。由此建立了测定年代的方法。
　　最初,外来的宇宙射线与大气作用产生宇宙射线中子。宇宙射线中子和大气中氮核起核反应产生碳-14:

这一反应都在高空完成,新生碳原子在大气环境中不能游离存在很久,一般都与氧结合生成分子，和原来存在于大气中的化学性能是相同的,因此必然与原有混合参加自然界碳的交换循环运动。
　　植物通过光合作用将结合成植物组织,动物依植物为生,这就使生物界都混入了.动物通过排泄,死亡,植物通过腐烂,沉积,进入表层土壤而使进入土壤,大气与广大海面接触, 又与海水中溶解的碳酸盐和进行交换,因此海水、海生物及海底沉积物中都含有。所以，凡是和大气中的进行过直接或间接交换的含碳物质都包含。
　　这种产生的自然现象存在已久，同时按5730年半衰期衰变减少，这类碳中水平必然会到达平衡值。由于碳在自然界的交换循环相当快，处于与大气互相交换的各种物质在名地的水平基本上是一致的。
动植物遗存（骨头、植物种子、木头、木炭等）以及其他含碳物质（织品、纸张等），通过挑选、物理化学等处理在真空系统中燃烧生成二氧化碳——经过纯化合成制备成为适合进行测定的样品（笨），通过测量衰变速度或的浓度并经统计分析得到年代。

2 模型假设

通过对考古工作的研究，本文做出如下假设：
A1）发射性物质由于向外发射射线发生衰变，原子数目会减少.现假设衰变速度与原子数目成正比.
A2）考古样品中含有放射性元素，且其含量或者当前的衰变速度可测出.
A3) 假定地球大气层中放射性碳的含量在文物形成到发掘测量之前是恒久不变的，且样品活着活着被制造时其所含放射性碳的形成率与衰变率相等.
A4） 假定文物被在形成到如今的发掘之前从未受到任何放射性元素的污染.

3 模型建立

建模机理：衰变速度与原子数成正比
设N=N(t)为t时刻的原子数
则为单位时间的衰变速度
由建模机理则有以下关系成立：
=-λN（λ＞0为衰变系数，与放射性物质有关） （1）
（）= （2）
然后通过的衰变与时间的关系，提出一种考古年代测定的实际数学模型

4 模型求解
=-λN（λ＞0为衰变系数，与放射性物质有关） （1）
（2）
分离变量得：
两边积分得： 得：

其解为N（t）=
的半衰期为5730年
由半衰期和微分方程的解确定的值
即=解得其衰变系数为0.00012096809433855938
由物质的放射性测定年代
算出物质的年龄
由于实践上的不可行性，上公式无法直接应用（无从得知）。一般将和转化成衰变速度。即

两式相除得
5 模型分析

本模型给出了放射性物质的衰变原理，并导出了放射性物质的衰变公式。

我们可以通过对文物中含量的分析由算出文物的具体年代。
但由于与N较难测量，在实践应用中存在较大的不可行性，所以我们一般会引入：。
即应用现在文物中的衰变速度与现在木炭样品中的衰变速度作比，从而计算文物的具体年代。
缺点：模型的建立是在较强条件基础上的，用现在木炭样品中的衰变速度模拟远古时代样品中的衰变速度可能存在一定的误差。而且要排除在文物保存过程中其它方式性物质的污染干扰。

6 模型检验

“河南龙山文化”主要是指分布于中原地区的考占遗存。因其分布地域较广，其呈现的文化面貌又有所不同，考占界一般将其分为若十不同的类型或称文化。由于诸学者对河南龙山文化的认识不尽相同，所以诸类型或文化的称呼也有所差异。考古界一般对“河南龙山文化”分为五个地区性类型，即土湾类型、后冈类型、土油坊类型、二单桥类型、下土岗类型.
在土湾类型或称土湾二期文化中，以脊封土城岗和禹州瓦店两遗址的系列碳十四测年数据最为重要. 以下列出登封王城岗遗址安阳后岗、汤阴白营、辉县孟庄等遗址测年数据并同树轮校正年代作比较：
表一登封王城岗遗址测年数据表
期别
单位
样品
实验室编号
年代（BP）（5568 1950）
树轮校正年代（BC）
土城岗一期

土城岗一期

土城岗二期

土城岗二期

王城岗三期

王城岗四期

王城岗四期

王城岗四期

王城岗五期

王城岗五期

王城岗五期

王城岗五期

王城岗五期

王城岗五期

WT130H340

WT153H402

Wz 157奠6

WT179奠8

WT31H92

WT242H536

WT92H192

WT157H41R

WT107H233

WT51④

WT48奠

WT155H413

WT196H61下

45H 99

骨头

骨头

骨头

骨头

骨头

骨头

骨头

骨头

骨头

骨头

木炭

木炭

木炭

木炭

SA98100

SA98101

SA98102

SA98104

SA98108

SA98117

SA9Rll6

SA9R120

SA9R122

ZK-095

ZK-095

ZK-095

ZK-095

WB78-18

3738士43

3728士44

3635士50

3627士36

3703士55

3611士41

3697士42

3648士35

3669士34

3657士37

3890士65

3750士80

3450士150

3360士90

2190-2110(2150)

2190-2105(2147)

2132-2082(2107)

2128-2084(2106)

2090-2030(2060)

2038-1998(2018)

2050-1985(2017)

2041-1994(2017)

2030-1996(1997)

2030-1965(1997)

2469-2291(2380)

2300-2039(2169)

1960-1543(1751)

1750-1525(1637)

注:1.表上面的11个碳十四数据出自《夏商周断代工程1996- 2000年阶段成果报告》世界图书出版公司，2000年.

表二安阳后岗、汤阴白营、辉县孟庄等遗址测年数据表
期别
单位
样品
实验室编号
年代（BP）（5568 1950）
树轮校正年代（BC）

龙山

龙山

龙山甲

龙山甲

龙山

龙山晚

龙山中

龙山

龙山旱

龙山晚

龙山晚

龙山晚

龙山旱

龙山中

龙山

安阳后岗T9下
安阳后岗F36居住而上
安阳后岗F19下层
安阳后岗F19 2柱洞
安阳后岗F19 12柱洞
安阳后岗H2

安阳后岗HS

安阳后岗T1

安阳后岗T2
F25
安阳八里F3,T2
汤阴自营T4.F55
汤阴自营T55诬142下
汤阴自营T49隔梁
汤阴自营TS习3 31
辉县孟庄(1T 132H 423
辉县孟庄(11)T 114H 418
修武李固T 1H 13

木炭

木炭

木炭

自灰渣

自灰渣

木炭

木炭

木炭

自灰而

木炭

木炭

木炭

木炭

木炭

木炭

木炭

木炭
Zk-0824

Zk-0823

Zk-0746

Zk-0770

Zk-0769

Zk-0133

Zk-0745

Zk-0977

Zk-0771

Zk-0756

Zk-0570

Zk-0443

Zk-0442

Zk-0441

Zk-2866

Zk-2865

RK 82004
4140士90

4020士100

3980士105

3880士100

3850士100

3800士90

3780士110

3740士75

3640士100

3990士100

3990士80

3730士100

3710士90

3650士100

3749士115

3483士97

3690士70
2888-2583(2735)

2860-2460(2660)

2852-2364(2608)

2559-2149(2354)

2470-2144(2307)

2455-20502252)

2455-20392247)

2286-2038(2162)

2182-18902036)

2853-2404(2628)

2601-2459(2530)

2300-1986(2143)

2279-1979(2129)

2192-1890(2041)

2321-1974(147)

1913-1679(1796)

2195-1979(2087)

注:1.表中，辉县孟庄的2个碳十四数据出自《放射性碳素测定年代报告(二三)》《考古》 1996年第7期。其它遗址的数据皆出自《中国考占学中碳十四年代数据集1965 – 1991》,文物出版社，1991年。
2.“树轮校正年代”一栏中括号内的数据为树轮校正年代的中间值。

由以上两表可以看出，应用本模型提供的测定法测出的年代能较好的契合文物的真实年代。本模型符合实际。

7 模型应用

7.1 该模型可应用于一般文物的年代测量（的含量或现今文物中衰变速度容易测得的情况）
7.2 本模型可用于生物化石的年代测定。
7.3 本模型中提出的用同位素的衰变速度比刻画放射性元素原子个数与原原子个数比的方法可不加修改的移植到其它放射性元素。

8 结论

该模型利用的衰变与时间的关系，提出了一种考古年代测定的实际数学模型，并能利用微分方程进行求解，得出具体的衰变时间，从而可知所需要得知的考古年代。在求解的过程中虽然无法直接应用无从得知），一般将和转化成衰变速度，这样我们就能得出所求的。龙山所处的位置为中原之地，对龙山的考古研究可以了解更多的中原文化和华夏民族的历史。通过与数学模型的结合，可以很容易的用科学计算推出我们所需要的数据，这些数据对历史的真实性和严谨性都有很重要的帮助。通过与数学模型的结合，可以很容易的用科学计算推出我们所需要的数据，这些数据对历史的真实性和严谨性都有很重要的帮助。丰富我们的学习方式、改进我们的学习方法是大学数学课程追求的基本理念。我们的数学学习活动不应只限于对概念、结论和技能的记忆、模仿和接受，独立思考、自主探索、动手实践、合作交流阅读自学等都是学习数学的重要方式。给我们留有适当的拓展、延伸的空间和时间，激发了对数学学习的兴趣，养成良好的学习习惯.著名数学教育家弗赖登塔尔在谈到数学应用时，曾指出“应从两个方面来理解数学应用：既要重视从实际问题中提取数学概念和原理，又要重视用数学概念与原理反过来处理实际问题”；“而要将学校数学更为广泛地应用到不同的脉络背景，数学化应该是数学教学的主要方式”。本节课教师通过数学建模活动引导学生从实际情境中发现问题，并归结为数学模型，形成数学问题（即实际问题数学化）。同时开阔了学生的视野，体会了数学的科学价值、应用价值、人文价值.

参考文献
[1] 马世之 登封王城岗城址与禹都阳城. 河南省社会科学院，《中原文物》2008第2期
[2] 李维明 二里头文化一期遗存与夏文化初始 《中原文物》2002年第1期
[3] 中国社会科学院考古研究所考古科技 实验研究中心碳十四实验室 放射性碳素测定年代报告(三二) 《考古》2006年第7期
[4] 王树芝 尾寄大真 坂本枪 今村攀雄 精确定年的祁连圆柏碳十四年代的加速器质谱测定考古《中原文物》2008年第8期
[5]霍旭初 克孜尔石窟年代研究和碳十四测定数据的应用
[6]方燕明 河南龙山文化和二里头文化 碳十四测年的若干问题讨论 《中原文物》2005年第2期
[7] 马莹 碳一14考古断代原理 《吉林特产高等专科学校学报》 第13卷第3期
2004年9月
[8] 张雪莲，仇士华，蔡莲珍 郑州商城和堰师商城的碳十四年代分析 《中原文物》2005年第1期

数学建模训练课的心得体会
李苏蒙(150142009029) 李祥杰(150142009030) 李永波(150142009034) 刘洋洋(150142009039) 李建军(150142009026)

这学期学习了数学建模训练，使我们感触良多：它所教给我们的不单是一些数学方面的知识，更多的其实是综合能力的培养、锻炼与提高。它培养了我们全面、多角度考虑问题的能力，使我们的逻辑推理能力和量化分析能力得到很好的锻炼和提高。它还让我了解了多种数学软件，以及运用数学软件对模型进行求解。
数学模型主要是将现实对象的信息加以翻译，归纳的产物。通过对数学模型的假设、求解、验证，得到数学上的解答，再经过翻译回到现实对象，给出分析、决策的结果。其实，数学建模对我们来说并不陌生，在我们的日常生活和工作中，经常会用到有关建模的概念。例如，我们平时出远门，会考虑一下出行的路线，以达到既快速又经济的目的；一些厂长经理为了获得更大的利润，往往会策划出一个合理安排生产和销售的最优方案……这些问题和建模都有着很大的联系。而在学习数学建模训练以前，我们面对这些问题时，解决它的方法往往是一种习惯性的思维方式，只知道该这样做，却不很清楚为什么会这样做，现在，我们这种陈旧的思考方式己经在被数学建模训练中培养出的多角度、层次分明、从本质上区分问题的新颖多维的思考方式所替代。这种凝聚了许多优秀方法为一体的思考方式一旦被你把握，它就转化成了你自身的素质，不仅在你以后的学习工作中继续发挥作用，也为你的成长道路印下了闪亮的一页。
数学建模所要解决的问题决不是单一学科问题，它除了要求我们有扎实的数学知识外，还需要我们不停地去学习和查阅资料，除了我们要学习许多数学分支问题外，还要了解工厂生产、经济投资、保险事业等方面的知识，这些知识决不是任何专业中都能涉猎得到的它能极大地拓宽和丰富我们的内涵，让我们感到了知识的重要性，也领悟到了“学习是不断发现真理的过程”这句话的真谛所在，这些知识必将为我们将来的学习工作打下坚实的基础。从现在我们的学习来看，我们都是直接受益者。就拿我们小组此次数学建模的论文为例。原本以为这是一件很简单的事，但做起来才发觉事情并没有想象中的简单。因为要解决问题，凭我们现有的知识根本不够。于是，自己必须要充分利用图书馆和网络的作用，查阅各种有关资料，以尽量获得比较全面的知识和信息。在这过程中，对自己眼界的开阔，知识的扩展无疑大有好处，各学科的交叉渗透更有利于自己提高解决复杂问题的能力。毫不夸张的说，建模过程挖掘了我们的潜能，使我们对自己的能力有了新的认识，特别是自学能力得到了极大的提高，而且思想的交锋也迸发出了智慧的火花，从而增加了继续深入学习数学的主动性和积极性。再次，数学建模也培养了我们的概括力和想象力，也就是要一眼就能抓住问题的本质所在。我们只有先对实际问题进行概括归纳，同时在允许的情况下尽量忽略各种次要因素，紧紧抓住问题的本质方面，使问题尽可能简单化，这样才能解决问题。其实，在我们做论文之前，考虑到的因素有很多，如果把这一系列因数都考虑的话，将会花费更多的时间和精神。因此，在我们考虑一些因素并不是本质问题的时候，我就将这些因数做了假设以及在模型的推广时才考虑。这就使模型更加合理和理想。数学建模还能增强我们的抽象能力以及想象力。对实际问题再进行“翻译”，即进行抽象，要用我们熟悉的数学语言、数学符号和数学公式将它们准确的表达出来。
在数学模型课程中经过理论方法的学习后，我们在整个建模训练的学习过程中，我才真正体验到知识海洋的精彩，尤其是数学的博大精深，真正认识到世界上形形色色的问题都可以通过数学知识去解决、分析和预测。
在建模过程中，我们所获得的真是难以用言语来形容，除了知识上的进步外，还有许多自己的真心体会和感受。
首先，深刻体会到了团队合作精神的重要性。建模的过程不仅仅取决于队员个人的基础和努力，更依赖的还是五名队员合作精神的发挥。既要见己之优点，更不可忽视自己的缺点和同伴的优势，有时尽管感觉自己的设想是正确的，但是自己的想法正处于少数情形，所以要及时做到思想上的妥协，尽自己最大的努力去实现多数人的想法，这样才能成功。
其次，克服性格上的弱点。敢于敞开心扉畅所欲言，在合作过程中，自己有了新的思路一定要及时和队友沟通，形成一种积极活跃的工作环境。
最后，意识到培养创造力、想象力和洞察力的重要性。众所周知，创造力并非与生俱来的，需要在潜意识中点滴地培养。这次集训提供了培养自己创造力的机会，可以充分体会创造过程的紧张、艰辛和喜悦，想象力同样重要。我们的知识可以有限，但我们的想象力却是可以无限的。建模竞赛需要大家把一些很实际的问题抽象成为数学模型，但必须要通过自己的创造力和想象力，然后通过数学方法和计算机去解决。
通过学习数学建模训练，对我们的收益不逊于以前所学的文化知识，使我终生难忘。而且，我觉得数学建模活动本身就是教学方法改革的一种探索，它打破常规的那种老师台上讲，学生听，一味钻研课本的传统模式，而采取提出问题，课堂讨论，带着问题去学习、不固定于基本教材，不拘泥于某种方法，激发了我们的多种思维，增强其学习主动性，培养学生独立思考，积极思维的特性，这样有利于学生根据自己的特点把握所学知识，形成自己的学习机制，逐步培养很强的自学能力和分析、解决新问题的能力。这对于我们以后所从事的教育工作也是一个很好的启发。
总之，“一份耕耘，一份收获”。作为一名数学专业的学生，我们深刻地感到了自己自学能力有了很大的提高，并将对我今后的专业学习有很大的帮助。想到这里，我不由得被老师的良苦用心所感动，为我们创造了如此优越的学习条件，处处为学子着想。因此，在今后的学习中，我们会保持这种学习的劲头，刻苦努力，争取以更优异的成绩。