《空间角》学案.doc

空间角及求法 成都37吴兴国
《空间角》学案
知识点归纳
1．异面直线所成的角：已知两条异面直线，经过空间任一点作直线，所成的角的大小与点的选择无关，把所成的锐角（或直角）叫异面直线所成的角（或夹角）．为了简便，点通常取在异面直线的一条上。异面直线所成的角的范围：
2．求异面直线所成的角的方法：（1）几何法；（2）向量法
3．直线和平面所成角
（1）定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角
一直线垂直于平面，所成的角是直角
一直线平行于平面或在平面内，所成角为0°角
直线和平面所成角范围： [0，]
（2）定理：斜线和平面所成角是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角
4．公式：平面a的斜线a与a内一直线b相交成θ角，且a与a相交成j1角，a在a上的射影c与b相交成j2角，则有
5 二面角：平面内的一条直线把平面分为两个部分，其中的每一部分叫做半平面；从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面若棱为，两个面分别为的二面角记为；
6．二面角的平面角：
（1）过二面角的棱上的一点分别在两个半平面内作棱的两条垂线，则叫做二面角的平面角
（2）一个平面垂直于二面角的棱，且与两半平面交线分别为为垂足，则也是的平面角
说明：①二面角的平面角范围是；
②二面角的平面角为直角时，则称为直二面角，组成直二面角的两个平面互相垂直
7．二面角的求法：⑴几何法；⑵向量法
8求二面角的射影公式：，
其中各个符号的含义是：是二面角的一个面内图形F的面积，是图形F在二面角的另一个面内的射影，是二面角的大小
9．三种空间角的向量法计算公式：
⑴异面直线所成的角：；
⑵直线与平面(法向量)所成的角：；
⑶锐二面角：，其中为两个面的法向量
题型讲解
【例1】（09广东）如图，已知正方体的棱长为2，点是正方形的中心，点分别是棱的中点．设点分别是点，在平面内的正投影．
（1）证明：直线平面；
（2）求异面直线所成角的正弦值.

【变式】直三棱柱A1B1C1—ABC，∠BCA=90°，点D1、F1分别是A1B1、A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是（　　）
A． B． C． D．
【例2】（09北京理）如图，在三棱锥中，底面，点，分别在棱上，且
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）当为的中点时，求与平面所成的角的大小；
（Ⅲ）是否存在点使得二面角为直二面角？并说明理由.

【变式】（2009江西卷理）在四棱锥中，底面是矩形，平面，，. 以的中点为球心、为直径的球面交于点，交于点.
（1）求证：平面⊥平面；
（2）求直线与平面所成的角的大小；

【例3】(09湖北) 如图，四棱锥S—ABCD的底面是正方形，SD平面ABCD，SD=2a，点E是SD上的点，且
（Ⅰ）求证：对任意的，都有
（Ⅱ）设二面角C—AE—D的大小为，直线BE与平面ABCD所成的角为，若，求的值

【变式】(09全国Ⅱ文）如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC,D、E分别为AA1、B1C的中点，DE⊥平面BCC1, （Ⅰ）证明：AB=AC A
C
B
A1
B1
C1
D
E

（Ⅱ）设二面角A-BD-C为60°,求B1C与平面BCD所成的角的大小

【例4】已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，底面ABCD，且PA=AD=DC=AB=1，M是PB的中点。
（Ⅰ）证明：面PAD⊥面PCD；
（Ⅱ）求AC与PB所成的角；
（Ⅲ）求面AMC与面BMC所成二面角的大小。

【变式】（09天津）如图，在五面体ABCDEF中，FA 平面ABCD, AD//BC//FE，ABAD，M为EC的中点，AF=AB=BC=FE=AD
(I) 求异面直线BF与DE所成的角的大小；
(II) 证明平面AMD平面CDE；
（III）求二面角A-CD-E的余弦值。

【例5】在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，DC＝2，AA1＝，AD⊥DC，AC⊥BD, 垂足为E， （I）求证：BD⊥A1C
（II）求二面角A 1－BD－C 1的大小；
（III）求异面直线 AD与 BC 1所成角的大小．

【变式】（09重庆理）如图，在四棱锥中，AD∥BC且；平面平面，；为的中点，．求：
（Ⅰ）点到平面的距离；（Ⅱ）二面角的大小． w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

练习
1、（09全国Ⅱ） 已知正四棱柱中，=，为中点，则异面直线与所形成角的余弦值为（ ）
（A） (B) (C) (D)
2、（09全国Ⅰ）已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面上的射影为的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为（ ）
（A） （B） （C） (D)
3、（09浙江卷）在三棱柱中，各棱长相等，侧掕垂直于底面，点是侧面的中心，则与平面所成角的大小是 ( )A． B． C． D． w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
4、二面角α——β的平面角为120°，A、B∈，ACα，BDβ，AC⊥，BD⊥，若AB＝AC＝BD＝，则CD的长为 ．
5、（北京•理）如图，在中，，斜边．可以通过以直线为轴旋转得到，且二面角是直二面角．动点的斜边上．
（I）求证：平面平面；
（II）当为的中点时，求异面直线与所成角的大小；

（III）求与平面所成角的最大值．

6、（陕西•理）如图,在底面为直角梯形的四棱锥中，，,BC=6。
(Ⅰ)求证：；(Ⅱ)求二面角的大小；
A
E
D
P
C
B
F

7、（08安徽卷）如图，在四棱锥中，底面四边长为1的菱形，, , ,为的中点，为的中点
（Ⅰ）证明：直线；
（Ⅱ）求异面直线AB与MD所成角的大小；

8、（山东卷）如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，,E，F分别是BC, PC的中点.
（Ⅰ）证明：AE⊥PD;
（Ⅱ）若H为PD上的动点，EH与平面PAD所成最大角的正切值为，求二面角E—AF—C的余弦值.
（
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