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第六章 机械能
第三单元 机械能守恒定律及应用
高考要求：1、重力势能、弹性势能的概念，理解重力做功与重力势能改变的关系；
2、理解机械能守恒定律的适用条件；
3、会用机械能定恒定律分析解决相关力学问题。
知识要点：
一、 机械能
1、 势能：也叫位能。是由相互作用的物体的相对位置所决定的一种能量。
2、 重力势能：
1） 地球上的物体具有跟它的高度有关的能量，叫做重力势能。
2） 公式：EP＝mgh。
3） 重力做功跟重力势能改变的关系：重力做正功，重力势能减小；重力做负功，重力势能增加。重力做功等于重力势能的减少量，即：WG＝－ΔEP＝EP1－EP2
3、 弹性势能：
1） 定义：由于发生弹性形变而具有的能。
2） 大小：由弹簧的形变量及劲度系数有关。
4、 机械能：系统的动能和势能的总和统称为机械能。
二、 机械能守恒定律
1、 内容：在只有重力和弹力（指弹簧弹力或内弹力）做功的情形下，物体的重力势能（或弹性势能）和动能发生相互转化，但总的机械能保持不变。
2、 公式：1）系统末态机械能等于初态机械能：Ek2＋EP2＝Ek1＋EP1，或E2＝E1；
2）系统重力势能的减少量等于系统动能的增加量：ΔEP减＝ΔEk增，
3）若只有A、B两物体，则A减少的机械能等于B增加的机械能：
ΔEA减＝ΔEB增，
3、 条件：只有重力和弹力（指弹簧弹力或内弹力）做功，其它力不做功的情形；
1） 对于单个物体，看是否只有重力对物体做功。
2） 对几个物体组成的系统，一是看外界有没有对系统内的物体做功，为系统提供能量，如有，则机械能不守恒；二是看是否存在摩擦、碰撞（弹性碰撞除外）、爆炸、绳的瞬间作用（绳子突然绷紧）等，若存在，机械能往往不守恒。
4、 解题步骤
1） 选取研究对象——物体或物体系；
2） 根据研究对象所经历的物理过程，进行受力分析、做功分析，判断机械能是否守恒。
3） 恰当地选取参考系和零势能面，确定研究对象在过程的初、末状态的机械能
4） 根据机械能守恒定律列方程，求解。
三、 解决力学问题的三种基本方法
1、 三种基本方法：1）牛顿定律；2）动量关系；3）能量关系。
2、 若研究对象为一个系统，应优先考虑两大守恒定律：动量守恒定律和机械能守恒定律。但要注意两者的条件，机械能是否守恒，决定于是否有重力和弹力外的力做功，而动量是否守恒，决定于是否有外力作用。还要特别注意，系统动量守恒时，机械能不一定守恒；同样机械能守恒的系统，动量不一定守恒。
3、 若研究对象为单一物体，可优先考虑两个定理，涉及功和位移问题的应优先考虑动能定理；涉及时间问题时应优先考虑动量定理。
典型例题：
例1、取离开地球无限远处为重力势能的零点，设地球质量为M，半径为R，万有引力常量是G，距地面高h，质量为m的人造地球卫星的势能为－GMm/(R＋h)，则该卫星的总机械能为________________。
例2、如图所示，长度相同的三根轻杆构成一个正三角形支架，在A
处固定质量为2m的小球，B处固定质量为m的小球。支架悬 O A
挂在O点，可绕过O点并与支架所在平面相垂直的固定轴转动。 2m
开始时OB与地面相垂直，放手后开始运动，在不计任何阻力的 B m
情况下，下列说法正确的是（ ） 例2图
A A球到达最低点时速度为零；
B A球机械能减少量等于B球机械能增加量；
C B球向左摆动所能达到的最高位置应高于A球开始运动的高度；
D 当支架从左向右回摆时，A球一定能回到起始高度。
例3、如图所示，质量为m的小球，与一不可伸长的长为L的轻绳连 30° O
接，绳的另一端固定于O点。现将小球拉到与水平方向成30° L
角的上方（绳恰伸直），然后将小球自由释放，求小球到最低点
时受到绳的拉力大小。 例3图
例4、轻杆AB长2L，A端连在固定轴上，B点固定一个质量为2m A C B
的小球，中点C固定一个质量为m的小球。AB杆可以绕A m 2m
端在竖直平面内自由转动，现将杆置于水平位置，如图所示，
然后由静止释放，不计各处摩擦与空气阻力，试求：⑴AB杆
转到竖直位置瞬时，角速度ω多大？ ⑵AB杆转到竖直位置的
过程中，B端小球的机械能增量多大？⑶AB杆转到竖直位置 例4图
的过程中，杆对B、C小球做功各为多少？
例5、如图所示，带有光滑的半径为R的1/4圆弧轨道的滑块静止 A
在光滑的水平面上，此滑块的质量为M，一质量为m的小 M R
球由静止从A点释放，当小球从滑块B水平飞出时，滑块的 B
反冲速度多大？ 例5图
例6、如图所示，一固定的楔形木块，其斜面的倾角＝30°，另一
边与地面垂直，顶上有一定滑轮。一柔软的细线跨过定滑轮，
两端分别与物块A和B连结，A质量为4m，B的质量为m。开 A
始时将B按在地面上不动，然后放开手，让A沿斜面下滑而B
上升。物块A与斜面间无摩擦，没当A沿斜面下滑s距离后， θ B
细线突然断了，求物块B上升的最大高度H。 例6图
例7、有光滑圆弧轨道的小车总质量为M，静止在水平地面
上，轨道足够长，下端水平，有一质量为m的小球以
水平初速度v0滚上小车，如图所示，求：⑴小球沿圆
形轨道上升的最大高度h；⑵小球又滚回来和M分离
时两者的速度。 例7图
例8、长为L的轻绳一端悬于O点，另一端拴一质量为m的 A m v0
小球，把球拉至最高点A，以v0＝√gL/2的水平速度推 O
出，如图所示，求小球通过最低点C时绳的拉力。 C 例8图
（答案例1、－GMm/2(R＋h)；例2、BCD；例3、7mg/2；例4、⑴ω＝√10g/9L，⑵4mgL/9，⑶4mgL/9，－4mgL/9；例5、m√2gR/(M＋m)M；例6、1.2s；例7、⑴Mv02／2(M＋m)g，⑵小球速度v1＝(m－M)v0／(m＋M)，小车速度v2＝2mv0／(m＋M)；例8、5mg；）
练习题：
1、下列关于重力势能的说法正确的是（ ）
A．取无限远处的重力势能为零，物体在地球附近的重力势能处处为负值；
B．物体离地球越远，受到的重力愈小，因而其重力势能也愈小；
C．无论零势能面选在何处，物体离地越远，其重力势能都不错越大；
D．在绕地球运动的人造卫星中，物体处于完全失重状态，其重力势能总等于零。
2、以下说法中正确的是（ ）
A．一个物体做匀速运动时，他的机械能一定守恒；
B．一个物体所受的合外力不等于零时，他的机械能可能守恒；
C．一个物体所受的合力为零时，他的机械能一定守恒；
D．一个物体的动时不变时，他的机械能一定守恒。
3、如图所示，小球自a由静止自由下落，到b点时与弹簧接触，至c点时弹簧被压缩最短，若不计弹簧质量及空气阻力，在小球由a→b→c的运动过程中（ ） a
A．小球和弹簧总机械能守恒； b
B．小球的重力势能随时间均匀减小； c
C．小球在b点时动能最大；
D．到c点时小球重力势能的减少量等于弹簧弹性势能的增加量。 3题图
4、在一种叫做“蹦极跳”的运动中，质量为m的游戏者身系一根长为L、弹性优良的轻质柔软橡皮绳，从高处由静止开始下落1.5L时到达最低点，若在下落过程中不计空气阻力，则以下说法正确的是（ ）
A．速度先增大后减小； B．加速度先减小后增大；
C．动能增加了mgL； D．重力势能减少了mgL。
5、如图所示，四个选项和图中，木块均在固定的斜 F
面上运动，其中图A、B、C中的斜面是光滑的， v v v v
图D中的斜面是粗糙的，图A、B中的F为木 F
块所受的力，方向如图中箭头所示，图A、B、
D中的木块向下运动，图C中的木块向上运动， A B C D
在这四个图所示的运动过程中的机械能守恒的 5题图
是（ ）
6、在光滑水平地面上有两个相同的弹性小球A、B，质量都为m，现B球静止，A球向B球运动，发生正碰，已知碰撞过程中总机械能守恒，两球压缩最紧时的弹性势能为EP，则碰前A球的速度等于（ ）
A．√EP/m； B．√2 EP/m； C．2√EP/m ； D．2√2 EP/m。
7、如图所示，与轻弹簧相连的物块A和B放在光滑的水平面上，物块A紧靠竖直墙壁，一颗子弹沿水平方向射入物块B并留在其中，在下列依次的四个过程中，由子弹、弹簧和A、B物块组成的系统动量不守恒，但机械能守恒的是（ ）
A．子弹射入木块过程；
B．B载着子弹向左运动的过程； A B
C．弹簧推着载子弹的B块向右运动，直到弹簧恢复原状的过程；
D．B块因惯性继续向右运动，直到弹簧伸长到最大的过程。 7题图
8、物体以4.9m/s2的加速度竖直向上运动，下列说法中正确的是（ ）
A．物体的动量在增大，机械能在增大； B．物体的动能在增大，势能在增大；
C．重力在做负功，势能在减小； D．重力做功的负值等于重力势能的增加。
9、甲、乙两物体，质量分别为m1＝m，m2＝4m，从同一高度同时竖直上抛，上抛时的初动能相等，在上升过程的第1s末，甲、乙两物体的动能分别为Ek1、Ek2，重力势能分别为EP1、EP2，则（忽略空气阻力）（ ）
A．EP1＞EP2，Ek1＞Ek2； B．EP1＞EP2，Ek1＜Ek2；
C．EP1＜EP2，Ek1＞Ek2； D．EP1＝EP2，Ek1＝Ek2。
10、枪以竖直向上、初速度v0发射子弹，忽略空气阻力，当子弹离枪口距离为________时，子弹的动能是其重力势能的一半。（枪口处为零势能点）
11、如图所示，总长为L的光滑均质铁链，跨过一光滑的轻质小定滑轮，
开始时底端相平，当略有扰动时其一端下落，则铁链刚脱离滑轮的
瞬间其速度为________。 11题图
12、如图所示，质量为M，半径为R的半圆光滑槽静放在水平地面上， R m
地面光滑。一质量为m的小滑块从槽的右边缘释放，试求： M
⑴槽的最大速度；⑵证明小滑块可滑到槽的左边缘B点。 12题图
13、如图所示，半径r、质量不计的圆盘盘面与地面相垂直，圆心处有
一个垂直盘面的光滑水平固定轴O，在盘的最右边缘固定一个质量
为m的小球A，位于O点的正下方离O点r/2处固定一个质量也 O A
为m的小球B，放开盘让其自由转动，问： B
⑴当A转到最低点时，两小球的重力势能之和减少多少？
⑵A球转到最低点时的线速度是多少？ 13题图
14、如图所示，A、B两物体用一根轻弹簧相连，放在光滑水平地面
上，已知mA＝2mB，A物体靠在墙壁上，现用力向左推B物体，
压缩弹簧，外力做功为W，突然撤去外力，B物体将从静止开始 A B F
向右运动，以后将带动A物体一起做复杂的运动，从A物体开始
运动以后的过程中，弹簧的弹性势能最大值为（ ） 14题图
A．W； B．2W/3； C．W/3； D．无法确定。
15、如图所示，一轻弹簧左端固定在长木反m2的左端，右端与小木块
m1连接，且m1、m2及m2与地面间接触面光滑，开始时m1和m2
均静止，现同时对m1、m2施加等大反向的水平恒力F1和F2，从两 m1 F1
物体开始运动以后的整个运动过程中，对m1、m2和弹簧组成的系统 F2 m2
（整个过程中弹簧形变不超过其弹性限度），正确的说法是（ ）
A．由于F1、F2等大反向，故系统机械能守恒； 15题图
B．由于F1、F2分别对m1、m2做正功，故系统的动能不断增加；
C．由于F1、F2分别对m1、m2做正功，故系统的机械能不断增加；
D．当弹簧弹力大小与F1、F2大小相等时，m1、m2的动能最大。
16、如图所示，质量为m2的“┗”形物体，静止在光滑的水平面上， A
物体的AB部分是半径为R的四分之一光滑圆弧，BC部分是水 B C D
平面，将质量为m1的小滑块从物体的A点静止释放，沿圆弧面
滑下并最终停在物体的水平部分BC之间的D点，则（ ） 16题图
A．滑块m1从A滑到B的过程，物体与滑块组成的系统动量守恒，机械能守恒；
B．滑块滑到B点时，速度大小等于√2gR；
C．滑块从B运动到D的过程，系统的动量和机械能都不守恒；
D．滑块到D点时，物体的速度等于零。

答案：1、AC；2、B；3、AD；4、A；5、C；6、C；7、BC；8、ABD；9、C；10、v02/3g；11、√gL/2；12、⑴m√2gR/M(M＋m)，⑵略；13、mgr/2，√4gr/5；14、B；15D；16、D
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