1、单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,一、微分的概念,5.5,微 分,若在有限增量公式,中删去,高阶无穷小量项 关于 的一个线性近,似式,这就是,“,微分,”,;,其中的线性因子 即为,四、微分在近似计算中的应用,三、高阶微分,二、微分的运算法则,导数,.,所以,微分和导数是一对相辅相成的概念,.,微分从本质上讲是函数增量中关于自变量增量的,数,.,如果给边长,x,一个增量,正方形面积的增量,的线性部分,和,的高阶部分,(),2,.,因,此,当边长,x,增加一个微小量,时,可用,一、微分的概念,由两部分组成,:,设一边长为,x,的正方形,它的面
2、积,S,=,x,2,是,x,的函,线性部分,请先看一个具体例子,.,的线性部分来近似,.,由此产生的误差是一个关于,的高阶无穷小量,即以 为边长的小,正方形,(,如图,).,可以表示成,定义,5,设函数,如果增量,可微,并称,为,f,在点 处的微分,记作,其中,A,是与,无关的常数,则称函数,f,在点,由定义,函数在点,处的微分与增量只相差一个,关于,的高阶无穷小量,而 是,的线性函数,.,于是,定理,1,函数 在点,可微的充要条件是,在,点,可导,且,证,(,必要性,),如果,在点 可微,据,(1),式有,更通俗地说,是,的线性近似,.,即,在点 可导,且,(,充分性,),设 在点,处可导,
3、则由 的有限增量,公式 说明函数增量,可,且,表示为 的线性部分,与关于 的高,阶无穷小量部分 之和,.,所以,在点 可微,微分概念的几何解释,示于下图,:,它是点,P,处切线相,在点,的增量为,而微分是,应于,的增量,.,当 很小时,两者之差 相比于,将是更小的量,(,高阶无穷小,).,更由于,故若 则得到,的高阶无穷小量,.,若函数 在区间 上每一点都可微,则称 是 上,它既依赖于,也与 有关,.,的可微函数,.,(4),式的写法会带来不少好处,首先可以把导数看,所以导数也称为微商,.,更多的好处将体现在后面,习惯上喜欢把 写成,于是,(3),式可改写成,这相当于 的情形,此时显然有,(5
4、),积分学部分中,.,成,函数的微分与自变量的微分之商,即,例,1,由导数与微分的关系,可方便得出微分运算法则,:,故运算法则,4,又可以写成,二、微分的运算法则,解,它在形式上与,(,4,),式完全一样,不管,是自变量还,例,2,求 的微分,.,立,.,这个性质称为“一阶微分形式不变性”,.,是中间变量,(,另一个变量的可微函数,),上式都成,的计算中,用了一阶微分形式不变性,.,例,3,求 的微分,.,解,三、高阶微分,或写作,称为,f,的二阶微分,.,则当,f,二阶可导时,d,y,关于,x,的微分为,若将一阶微分,仅看成是,的函数,注 由于,与,x,无关,因此,x,的二阶微分,三者各不相
5、同,不可混淆,.,当,x,是中间变量,时,二阶微分,依次下去,可由 阶微分求,n,阶微分,:,对 的,n,阶微分均称为高阶微分,.,高阶微分不,具有形式不变性,.,当,x,是自变量时,的二,阶微分是,为,例,4,解法一,不一定为,0,而当,x,为自变量时,它比,(6),式多了一项,当,时,由,(6),得,解法二 依,(7),式得,如果将,漏掉就会产生错误,.,四、微分在近似计算中的应用,1.,函数值的近似计算,(9),式的几何意义是当,x,与,x,0,充分接近时,可用点,故当,很小时,有,由此得,记,即当,时，,(8),式可改写为,公式,(9),分别用于,sin,x,tan,x,ln(1+,x
6、),e,x,(,x,0,=0),例,5,试求,sin 33,o,的近似值,(,保留三位有效数字,).,解,由公式,(9),得到,处的切线近似代替曲线,这种线性近,可得近似计算公式,(,试与等价无穷小相比较,):,似的方法可以简化一些复杂的计算问题,.,2.,误差的估计,设数,x,是由测量得到的,y,是由函数 经过,果已知测量值,x,0,的误差限为,即,算得到的,y,0,=,f,(,x,0,),也是,y,=,f,(,x,),的一个近似值,.,如,差,实际测得的值只是,x,的某个近似值,x,0,.,由,x,0,计,计算得到,.,由于测量工具精度等原因,存在测量误,例,6,设测得一球体直径为,42cm,测量工具的精度,则当,很小时,量,y,0,的绝对误差估计式为,:,相对误差限则为,而,的,为,y,0,的绝对误差限,为,0.05cm.,试求以此直径计算球体体积时引起的,解 以,d,0,=42,计算的球体体积和误差估,绝对误差限和相对误差限,.,计分别为,:,.,
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