概率统计第四章.docx

习题四解答
1. 下列给出的数列，哪些是随机变量的分布律，并说明理由。
（1）；
（2）；
（3）；
（4）。
解 要说明题中给出的数列，是否是随机变量的分布律，只要验证是否满足下列二个条件：其一条件为，其二条件为。
依据上面的说明可得（1）中的数列为随机变量的分布律；（2）中的数列不是随机变量的分布律，因为；（3）中的数列为随机变量的分布律；（4）中的数列不是随机变量的分布律，这是因为。
2. 试确定常数，使成为某个随机变量X的分布律，并求：；。
解 要使成为某个随机变量的分布律，必须有，由此解得；
（2）

（3）。
3. 一口袋中有6个球，在这6个球上分别标有-3，-3，1，1，1，2这样的数字。从这袋中任取一球，设各个球被取到的可能性相同，求取得的球上标明的数字X的分布律与分布函数。
解 X可能取的值为-3，1，2，且，即X的分布律为
X
-3
1
2
概率

X的分布函数
0
=

1
4. 一袋中有5个乒乓球，编号分别为1，2，3，4，5，从中随机地取3个，以X表示取出的3个球中最大号码，写出X的分布律和分布函数。
解 依题意X可能取到的值为3，4，5，事件表示随机取出的3个球的最大号码为3，则另两个球的只能为1号，2号，即；事件表示随机取出的3个球的最大号码为4，因此另外2个球可在1、2、3号球中任选，此时；同理可得。
X的分布律为
X
3
4
5
概率

X的分布函数为
0

1
5. 在相同条件下独立地进行5次射击，每次射击时击中目标的概率为0.6，求击中目标的次数X的分布律。
解 依题意X服从参数的二项分布，因此，其分布律
，
具体计算后可得
X
0
1
2
3
4
5
概率

6. 从一批含有10件正品及3件次品的产品中一件一件的抽取。设每次抽取时，各件产品被抽到的可能性相等。在下列三种情形下，分别求出直到取得正品为止所需次数X的分布律。
（1） 每次取出的产品立即放回这批产品中再取下一件产品；
（2） 每次取出的产品都不放回这批产品中；
（3） 每次取出一件产品后总是放回一件正品。
解 （1）设事件表示第次抽到的产品为正品，依题意，相互独立，且而

即X服从参数的几何分布。
（2）由于每次取出的产品不再放回，因此，X可能取到的值为1，2，3，4，

X的分布律为
X
1
2
3
4
概率

（3）X可能取到的值为1，2，3，4，

所求X的分布律为
X
1
2
3
4
概率

由于三种抽样方式不同，导致X的分布律也不一样，请仔细体会它们的不同处。
7. 设随机变量，已知，求与的值。
解 由于，因此。
由此可算得
即 解得；
此时，。
8. 掷一枚均匀的硬币4次，设随机变量X表示出现国徽的次数，求X的分布函数。
解 一枚均匀硬币在每次抛掷中出现国徽的概率为，因此X服从的二项分布，即

由此可得X的分布函数
0，
，
，
，
，
1，
9. 某商店出售某种物品，根据以往的经验，每月销售量X服从参数的泊松分布，问在月初进货时，要进多少才能以99%的概率充分满足顾客的需要？
解 设至少要进件物品，由题意应满足

即

查泊松分布表可求得 。
10. 有一汽车站有大量汽车通过，每辆汽车在一天某段时间出事故的概率为0.0001，在某天该段时间内有1000辆汽车通过，求事故次数不少于2的概率。
解 设X为1000辆汽车中出事故的次数，依题意，X服从的二项分布，即，由于较大，较小，因此也可以近似地认为X服从的泊松分布，即，所求概率为

11. 某试验的成功概率为0.75，失败概率为0.25，若以X表示试验者获得首次成功所进行的试验次数，写出X的分布律。
解 设事件表示第次试验成功，则，且相互独立。随机变量X取意味着前次试验未成功，但第次试验成功，因此有

所求的分布律为
X
1
2
…

…
概率
0.75

…

…
12. 设随机变量X的密度函数为
，
0， 其他，
试求：（1）常数；（2）X的分布函数。
解 （1）成为某个随机变量的密度函数必须满足二个条件，其一为；其二为，因此有，解得，其中舍去，即取。
（2）分布函数

=
=
13. 设随机变量X的密度函数为，求：（1）系数；（2）；（3）X的分布函数。
解 （1）系数必须满足，由于为偶函数，所以

解得；
（2）；
（3）
=
=
=
=
14. 证明：函数
（为正的常数）
为某个随机变量X的密度函数。
证 由于，且，
因此满足密度函数的二个条件，由此可得为某个随机变量的密度函数。
15. 求出与密度函数

对应的分布函数的表达式。
解 当时，
当时，
当时，
综合有

16. 设随机变量X在上服从均匀分布，求方程有实根的概率。
解 X的密度函数为
；
其他.
方程有实根的充分必要条件为，即，因此所求得概率为
。
17. 设某药品的有效期X以天计，其概率密度为
;
0， 其他.
求：(1) X的分布函数；(2) 至少有200天有效期的概率。
解 (1) =
=
(2) 。
18. 设随机变量X的分布函数为

求X的密度函数，并计算和。
解 由分布函数与密度函数的关系，可得在的一切连续点处有，因此

所求概率；
。
19. 设随机变量X的分布函数为，求(1) 常数；(2)；(3) 随机变量X的密度函数。
解：(1)要使成为随机变量X的分布函数，必须满足，即
计算后得
解得
另外，可验证当时，也满足分布函数其余的几条性质。
（2）

（3）X的密度函数
。
20. 设顾客在某银行的窗口等待服务的时间（单位：min）服从的指数分布，其密度函数为 ，某顾客在窗口等待服务，若超过10min，他就离开。
（1）设某顾客某天去银行，求他未等到服务就离开的概率；
（2）设某顾客一个月要去银行五次，求他五次中至多有一次未等到服务的概率。
解 （1）设随机变量X表示某顾客在银行的窗口等待服务的时间，依题意X服从的指数分布，且顾客等待时间超过10min就离开，因此，顾客未等到服务就离开的概率为
；
（2）设Y表示某顾客五次去银行未等到服务的次数，则Y服从的二项分布，所求概率为

21. 设X服从，借助于标准正态分布的分布函数表计算：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）。
解 查正态分布表可得
（1）；
（2）；
（3）；
（4）
（5）
。
22. 设X服从，借助于标准正态分布的分布函数表计算：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）。
解 当时，，借助于该性质，再查标准正态分布函数表可求得
（1）；
（2）
；
（3）；
（4）
；
（5）
；
（6）
。
23. 某厂生产的滚珠直径服从正态分布，合格品的规格规定为，求该厂滚珠的合格率。
解 所求得概率为

24. 某人上班所需的时间（单位：min）已知上班时间为8：30，他每天7：50出门，求：（1）某天迟到的概率；（2）一周（以5天计）最多迟到一次的概率。
解 （1）由题意知某人路上所花时间超过40分钟，他就迟到了，因此所求概率为
；
（2）记Y为5天中某人迟到的次数，则Y服从的二项分布，5天中最多迟到一次的概率为
。