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第13章电介质

一、电极化强度
1、电极化强度是描述电介质极化强弱程度的物理量，定义单位为体积内分子电偶极矩的矢量和，即：   。
2、电极化规律，电极化强度与介质中的电场强度成正比，比例系数叫电极化率，各项同性时
3、极化强度与极化电荷面密度的关系

   式中为极化强度与介质表面外法线方向的夹角。
       两介质界面
二、电介质中的高斯定理  电位移矢量
1、高斯定理  在有介质条件下的应用。
    由真空中的高斯定理，在介质中考虑到极化电荷的影响

又       
得       
2、电位移矢量
    定义：
3、介质中的高斯定理      
引进电位移矢量之后使介质中的高斯定理形式简化，闭合曲面的电位移通量只和自由电荷有关，而与电介质的极化电荷无关。应注意极化电荷（或极化强度）的作用隐含在电位移矢量中，所以电位移矢量既描述了介质中的场强也描述了介质的极化。
4、各向同性均匀电介质充满电场所在空间，或各向同性均匀电介质的表面是等势面时，参量，，等之间的相互关系。
由定义式         及 
可得：      

在上述条件下并且有

5、介质的击穿
在很强的电场作用下介质的绝缘性能会遭到破坏，这称为介质的击穿。某种介质能承受的最大电场强度叫做击穿场强。
三、电场的边值关系（在边界面上无自由电荷的条件下）
1、电介质分界面两边电位移的法向分量相等，即   
2、电介质分解面两边电场强度的切向分量相等，即 
3、电位移线的折射定律       
四、电场的能量

1、点电荷的能量  
   或  
   或  
2、电荷连续分布时的电能
对体电荷分布  
对面电荷分布  
3、电场的能量
电场的能量密度   

五、各向同性介质中静电场量基本关系

第13章  电介质

   【例13-1】如题图13-1a所示平行板电容器，两板间距为。将它充电至电势差为，然后断开电源，插入的相对介电常数为的电介质平板
（1）求电介质中的，，的大小及电介质表面的极化电荷。
（2）求电容器两板板间的电势差；
（3）画出电容器内的线、线及线；
（4）如果在插入电介质平板后，保持电源接通。那么电介质中的、、又为多大？

【解】（1）插入电介质平板之前，电容器极板间的场强，又因此。虽然插入介质。由于已断开电源所以不变，由此我们可计算、、，由介质中高斯定理可知

插入介质板后两平行板间的电势差

（2）线，线与线如图b所示。
（3）由上面计算可知当断开电源在平行板电容器内插入介质后，电容器两板间电压下降了。现在保持电源接通的情况下，电源对电容器就要充电。因此电容器两板上的自由电荷面密度就改变了。空气中的场强也改变了，下面我们先计算在电源保持接通情况下的。

     得      
   由此：    

【例13-2】设均匀极化的电介质球，极化强度为
（1）求极化电荷在球心处产生的场强。
（2）求证极化电荷在介质球内部产生的电场为均匀电场。

【解】（1）如题13-2a取坐标方向为极化电荷面密度

球面元的极化电荷在球心处产生的场强

方极化电荷的场的方向与的方向相反
（2）既然介质球被均匀极化，介质中每个电偶极子平均地看来都在方向发生了一个位移，对整个介质球看来相当于一个体电荷密度为的带电球体发生了一个的位移。在相重合的地方不带电（为中性）而不重迭部分即界面上出现的电荷即为极化电荷。如图b。下面我们就用这种模型来求证介质球内为均匀电场均匀带电体密度为的球体内任一点的场强（参阅例11-4）

均匀带电体密度为的球体内任一点的场强

    介质球均匀极化介质球内任意一点的场强由场强迭加原理，见图13-2b。

    设单位体积中电偶极子的个数为，那么电荷密度。所以上式

得证。

    【例13-3】在真空中原来场强为，今在这电场中放入一相对介电常数为的介质球，求这介质球内任意一点的场强。
    【解】由上例可知均匀极化球中的极化电荷的场为均匀场，现在介质球放在均匀场内。这场和合场强仍为均匀场。设介质球的极化强度为，由上例可知。
                                      （1）
由电极化规律                 （2）
由场强迭加原理                           （3）
（2）代入（1）得                      （4）
（4）代入（3）得   
移项整理得介质中任意点的场强    

【例13-4】设MN平面下方充满介电常数为的均匀介质，上方为真空。真空中O点与MN平面的垂直距离为r，O'点是垂足。
（1）若将点电荷放在O'处，求O点的场强；
（2）若将点电荷放在O处，求O'点极化电荷面密度及电位移矢量。
【解】（1）点电荷位于O'点时，它在介质表面产生的电场沿介质表面，呈辐射状，无法向分量，介质的极化强度也无法向分量，因此，除点电荷所在处外介质表面上无极化电荷。点电荷所在处介质面上极化电荷与点电荷重合，它们在真空和介质中产生的合场强呈均匀辐射状。
以O'为中心作半径为r的球形高斯面，因为电荷产生电场，因此球面上各点的量值相等，而的量值不等。根据介质中高斯定理，设真空中及介质中电位移矢量分别为和，有

   ，
解得  
（2）在O处点电荷场作用下，设O'处极化电荷面密度为，则据场强迭加原理，界面附近真空中的场强：
                         （1）
面元附近介质中的场强：
                          （2）
据边界条件，真空中和介质中电位移矢量相等：
                               （3）
由上述三式解得O'处极化电荷面密度
                            （4）
　　　　                      （4）
将（4）式代入（1）式，得

垂足O'的电位移矢量
      。
【例13-5】如图a所示，静电除尘的实验装置中，内有半径为的金属丝，外有半径为金属筒，整个装置细而长。在做实验时，金属丝和金属筒之间加上高电压，当烟灰往上冒的时候，在电场力的作用下产生位移极化，设烟尘极化可近似看作为电偶极矩为的电偶极子并设在运动过程中它的电矩不变，且电偶极子的方向与电场方向平行。
（1）试分析烟灰在圆柱筒内将如何运动。
（2）求烟灰在离中心线处所受的电场力。
（3）求烟灰从运动到过程中电场力对烟灰所作的功。

    【解】（1）由于烟灰在电场中极化。极化后的电偶极子的方向与外场方向相反。如图b所示，电偶极子的正电荷受到指向轴线的力大于负电荷背离轴线方向的力，所以电偶极子将加速向轴向方向运动。如果让高电压反接，电偶极子也反向极化。电偶极子所受的力还是指向轴线。电偶极子在非均匀电场中所受的力的方向总是指向强电场方向。所以在静电除尘实验中的烟灰都将从金属线上析出。而外金属筒上几乎没有灰尘。

（2）电偶极子在电场中的电势能，在电偶极子的方向与电场方向一致的条件下，，根据势能与保守力的关系，在非均匀电场中电偶极子所受力的大小为

细而长的圆柱实验装置中可近似看为无限长圆柱形电容器来处理。所以有

得   
由此可得   
  或    
（3）电场力对电偶极子所作的功

或者也可用电场力作的功等于电偶极子在电场中电势能的减少，即

第13章  电介质

13.3  在相对介电常数为的无限大均匀介质中有一带电量为的导体，介质与导体界面处的极化电荷为，如图所示。试计算、、三个矢量沿封闭曲面的通量。

13.4  在平行板电容器中间插入一均匀电介质平板，尺寸如图a所示。现使电容器带电，试在图b、c、d、e中分别画出、、、在整个电场空间中的大致分布曲线。

13.5  电位移矢量垂直穿过如图放置的无限大均匀介质平板，方向向右，分布均匀，量值为。两介质板的介电常数分别为和（），为介质分界面。
（1）在图、中分别画出线和线的大致分布；（2）计算介质分界面上总的极化电荷面密度。

13.6  半径为的导体球带有电荷，球外有均匀电介质同心球壳，其内外半径分别为和，相对介电常数为，如图所示。试求：
（1）介质内外的电场强度和电位移矢量
（2）介质内的极化强度和表面上的极化电荷面密度；
（3）介质内的极化电荷体密度。

13.7  一圆柱体电容器，由半径为的导线和与它同轴的导体圆筒构成，圆筒半径为，长为，其间充满了相对介电常数为的介质，如图所示。设沿轴线单位长度上导线的电荷为，圆筒上单位长度的电荷为，忽略边缘效应。试求：
（1）介质中的电场强度、电位移矢量和极化强度；
（2）介质表面的极化电荷面密度。

13.8  驻极体是一种特殊的电介质，它具有把极化冻结的特性，当驻极体极化后撤去外场，仍保留永久的极化强度。设有一驻极体制成的无限长薄平板，宽度为，厚度为（），其均匀永久极化强度，为恒量。
（1）在图中标出驻极体的极化电荷分布；
（2）求极化电荷在点的场强；
（3）求点处的电位移矢量。

13.9  一均匀带电的薄球壳，半径为，带电量为。若在壳内距中心处放置一电量为的点电荷。
（1）试求下列两种情况下距中心处点的场强；
（a）金属薄球壳，（b）介质薄球壳；
（2）两种情况是否都可以用高斯定理求得点处的场强，为什么？

13.10  一无限大带电平面，电荷面密度为，左、右两侧分别充满相对介电常数为和的均匀介质。
（1）试问两侧介质中值相等还是值相等，为什么？
（2）分别计算两侧介质中的电位移矢量以及介质表面的极化电荷面密度。

13.11  均匀带电半径为的导体球外充有两种均匀介质，相对介电常数分别为和，介质分界面半径为，如图所示。
（1）图为空间电势随变化曲线，试画出对应的空间电场随变化曲线；
（2）试从图中判断是，还是，判据是什么？

13.12  球形电容器的内外半径分别为和，带电量为，如图所示。电容器下半部分充有油，它的相对介电常数为。
（1）球面上的自由电荷和极化电荷分布是否均匀，为什么？
（2）试求介质中任一点处的电场强度和电位移矢量。

13.14  图示为三个点电荷的系统，试计算该电荷系统的相互作用能。

13.15  、为两个同心放置的均匀带电球壳，球的半径为，带电量为；球的半径为，带电量为。试求：
（1）、两球上电荷之间的相互作用能；
（2）整个系统的静电能。

13.17  真空中半径为的导体球，外套有同心的导体球壳，壳的内外半径分别为和，内球带的电量。试求下列两种情况下，系统静电能的损失：
（1）将导体球壳接地；
（2）将导体球壳与导体球用导线相连。

13.18  两个相同的空气电容器，电容皆为，各自充电到电压为后断开电源，把其中之一浸入煤油（），然后把两个电容器并联，求：
（1）浸入煤油过程中损失的电场能；
（2）并联过程中损失的电场能。

13.19  两个同轴的长直圆柱，半径分别为和，长为，带有等值异号电荷，两圆柱之间充满介电常数为的电介质。
（1）圆柱壳中距中心轴半径为的任一点处的能量密度是多少？
（2）电介质中的总能量是多少？
（3）试从电介质中的总能量求圆柱形电容器的电容。

13.20  如图所示，、、为同轴放置的三个导体柱面，半径分别为、、，长为（），导体与均接地，导体带有正电荷，其单位长度上的电量为导体与之间充满相对介电常数为的电介质。试求：
（1）导体的电势；
（2）处的电极化强度；
（3）带电系统的总能量。

13.21  两个电偶极子中心相距为，电偶极矩分别为和。计算下列两种情况下，两电偶极子的相互作用能：
（1）相互平行放置，如图所示；
（2）相互反平行放置，如图所示。

第13章  电介质

答案
  13.3  ，，                     13.5（2）
  13.6（1），，
      （2），，     （3）
  13.7（1），，  （2），
  13.8（2）         （3）
  13.9（1）（a）       （b）
  13.10（2），，，
  13.11（2）           13.12（2），
  13.14               13.15（1）     （2）
  13.17（1）            （2）
  13.18（1）           （2）
13.20（1）          （2）           （3）
13.21（1）            （2）

提示
  13.10  自由电荷面密度和两介质的极化电荷面密度、几乎重合在同一无限大界面上，电荷产生电场，++对两介质是对称的。所以两介质内的场强和的大小相等，方向相反。而D大小不等方向相反，在界面处应用介质中的高斯定理。
  13.12  为保证内外金属球面为等势面，总电荷（自由电荷加极化电荷）分布必须均匀。因此在电容器内、介质中和真空中的场强E分布是相同的，而D不同。
  13.20  利用来求或利用电容和并联来解。
  13.21  电偶极子的场强，题设条件，在利用电偶极子在电场中的电势能公式。

教材习题
  13.6（1）介质内  ，    介质外  ，
      （2），
  13.7 
  13.8  第一种情况：（a）       （b）
     第二种情况：（a）  （b）