高数竞赛培训.pptx

一、一、求极限问题求极限问题1 1、函数极限、函数极限2 2、数列极限、数列极限 L-Hospital L-Hospital 法则法则 Heine Heine原理原理-将数列极限转换为函数极限将数列极限转换为函数极限 等价无穷小替换及等价无穷小替换及TaylorTaylor公式公式 两个重要极限两个重要极限 其它：利用导数的定义、微分中值定理等其它：利用导数的定义、微分中值定理等 极限存在的两个准则：夹逼性、单调有界原理极限存在的两个准则：夹逼性、单调有界原理 利用定积分的概念利用定积分的概念 利用收敛级数的性质利用收敛级数的性质1 1、函数极限、函数极限 L-Hospital L-Hospital 法则法则取对数取对数再次使用再次使用洛必达法则是求不定型的一种有效方法洛必达法则是求不定型的一种有效方法,但要注意：但要注意：1 1、求极限过程中，若某个因子的极限已知，、求极限过程中，若某个因子的极限已知，则可先则可先提出已知极限提出已知极限；2 2、求极限过程中，可以与其他方法如、求极限过程中，可以与其他方法如等价无穷小等价无穷小 替换、替换、TaylorTaylor公式公式结合使用，结合使用，效果更好，但小心效果更好，但小心 使用；使用；3 3、求极限过程中，可、求极限过程中，可连续使用连续使用洛必达法则，洛必达法则，直至求出不定型的极限；直至求出不定型的极限；4 4、后面将有例题说明在求不定型过程中，、后面将有例题说明在求不定型过程中，不是不是 必须使用必须使用洛必达法则才行。洛必达法则才行。故原式故原式先取对数先取对数 等价无穷小替换及等价无穷小替换及TaylorTaylor公式公式常用的带常用的带PeanoPeano型余项型余项TaylorTaylor公式公式常见的等价无穷小替换常见的等价无穷小替换难点：难点：TaylorTaylor公式展开的阶数与等价无穷小替换的条件公式展开的阶数与等价无穷小替换的条件原式原式掌握等价无穷小替换与掌握等价无穷小替换与TaylorTaylor公式的使用公式的使用另一方面另一方面原式原式原式原式提示：提示：两个重要极限两个重要极限提示：提示：注意到注意到 原式原式 其它：利用导数的定义、微分中值定理等其它：利用导数的定义、微分中值定理等分析：利用重要极限可知分析：利用重要极限可知利用利用Lagrange中值定理知中值定理知故原式故原式2 2、数列极限、数列极限 极限存在的两个准则：夹逼性、单调有界原理极限存在的两个准则：夹逼性、单调有界原理 利用定积分的概念利用定积分的概念 利用收敛级数的性质利用收敛级数的性质 Heine Heine原理原理-将数列极限转换为函数极限将数列极限转换为函数极限 Heine Heine原理原理故原式故原式故原式故原式先取对数先取对数洛必达法则洛必达法则讨论数列讨论数列 的敛散性，并且如果收敛的话，求极限值的敛散性，并且如果收敛的话，求极限值 (1)设设(2)设设 极限存在的两个准则：夹逼性、单调有界原理极限存在的两个准则：夹逼性、单调有界原理分析分析:(1)由数学归纳法知由数学归纳法知由此可见由此可见 和和 都存在，都存在，且极限值是方程且极限值是方程 的正根的正根分析分析:(2)根据单调有界原理知数列根据单调有界原理知数列 有极限，不妨设有极限，不妨设 利用定积分的概念利用定积分的概念特别地特别地由夹逼定理得由夹逼定理得由由Stolz定理的推论定理的推论 利用收敛级数的性质利用收敛级数的性质级数收敛的必要条件级数收敛的必要条件:提示：考虑级数提示：考虑级数利用比值判别法可知该级数收敛利用比值判别法可知该级数收敛首届全国大学生数学竞赛决赛试题首届全国大学生数学竞赛决赛试题一、计算下列各题（共一、计算下列各题（共20分，每题各分，每题各5分，要求写出重要步骤）分，要求写出重要步骤）（3）现要设计一个容积为）现要设计一个容积为 的一个圆柱体的容器。已知上下的一个圆柱体的容器。已知上下 两底的材料费为单位面积两底的材料费为单位面积 元，而侧面的材料费为单位元，而侧面的材料费为单位 面积面积 元。试给出最节省的设计方案：即高与上下底的元。试给出最节省的设计方案：即高与上下底的 直径之比为何值时所需费用最少。直径之比为何值时所需费用最少。二、（二、（10分）求下列极限分）求下列极限法一：法一：法二：法二：故原式故原式先取对数先取对数洛必达法则洛必达法则自测题自测题二、二、(偏偏)导数、高阶导数、高阶(偏偏)导数的计算导数的计算1 1、分段点或特殊点处求导：直接利用定义、分段点或特殊点处求导：直接利用定义2 2、复合函数的链式求导法则、复合函数的链式求导法则3 3、隐函数的求导法则、隐函数的求导法则 对数求导法对数求导法4 4、由参数方程确定的函数的求导法则、由参数方程确定的函数的求导法则5 5、高阶导数的计算、高阶导数的计算(一元函数一元函数)6 6、变限积分函数的求导、变限积分函数的求导1 1、分段点或特殊点处求导：直接利用定义、分段点或特殊点处求导：直接利用定义2 2、复合函数的链式求导法则、复合函数的链式求导法则因此因此:特别注意下面二者的区别特别注意下面二者的区别变量树图变量树图变量树图变量树图 变量树图变量树图uv求求设函数设函数 z=f(x,y)在点在点(1,1)处可微处可微,且且由题设由题设偏导数对复合结构具有偏导数对复合结构具有”遗传性遗传性”.令令复合复合3 3、隐函数的求导法则、隐函数的求导法则 对数求导法对数求导法设设F(x,y)具有连续偏导数具有连续偏导数,已知方程已知方程解法解法1 1、公式法、公式法解法解法2 2、两边求导法、两边求导法 故故解得解得同理可得同理可得解法解法3 3：利用全微分形式的不变性：利用全微分形式的不变性注、公式法：注、公式法：证明：证明：两边取对数两边取对数4 4、由参数方程确定的函数的求导法则、由参数方程确定的函数的求导法则5 5、高阶导数的计算、高阶导数的计算(一元函数一元函数)利用利用Leibniz Leibniz 公式公式常用高阶导数公式常用高阶导数公式 根据已知函数的高阶导数公式，通过恒等变形、根据已知函数的高阶导数公式，通过恒等变形、四则运算等方法，求出高阶导数四则运算等方法，求出高阶导数 利用利用Taylor Taylor 级数级数6 6、变限积分函数的求导、变限积分函数的求导自测题自测题三、三、(偏偏)导数的应用导数的应用1 1、一元函数导数的应用、一元函数导数的应用2 2多元函数偏导数的应用、多元函数偏导数的应用 函数单调性的判别法函数单调性的判别法 函数的极值与最值函数的极值与最值 不等式的证明不等式的证明 确定方程实根的个数确定方程实根的个数 函数单调性的判别法函数单调性的判别法 数列数列的值最小的项的项数的值最小的项的项数_.且该项的数值为且该项的数值为 .提示：提示：，则则 设设 _.提示提示:函数的极值与最值函数的极值与最值提示提示:先通过代换先通过代换 代入原方程得到代入原方程得到 设函数设函数满足方程满足方程求函数求函数的极大值和极小值的极大值和极小值.再根据极值的第二充分条件再根据极值的第二充分条件得到关于得到关于的线性方程组的线性方程组解得解得极大值极大值极小值极小值解得解得再根据极值的第二充分条件再根据极值的第二充分条件 现要设计一个容积为现要设计一个容积为 的一个圆柱体的容器。已知上下的一个圆柱体的容器。已知上下 两底的材料费为单位面积两底的材料费为单位面积 元，而侧面的材料费为单位元，而侧面的材料费为单位 面积面积 元。试给出最节省的设计方案：即高与上下底的元。试给出最节省的设计方案：即高与上下底的 直径之比为何值时所需费用最少。直径之比为何值时所需费用最少。且满足且满足费用函数费用函数解解 得得 不等式的证明不等式的证明.微分中值定理微分中值定理利用函数的单调性利用函数的单调性(单调性的判别法单调性的判别法)即（即（*）式成立。）式成立。证明不等式证明不等式利用函数的单调性来证明不等式的问题，关键在于利用函数的单调性来证明不等式的问题，关键在于通过要证明的不等式构造相应的辅助函数通过要证明的不等式构造相应的辅助函数 确定方程实根的个数确定方程实根的个数利用函数的单调性利用函数的单调性(单调性的判别法单调性的判别法)零点定理零点定理(根的存在性定理根的存在性定理)RolleRolle定理（反证法）定理（反证法）o由连续函数的零点存在定理知：由连续函数的零点存在定理知：存在性存在性由零点定理由零点定理矛盾矛盾,唯一性唯一性 (反证法反证法)Rolle定理也可以指明方程实根的个数定理也可以指明方程实根的个数(反证法反证法)Case 1:若若 恒正恒正(或恒负或恒负)，则根的个数，则根的个数Case 2:若若 有唯一解，则根的个数有唯一解，则根的个数Case 3:若若 有两个解，则根的个数有两个解，则根的个数Case 4:若若 恒正恒正(或恒负或恒负)，则根的个数，则根的个数Case 6:若若 恒正恒正(或恒负或恒负)，则根的个数，则根的个数Case 5:若若 有唯一解，则根的个数有唯一解，则根的个数提示提示:显然显然故在整个实数轴上的零点个数至少有三个故在整个实数轴上的零点个数至少有三个.另外注意到另外注意到或利用或利用2 2、多元函数偏导数的应用、多元函数偏导数的应用 曲线的切线与法平面曲线的切线与法平面 曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线 多元函数的极值：无条件极值、条件极值多元函数的极值：无条件极值、条件极值设空间曲线的方程设空间曲线的方程 曲线的切线与法平面曲线的切线与法平面曲线在曲线在M处的切线方程处的切线方程空间曲线方程为空间曲线方程为空间曲线方程为空间曲线方程为切线方程为切线方程为 求曲线求曲线在点在点M(1,2,1)处的切线方程与法平面方程处的切线方程与法平面方程.解法解法1 令令则则切向量切向量法平面方程法平面方程即即解法解法2 方程组两边对方程组两边对 x 求导求导,得得解得解得切线方程切线方程即即切线方程切线方程即即法平面方程法平面方程即即曲线在点曲线在点 M(1,21)处有处有:切向量切向量 曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线设设 为曲面上的任一点为曲面上的任一点,切平面方程为切平面方程为将定点代入平面方程即得将定点代入平面方程即得无条件极值无条件极值 多元函数的极值：无条件极值、条件极值多元函数的极值：无条件极值、条件极值 求中心在原点的椭圆求中心在原点的椭圆 的长半轴长度的长半轴长度问题等价于求：问题等价于求：在条件在条件 的极值的极值(舍去带减号的根舍去带减号的根)长半轴长为长半轴长为化简化简其中其中 满足满足 求函数求函数在在的最值的最值原问题等价于求函数原问题等价于求函数在在的最值的最值(证明证明：)所以在球内部没有函数的驻点。所以在球内部没有函数的驻点。构造辅助函数构造辅助函数解得解得四、四、微分中值定理微分中值定理 Rolle Rolle定理定理 Lagrange Lagrange中值定理中值定理 Cauchy Cauchy中值定理中值定理 Taylor Taylor公式公式:Peano:Peano型、型、LagrangeLagrange型型Rolle定理定理Lagrange中值定理中值定理Cauchy中值定理中值定理特殊特殊推广推广Taylor 公式公式 Rolle Rolle定理定理2题题 结论等价于结论等价于构造辅助函数，验证构造辅助函数，验证Rolle定理满足定理满足分析分析:1:1题难点在于寻求区间，而题难点在于寻求区间，而2 2题难点在于构造合适题难点在于构造合适 的辅助函数，要求相应函数在相应区间上满足的辅助函数，要求相应函数在相应区间上满足 RolleRolle定理的条件定理的条件知识点：知识点：RolleRolle定理、积分中值定理定理、积分中值定理该构造辅助函数的方法称为指数因子法该构造辅助函数的方法称为指数因子法提示提示(2):等价于等价于辅助函数辅助函数 Lagrange Lagrange中值定理中值定理分析：要证明存在两个或两个以上的中间值，由于用一次分析：要证明存在两个或两个以上的中间值，由于用一次 中值定理只能找到一个中间值，故此问题通常至少中值定理只能找到一个中间值，故此问题通常至少 要用两次中值定理才能解决要用两次中值定理才能解决解：解：利用闭区间上连续函数的介值性利用闭区间上连续函数的介值性(1)(2)由由(1),(2)有有相乘即可相乘即可提示提示:将结论改进为将结论改进为由介值定理由介值定理,(1)(2)由由(1),(2)有有相加即可相加即可 Cauchy Cauchy中值定理中值定理分析分析:结论等价于结论等价于 Taylor Taylor公式公式:Peano:Peano型、型、LagrangeLagrange型型由题意知由题意知合并同类项后得到合并同类项后得到分析：分析：解：解：注意：带注意：带LagrangeLagrange型余项的型余项的TaylorTaylor公式公式常用常用于证明与于证明与 中间值相联的不等式，其中间值相联的不等式，其关键关键是注意是注意TaylorTaylor公式中公式中 展开点的选择。通常选择展开点的选择。通常选择已知区间的已知区间的端点、中间点端点、中间点 或函数的极值点和导数等于零的点。或函数的极值点和导数等于零的点。这类题的这类题的特点特点 是已知函数可导的是已知函数可导的阶数较高阶数较高(二阶或二阶以上二阶或二阶以上)，同时，同时 还有若干个已知的函数值或导数值还有若干个已知的函数值或导数值 ,则有则有更一般的，更一般的，提示：由条件知提示：由条件知存在性由存在性由Lagrange中值定理得出中值定理得出唯一性：若不然假设有两个不同的唯一性：若不然假设有两个不同的则根据题意知则根据题意知由由Rolle定理知定理知矛盾！矛盾！另一方面直接使用另一方面直接使用Taylor公式公式比较两次结果得到比较两次结果得到比较比较 的大小关系的大小关系自测题自测题自测题自测题方法一：利用方法一：利用Lagrange中值定理中值定理两式相加两式相加再次使用再次使用Lagrange中值定理中值定理构造辅助函数构造辅助函数方法二：利用函数的单调性判别方法二：利用函数的单调性判别只需证明函数只需证明函数F(x)单减单减方法三方法三：(同课本定理同课本定理3.5.1的证明过程的证明过程)