《理论力学》第七章点的合成运动习题解.doc

第七章　点的合成运动习题解

[习题7-1] 汽车A以沿直线道路行驶，汽车B以沿另一叉道行驶。求在B车上观察到的Ａ车的速度。
解：
动点：A车。
动系：固连于B车的坐标系。
静系：固连地面的坐标系。
绝对运动：动点A相对于地面的运动。
相对运动：动点A相对于B车的运动。
牵连运动：在动系中，动点与动系的重合点，
即牵连点相对于静系（地面）的运动。当Ａ、
Ｂ两车相遇时，即它们之间的距离趋近于０时，
Ａ、Ｂ相重合，Ｂ车相对于地面的速度就是
牵连速度。。由速度合成定理得：
。用作图法求得：
　（↑）
故，Ｂ车上的人观察到Ａ车的速度为，方向如图所示。
[习题7-2] 由西向东流的河，宽1000m，流速为0.5m/s，小船自南岸某点出发渡至北岸，设小船相对于水流的划速为1m/s。问：（1）若划速保持与河岸垂直，船在北岸的何处靠岸？渡河时间需多久？（2）若欲使船在北岸上正对出发点处靠岸，划船时应取什么方向？渡河时间需多久？
解：（１）
动点：船。
动系：固连在流水上。
静系：固连在岸上。
绝对运动：岸上的人看到的船的运动。
相对运动：船上的有看到的船的运动。
牵连运动：与船相重合的水体的运动。
绝对速度：未知待求，如图所示的。
相对速度：，方向如图所示。
牵连速度：，方向如图所示。
由速度合成定理得：

，即，船将在北岸下流５００m处靠岸。如图所示，Ａ为出发点，Ｂ为靠岸点。
渡河所花的时间：
（２）

即船头对准方向为北偏西
渡河所花的时间：

[习题7-3] 播种机以匀速率直线前进。种子脱离输种管时具有相对于输种管的速度。求此时种子相对于地面的速度，及落至地面上的位置与离开输种管时的位置之间水平距离。
解：
动点：种子。
动系：固连于输种管的坐标系。
静系：固连于地面的坐标系。
绝对速度：种子相对于地面的速度，未知待求。
相对速度：
牵连速度：

即与之间的夹角为。
种子走过的水平距离为：

[习题7-4] 砂石料从传送带Ａ落到另一传送带Ｂ的绝对速度为，其方向与铅直线成角。设传送带Ｂ与水平面成角，其速度为，求此时砂石料对于传送带Ｂ的相对速度。又当传送带Ｂ的速度多大时，砂石料的相对速度才能与B带垂直。
解：
动点：砂石料。
动系：固连于传送带Ｂ的坐标系。
静系：固连于地面的坐标系。
绝对速度：砂石料相对于地面的速度，。
相对速度：砂石料相对于传送带Ｂ的速度，待求。
牵连速度：传送带Ｂ相对于地面的速度：

当时，传送带Ｂ的速度为：

[习题7-5] 三角形凸轮沿水平方向运动，其斜边与水平线成角。杆ＡＢ的Ａ端搁置在斜面上，另一端Ｂ在气缸内滑动，如某瞬时凸轮以速度向右运动，求活塞Ｂ的速度。
解：
动点：Ａ。
动系：固连于凸轮上的坐标系。
静系：固连于地面的坐标系。
绝对速度：Ａ相对于地面的速度，待求。
相对速度：Ａ相对于凸轮的速度。
牵连速度：凸轮相对于地面的速度。

因为杆ＡＢ作上下平动，故活塞Ｂ的速度为：

[习题7-6]　图示一曲柄滑道机构，长的曲柄，以匀角速度绕Ｏ轴转动。装在水平杆ＣＢ上的滑槽ＤＥ与水平线成角。求当曲柄与水平线的夹角分别为、、时，杆ＢＣ的速度。
解：
动点：Ａ。
动系：固连于ＣＢＤＥ上的坐标系。
　　　动系平动，
静系：固连于地面的坐标系。
绝对速度：Ａ相对于地面的速度。
相对速度：Ａ相对于ＤＥ的速度。
牵连速度：ＣＢＤＥ相对于地面的速度。

负号表示此时速度方向与图示方向相反，即向左。
，此时往复运动改变方向。
，向右。
[习题7-7] 摇杆ＯＣ带动齿条ＡＢ上下移动，齿条又带动直径为１００ｍｍ的齿轮绕Ｏ１轴摆动。在图所示瞬时，ＯＣ之角速度ω０＝０.５ｒａｄ／ｓ，求这时齿轮的角速度。
解：
动点：C。
动系：固连于ＯＣ杆上的坐标系。
静系：固连于地面的坐标系。
绝对速度：Ｃ相对于地面的速度。
相对速度：Ｃ相对于ＯＣ杆的速度。
牵连速度：ＯＣ杆相对于地面的速度。

即齿轮的角速度为
[习题7-８] 摇杆滑道机构的曲柄ＯＡ长，以匀角速度ω０绕Ｏ轴转动。已知在图所示位置
ＯＡ⊥ＯＯ１，，求该瞬时ＢＣ杆的速度。
解：
动点：Ａ。
动系：固连于杆上的坐标系。
静系：固连于地面的坐标系。
绝对速度：Ａ相对于地面的速度，。
相对速度：Ａ相对于杆的速度。
牵连速度：杆相对于地面的速度。

动点：Ｂ。
动系：固连于杆上的坐标系。
静系：固连于地面的坐标系。
绝对速度：Ｂ相对于地面的速度。
相对速度：Ｂ相对于杆的速度。
牵连速度：杆相对于地面的速度。

BC作平动，故

[习题7-9] 一外形为半圆弧的凸轮Ａ，半径ｒ＝３００ｍｍ沿水平方向向右作匀加速运动，其加速度ａＡ＝８００ｍｍ／ｓ２。凸轮推动直杆ＢＣ沿铅直导槽上下运动。设在图所示瞬时，ｖＡ＝６００ｍｍ／ｓ，求杆ＢＣ的速度及加速度。
解：
动点：Ｂ。
动系：固连于凸轮Ａ上的坐标系。
静系：固连于地面的坐标系。
绝对速度：Ｂ相对于地面的速度。
相对速度：Ｂ相对于凸轮的速度。
牵连速度：Ｂ相对于凸轮的速度。

凸轮在水平面上作平动，ＢＣ在铅垂方向上作平动。

上式在轴上的投影为：

，负号表示方向向下。
[习题7-10] 铰接四边形机构中的Ｏ１Ａ＝Ｏ２Ｂ＝１００ｍｍ，Ｏ１Ｏ２＝ＡＢ，杆Ｏ１Ａ以等角速度ω＝２ｒａｄ／ｓ绕Ｏ１轴转动。ＡＢ杆上有一套筒Ｃ，此筒与ＣＤ杆相铰接，机构各部件都在同一铅直面内。求当φ＝６０°时ＣＤ杆的速度和加速度。
解：
动点：Ｃ。
动系：固连于ＡＢ杆上的坐标系。
静系：固连于地面的坐标系。
绝对速度：Ｃ相对于地面的速度。
相对速度：Ｃ相对于ＡＢ杆的速度。
牵连速度：ＡＢ杆相对于地面的速度。

[习题7-11] 具有圆弧形滑道的曲柄滑道机构，用来使滑道ＣＤ获得间歇往复运动。若已知曲柄ＯＡ作匀速转动，其转速为ω＝４πｒａｄ／ｓ，又Ｒ＝ＯＡ＝１００ｍｍ，求当曲柄与水平轴成角φ＝３０°时滑道ＣＤ的速度及加速度。
解：
动点：Ａ。
动系：固连于滑道ＣＤ上的坐标系。
静系：固连于地面的坐标系。
绝对速度：Ａ相对于地面的速度。
相对速度：Ａ相对于滑道ＣＤ的速度。
牵连速度：滑道ＣＤ相对于地面的速度。

加速度在方向的投影：

[习题7-12] 销钉Ｍ可同时在槽ＡＢ，ＣＤ内滑动。已知某瞬时杆ＡＢ沿水平方向移动的速度
ｖ１＝８０ｍｍ／ｓ，加速度ａ１＝１０ｍｍ／ｓ２；杆ＣＤ沿铅直方向移动的速度ｖ２＝６０ｍｍ／ｓ，加速度ａ２＝２０ｍｍ／ｓ２。求该瞬时销钉Ｍ的速度及加速度。
解：
动点：Ｍ。
动系：固连于ＡＢ上的坐标系。
静系：固连于地面的坐标系。
绝对速度：Ｍ相对于地面的速度。
相对速度：Ｍ相对于ＡＢ的速度。
牵连速度：ＡＢ相对于地面的速度。

[习题7-13] 水力采煤用的水枪可绕铅直轴转动。在某瞬时角速度为ω，角加速度为零。设与转动轴相距ｒ处的水点该瞬时具有相对于水枪的速度ｖ１及加速度ａ１，求该水点的绝对速度及绝对加速度。
解：
动点：水点。
动系：固连于水枪上的坐标系。
静系：固连于地面的坐标系。
绝对速度：水点相对于地面的速度。
相对速度：水点相对于水枪的速度。
牵连速度：水枪上与水点相重点相对于地面的速度。

[习题7-14] 半径为ｒ的圆盘可绕垂直于盘面且通过盘心Ｏ的铅直轴ｚ转动一小球Ｍ悬挂于盘边缘的上方。设在图示瞬时圆盘的角速度及角加速度分别为ω及α，若以圆盘为动参考系，试求该瞬时小球的科氏加速度及相对加速度。
解：
动点：小球Ｍ。
动系：固连于圆盘上的坐标系。
静系：固连于地面的坐标系。
绝对速度：小球Ｍ相对于地面的速度。
相对速度：小球Ｍ相对于圆盘的速度。
牵连速度：圆盘上与小球Ｍ相重点相对于地面的速度。

，方向如图所示。

[习题7-15] 一半径ｒ＝２００ｍｍ的圆盘，绕通过Ａ点垂直于图平面的轴转动。物块Ｍ以匀速率ｖｒ＝４００ｍｍ／ｓ沿圆盘边缘运动。在图示位置，圆盘的角速度ω＝２ｒａｄ／ｓ，角加速度α＝４ｒａｄ／ｓ２求物块Ｍ的绝对速度和绝对加速度。
解：
动点：物块Ｍ。
动系：固连于圆盘上的坐标系。
静系：固连于地面的坐标系。
绝对速度：物块Ｍ相对于地面的速度。
相对速度：物块Ｍ相对于圆盘的速度。
牵连速度：圆盘上与物块Ｍ相重点相对于地面的速度。

[习题7-16] 大圆环固定不动，其半径Ｒ＝０.５ｍ，小圆环Ｍ套在杆ＡＢ及大圆环上，如图所示。当θ＝３０°时，ＡＢ杆转动的角速度ω＝２ｒａｄ／ｓ，角加速度α＝２ｒａｄ／ｓ２，试求该瞬时：（１）Ｍ沿大圆环滑动的速度；（２）Ｍ沿ＡＢ杆滑动的速度；（３）Ｍ的绝对加速度。
解：
动点：小圆环Ｍ。
动系：固连于ＡＢ杆上的坐标系。
静系：固连于地面的坐标系。
绝对速度：小圆环Ｍ相对于地面的速度。
相对速度：小圆环Ｍ相对于ＡＢ杆的速度。
牵连速度：ＡＢ杆上与小圆环Ｍ相重点相对于地面的速度。

（Ｍ沿大圆环滑动的速度）
（Ｍ沿ＡＢ杆滑动的速度）

如图所示，在方向上的投影为：

　（Ｍ的绝对加速度）。
　，如图所示。
[习题1-17] 曲柄ＯＡ，长为２ｒ,绕固定轴Ｏ转动；圆盘半径为r,绕Ａ轴转动。已知，在图示位置，曲柄ＯＡ的角速度,角加速度，圆盘相对于ＯＡ的角速度，角加速度。求圆盘上Ｍ点和Ｎ点的绝对速度和绝对加速度。
解：

动点：Ｍ、Ｎ。
动系：固连于ＯＡ杆上的坐标系。
静系：固连于地面的坐标系。
绝对速度：Ｍ、Ｎ相对于地面的速度。
相对速度：Ｍ、Ｎ相对于ＯＡ杆的速度。
牵连速度：ＯＡ杆（包括其延长线）上与Ｍ、Ｎ相重点相对于地面的速度。

Ｍ点的速度：

（方向与相同）

Ｍ点的加速度：

Ｎ点的速度：

Ｎ点的加速度：

[习题1-18] 在图示机构中， 已知ＡＡ′＝ＢＢ′＝ｒ＝０.２５ｍ， 且ＡＢ＝Ａ′Ｂ′。连杆ＡＡ′以匀角速度ω＝２ｒａｄ／ｓ绕Ａ′转动，当θ＝６０°时，槽杆ＣＥ位置铅直。求此时ＣＥ的角速度及角加速度。
解：
动点：Ｄ。
动系：固连ＣＥ上的坐标系。
静系：固连于地面的坐标系。
绝对速度：Ｄ相对于地面的速度。
相对速度：Ｄ相对于ＣＥ杆的速度。
牵连速度：ＣＥ杆上与Ｄ相重点相对于地面的速度。

在方向的投影为：

[习题1-19] 销钉Ｍ可同时在ＡＢ、ＣＤ两滑道内运动, ＣＤ为一圆弧形滑槽，随同板以匀角速绕Ｏ转动；在图示瞬时，Ｔ字杆平移的速度，加速度。试求该瞬时销钉Ｍ对板的速度与加速度。
解：
动点：Ｍ。
动系：固连于Ｔ形板上的坐标系。
静系：固连于地面的坐标系
绝对速度：Ｍ相对于地面的速度。
相对速度：Ｍ相对于Ｔ形板的速度。
牵连速度：Ｔ形板上与Ｍ相重点相对于地面的速度。

（相对于ＡＢ）

（相对于ＡＢ）
若取
动点：Ｍ。
动系：固连于方形板上的坐标系。
静系：固连于地面的坐标系。
绝对速度：Ｍ相对于地面的速度。
相对速度：Ｍ相对于方形板的速度。
牵连速度：方形板上与Ｍ相重点相对于地面的速度。
则：

销钉相对于ＣＤ滑槽（方形板）的速度：

在方向上的投影为：

[习题1-20] 已知点Ｍ在动坐标系平面内运动，其运动方程为，，与（轴与轴保持平行）的夹角，点的运动规律为，。试用建立运动方程式及合成运动两种方法求点Ｍ的速度。
解：
方法一：建立运动方程法。
对于静坐标系而言，动点Ｍ的坐标为：

方法二：合成运动法。
动点：Ｍ。
动系：
静系：。
绝对速度：Ｍ相对于坐标系的速度。
相对速度：Ｍ相对于坐标系的速度。
牵连速度：上与Ｍ相重点相对于的速度。

牵连速度的水平分量：

牵连速度的竖直分量：

Ｍ点相对于坐标的横坐标为：

相对速度的水平分量为：

Ｍ点速度的水平分量：

Ｍ点相对于坐标的纵坐标为：

相对速度的竖直分量为：

Ｍ点速度的竖直分量：

[习题7-21] 板ＡＢＣＤ绕ｚ轴以ω＝０.５ｔ（其中ω以ｒａｄ／ｓ计，ｔ以ｓ计）的规律转动，小球Ｍ在半径ｒ＝１００ｍｍ的圆弧槽内相对于板按规律ｓ＝５０πｔ/3（ｓ以ｍｍ计，ｔ以ｓ计）运动，求ｔ＝２ｓ时，小球Ｍ的速度与加速度。
解：
动点：Ｍ。
动系：固连于板ABCD上的坐标系。
静系：固连于地面的坐标系。
绝对速度：Ｍ相对于地面的速度。
相对速度：Ｍ相对于板ABCD的速度。
牵连速度：板ABCD上与Ｍ相重点相对于地面的速度。

小球绕CD中点在圆弧槽滑动的角速度为：

，。

[习题7-22] 半径为ｒ的空心圆环刚连在ＡＢ轴上，ＡＢ的轴线在圆环轴线平面内。圆环内充满液体，并依箭头方向以匀相对速度ｕ在环内流动。ＡＢ轴作顺时针方向转动（从Ａ向Ｂ看），其转动的角速度ω为常数，求Ｍ点处液体分子的绝对加速度。
解：
动点：Ｍ。
动系：固连于空心圆环上的坐标系。
静系：固连于地面的坐标系。
绝对速度：Ｍ相对于地面的速度。
相对速度：Ｍ相对于空心圆环的速度。
牵连速度：空心圆环上与Ｍ相重点相对于地面的速度。

； ； 。
[习题7-23] 瓦特离心调速器在某瞬时以角速度、角加速度绕其铅直轴转动，与此同时悬挂重球Ａ，Ｂ的杆子以角速度、角加速度绕悬挂点转动，使重球向外分开。设，悬挂点间的距离，调速器的张角，球的大小略去不计，作为质点看待，求重球Ａ的绝对速度和加速度。
解：
动点：Ａ。
动系：固连于瓦特离心器上的坐标系。
静系：固连于地面的坐标系。
绝对速度：Ａ相对于地面的速度。
相对速度：Ａ相对于瓦特离心器的速度。
牵连速度：瓦特离心器上与Ａ相重点相对于地面的速度。

。

[习题7-24] 套筒Ｍ套在杆ＯＡ上，以沿杆轴线运动，以计，以计。杆ＯＡ绕轴以的转速转动，并与轴的夹角保持为。求时，Ｍ的速度及加速度。
解：
动点：M。
动系：固连于ＯＡ上的坐标系。
静系：固连于地面的坐标系。
绝对速度：M相对于地面的速度。
相对速度：M相对于ＯＡ的速度。
牵连速度：ＯＡ上与M相重点相对于地面的速度。

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