【优化指导】2015高考数学总复习 第8章 第6节 空间直角坐标系、空间向量及其运算课时跟踪检测 理(含解析).doc

【优化指导】2015高考数学总复习 第8章 第6节 空间直角坐标系、空间向量及其运算课时跟踪检测 理（含解析）新人教版

1．给出下列命题：
①若p＝xa＋yb，则p与a，b共面；
②若p与a，b共面，则p＝xa＋yb；
③若＝x＋y，则P，M，A，B共面；
④若P，M，A，B共面，则＝x＋y.
其中真命题的个数是(　　)
A．1　　　　　 B．2　　　　　
C．3　　　　　 D．4
解析：选B　①、③为真命题，故选B.

2．如图所示，四棱柱ABCD­A1B1C1D1的所有面都是平行四边形，M为A1C1与B1D1的交点．若＝a，＝b，＝c，则下列向量中与相等的是(　　)

A．－a＋b＋c　　　　B.a＋b＋c
C．－a－b＋c　　　　D.a－b＋c
解析：选A　＝＋＝＋＝＋(－)＝－＋＋＝－a＋b＋c，故选A.
3．如图所示，已知空间四边形O

ABC，OB＝OC，且∠AOB＝∠AOC＝，则cos〈，〉的值为(　　)
A．0　　　　 B.
C.　　　　 D.
解析：选A　设＝a，＝b，＝c，
由已知条件〈a，b〉＝〈a，c〉＝，且|b|＝|c|，
因为·＝a·(c－b)＝a·c－a·b＝|a||c|－|a||b|＝0，所以cos〈，〉＝0.故选A.
4．(2014·长春模拟)在正方体ABCD­A1B1C1D1中，给出以下向量表达式：
①(－)－；②(＋)－；
③(－)－2；④(＋)＋.
其中能够化简为向量的是(　　)
A．①②　　　　 B．②③　　　　
C．③④　　　　 D．①④

解析：选A　如图，①中，(－)－＝－＝成立；②中，＋－＝＋＝，成立；③中，(－)－2＝－2＝(－)－＝－，不成立；④中，(＋)＋＝＋＋＝＋＝＋＝，不成立，故①②成立，选A.
5．(2014·石家庄质检)已知A(1,2,3)，B(2,1,2)，P(1,1,2)，点Q在直线OP上运动(O为原点)，则当·取最小值时，点Q的坐标为(　　)
A.　　　　 B.
C.　　　　 D.
解析：选D　由题意可知＝λ，故可设Q(λ，λ，2λ)，∴·＝6λ2－16λ＋10＝62－，∴λ＝时，·取最小值，此时Q的坐标为.
6．正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为a，点M在AC1上且＝，N为B1B的中点，则||为(　　)
A.a　　　　 B.a　　　　
C.a　　　　 D.a
解析：选A　以D为原

点建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则A(a,0,0)，C1(0，a，a)，N.
设M(x，y，z)．
∵点M在AC1上且＝，
∴(x－a，y，z)＝(－x，a－y，a－z)
∴x＝a，y＝，z＝.
∴M.
∴||＝
＝a.故选A.
7.在四面体O­ABC中，＝a，＝b，＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则＝________(用a，b，c表示)．

解析：a＋b＋c　＝＋＝＋＝＋×(＋)
＝＋＋＝＋(－)＋(－)
＝＋＋＝a＋b＋c.
8．已知点A(1,2,1)，B(－1,3,4)，D(1,1,1)，若＝2，则|| 的值是________．
解析：　设P(x，y，z)，则＝(x－1，y－2，z－1)，
＝(－1－x,3－y,4－z)，
由＝2得点P坐标为，
又D(1,1,1)，∴||＝.
9．若向量a＝(1，λ，2)，b＝(2，－1,2)且a与b的夹角的余弦值为，则λ＝________.
解析：－2或　由条件知|a|＝，|b|＝3，
a·b＝6－λ.
∴cos〈a，b〉＝＝＝.
整理得55λ2＋108λ－4＝0
解得λ＝－2或λ＝.
10．在空间直角坐标系中，以点A(4,1,9)、B(10，－1,6)、C(x,4,3)为顶点的△ABC是以BC为斜边的等腰直角三角形，则实数x的值为________．
解析：2　由题意知＝(6，－2，－3)，＝(x－4,3，－6)，＝(x－10,5，－3)．
故||＝7，||＝，||＝.
由||2＋||2＝||2
得72＋(x－4)2＋45＝(x－10)2＋34，解得x＝2.
11．求证：向量a＝－e1＋3e2＋2e3，b＝4e1－6e2＋2e3，c＝－3e1＋12e2＋11e3共面．
证明：若e1、e2、e3共面，显然 a、b、c共面；
若e1、e2、e3不共面，设c＝λa＋μb，
即－3e1＋12e2＋11e3＝λ(－e1＋3e2＋2e3)
＋μ(4e1－6e2＋2e3)，
整理得－3e1＋12e2＋11e3＝(4μ－λ)e1＋(3λ－6μ)e2＋(2λ＋2μ)e3，
又e1、e2、e3不共面，所以解得，
所以c＝5a＋b，故向量a，b，c共面.
12．已知空间中三点A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3,0,4)，设a＝，b＝.
(1)求向量a与向量b的夹角的余弦值；
(2)若ka＋b与ka－2b互相垂直，求实数k的值．
解1)∵a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，
∴a·b＝(1,1,0)·(－1,0,2)＝－1，
又|a|＝＝，|b|＝＝，
∴cos〈a，b〉＝＝＝－，
即向量a与向量b的夹角的余弦值为－.
(2)∵ka＋b＝(k－1，k,2)．
ka－2b＝(k＋2，k，－4)，且ka＋b与ka－2b互相垂直，
∴(k－1，k,2)·(k＋2，k，－4)＝(k－1)(k＋2)＋k2－8＝0，
∴k＝2或k＝－，
∴当ka＋b与ka－2b互相垂直时，实数k的值为2或－.

1.在正方体ABCD­A1B1C1D1中，P为正方形A1B1C1D1四边上的动点，O为底面正方形ABCD的中心，M，N分别为AB，BC的中点，点Q为平面ABCD内一点，线段D1Q与OP互相平分，则满足＝λ的实数λ的值有(　　)

A．0个　　　　 B．1个　　　　
C．2个　　　　 D．3个
解析：选C　建立如图所示空间直角的坐标系Dxyz，设正方体的棱长为2，

则O(1,1,0)，设P(x，y,2)，则
OP的中点坐标为，
又知D1(0,0,2)，所以Q(x＋1，y＋1,0)，
在平面xOy中直线MN的方程为x＋y＝3.
由＝λ知点Q在MN上．
∴xQ＋yQ＝3.
所以(x＋1)＋(y＋1)－3＝0
整理得x＋y＝1，即点P坐标满足x＋y＝1.
∴有2个符合题意的点P，故对应的λ有2个．因此选C.
2．(2014·哈尔滨模拟)已知a＝(2，－1,2)，b＝(2,2,1)，则以a，b为邻边的平行四边形的面积为(　　)
A.　　　　 B.　　　　
C．4　　　　 D．8
解析：选A　|a|＝3，|b|＝3，而a·b＝4＝|a||b|cos〈a，b〉，∴cos〈a，b〉＝，故sin〈a，b〉＝ ＝，于是以a，b为邻边的平行四边形的面积为S＝|a||b|sin〈a，b〉＝3×3×＝.故选A.
3．已知a＝(1－t,1－t，t)，b＝(2，t，t)，则|b－a|的最小值为______．
解析：　由条件知b－a＝(－t－1,1－2t,0)
所以|b－a|＝＝
＝ ，故当t＝时，|b－a|有最小值.

4.直三棱柱ABC­A′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90°，D，E分别为AB，BB′的中点．

(1)求证：CE⊥A′D；
(2)求异面直线CE与AC′所成角的余弦值．
(1)证明：设＝a，＝b，＝c，根据题意知|a|＝|b|＝|c|，且a·b＝b·c＝c·a＝0，
∴＝b＋c，＝－c＋b－a.
∴·＝－c2＋b2＝0.
∴⊥，所以CE⊥A′D.
(2)解：＝－a＋c，∴||＝|a|，||＝|a|.
·＝(－a＋c)·＝c2＝|a|2，
∴cos〈，〉＝＝.
所以异面直线CE与AC′所成角的余弦值为.

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