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第31讲 双曲线与方程
【知识梳理】
1、双曲线的定义
（1）平面内，到两定点、的距离之差的绝对值等于定长的点的轨迹称为双曲线，其中两定点、称为双曲线的焦点，定长称为双曲线的实轴长，线段的长称为双曲线的焦距.此定义为双曲线的第一定义.
【注】，此时点轨迹为两条射线.
（2）平面内，到定点的距离与到定直线的距离比为定值的点的轨迹称为双曲线，其中定点称为双曲线的焦点，定直线称为双曲线的准线，定值称为双曲线的离心率.此定义为双曲线的第二定义.
2、双曲线的简单性质
标准方程

顶点坐标

焦点坐标
左焦点，右焦点
上焦点，下焦点
虚轴与虚轴
实轴长、虚轴长
实轴长、虚轴长
有界性

，
对称性
关于轴对称，关于轴对称，同时也关于原点对称.
3、渐近线
双曲线的渐近线为，即，或.
【注】
①与双曲线具有相同渐近线的双曲线方程可以设为；
②渐近线为的双曲线方程可以设为；
③共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线.共轭双曲线具有相同的渐近线.
④等轴双曲线：实轴与虚轴相等的双曲线称为等轴双曲线.
4、通径
过双曲线焦点作垂直于实轴的直线，交双曲线于、两点，称线段为双曲线的通径，且.
5、焦点三角形
为双曲线上的任意一点，，为双曲线的左右焦点，称为双曲线的焦点三角形.若，则焦点三角形的面积为：.
6、双曲线的焦点到渐近线的距离为（虚半轴长）.
7、双曲线的焦点三角形的内心的轨迹为
8、直线与双曲线的位置关系
直线，双曲线：，则
与相交；
与相切；
与相离.
9、平行于（不重合）渐近线的直线与双曲线只有一个交点.
【注】过平面内一定点作直线与双曲线只有一个交点，这样的直线可以为4条、3条、2条，或者0条.
10、焦点三角形角平分线的性质
点是双曲线上的动点，是双曲线的焦点，是的角平分线上一点，且，则，即动点的点的轨迹为.
11、双曲线上任意两点的坐标性质
为双曲线上的任意两点，且，则.
【推广1】直线过双曲线的中心，与双曲线交于两点，为双曲线上的任意一点，则（均存在）.
【推广2】设直线交双曲线于两点，交直线于点．若为的中点，则.
12、中点弦的斜率
直线过与双曲线交于两点，且，则直线的斜率.
13、点是双曲线上的动点，过作实轴的平行线，交渐近线于两点，则定值.
14、点是双曲线上的动点，过作渐近线的平行线，交渐近线于两点，则定值.
【典型例题】
例1、双曲线的渐近线方程为，焦距为，这双曲线的方程为_________.
【变式1】若曲线表示双曲线，则的取值范围是_________.
【变式2】双曲线的两条渐近线的夹角为_________.
【变式3】已知椭圆和双曲线有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程为______
【变式4】若椭圆和双曲线有相同焦点、，为两曲线的一个交点，则_________.
【变式5】如果函数的图像与曲线恰好有两个不同的公共点，则实数的取值范围是（ ）
A． B. C. D.

【变式6】直线与双曲线的渐近线交于两点，设为双曲线上的任意一点，若(为坐标原点)，则下列不等式恒成立的是（ ）
A. B.
C. D.

【变式7】设连接双曲线与的四个顶点为四边形面积为,连接其四个焦点的四边形面积为，则的最大值为_________.

例2、设分别是双曲线的左右焦点,若点在双曲线上，且，则=_________.
【变式1】过双曲线的左焦点的弦，则（为右焦点）的周长为_________.
【变式2】双曲线的左、右焦点、，是双曲线上的动点，且，则_________.

例3、设是双曲线的两个焦点，点是双曲线的任意一点，且，求的面积.

例4、已知直线与双曲线有两个不同的交点，如果以为直径的圆恰好过原点,试求的值.

例5、已知直线与双曲线相交于两点，那么是否存在实数使得两点关于直线对称？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.

例6、已知双曲线的右焦点为,若过点的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，求此直线的斜率的取值范围为_________.

【变式1】已知曲线:；
（1）画出曲线的图像；
（2）若直线：与曲线有两个公共点，求的取值范围；
（3）若，为曲线上的点，求的最小值.

【变式2】直线：与曲线：.
（1）若直线与曲线有且仅有一个交点，求实数的取值范围；
（2）若直线被曲线截得的弦长，求实数的取值范围；
（3）是否存在实数，使得以为直径的圆经过原点，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

例7、已知是双曲线的左焦点，,是双曲线右支上的动点，求的最小值.

【变式】是双曲线的右支上一点，分别是圆和上的点，则的最大值等于_________.

例8、已知动圆与两个定圆和都外切，求动圆圆心的轨迹方程.

【变式1】的顶点为,，的内切圆圆心在直线上，则顶点的轨迹方程是_________.

【变式2】已知双曲线的中心在原点，且一个焦点为，直线与其相交于两点，线段的中点的横坐标为，求此双曲线的方程.

例9、已知双曲线，若点为双曲线上任一点，则它到两渐近线距离的乘积为_________.

例10、焦点在轴上的双曲线的两条渐近线经过原点，且两条渐近线均与以点为圆心，以1为半径的圆相切，又知双曲线的一个焦点与关于直线对称
1）求双曲线的方程；
（2）设直线与双曲线的左支交于两点，另一直线经过点及的中点，求直线在轴上的截距的取值范围.

【变式】设直线的方程为，等轴双曲线：右焦点为.
（1）求双曲线的方程；
（2）设直线与双曲线的右支交于不同的两点,记中点为，求实数的取值范围，并用表示点的坐标；
（3）设点，求直线在轴上的截距的取值范围.
例11、已知双曲线方程为：.
（1）已知直线与双曲线交于不同的两点，且线段的中点在圆上，求的值；
（2）设直线是圆：上动点（）处的切线，与双曲线交于不同的两点，证明的大小为定值.
例12、已知中心在原点，顶点在轴上，其渐近线方程是，双曲线过点.
（1）求双曲线的方程；
（2）动直线经过的重心，与双曲线交于不同的两点，问：是否存在直线，使平分线段，证明你的结论.
例13、已知点、为双曲线：的左、右焦点，过作垂直于轴的直线，在轴上方交双曲线于点，且．圆的方程是．
（1）求双曲线的方程；
（2）过双曲线上任意一点作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为、，求的值；
（3）过圆上任意一点作圆的切线交双曲线于、两点，中点为，求证：．

例14、已知双曲线：的一个焦点是，且．
（1）求双曲线的方程；
（2）设经过焦点的直线的一个法向量为，当直线与双曲线C的右支相交于不同的两点时，求实数的取值范围；并证明中点在曲线上．
（3）设（2）中直线与双曲线的右支相交于两点，问是否存在实数，使得为锐角？若存在，请求出的范围；若不存在，请说明理由．

例15、已知等轴双曲线的两个焦点、在直线上，线段的中点是坐标原点，且双曲线经过点.
（1）已知下列所给的三个方程中有一个是等轴双曲线的方程：①；②；③.请确定哪个是等轴双曲线的方程，并求出此双曲线的实轴长；
（2）现要在等轴双曲线上选一处建一座码头，向、两地转运货物.经测算，从到、从到修建公路的费用都是每单位长度万元，则码头应建在何处，才能使修建两条公路的总费用最低？
（3）如图，函数的图象也是双曲线，请尝试研究此双曲线的性质，你能得到哪些结论？