行列式的计算方法D.doc

渤海大学
毕业论文（设计）

题 目 行列式的计算方法
完成人姓名 刘继鹏
主 修 专 业 数学与应用数学
所 在 院 系 数学系
入 学 年 度 2002年9月
完 成 日 期 2006年5月25日
指 导 教 师 张玉斌

目 录

一、 行列式的主要理论 (1)
（一） n阶行列式定义 (1)
（二） 行列式的性质 (1)
二、 行列式的计算方法 (3)
（一） 定义法 (3)
（二） 目标行列式法 (4)
（三） 降阶法 (8)
（四） 分裂行列式法 (11)
（五） 析因子法 (12)
（六） 加边法 (14)
（七） 递推法 (17)
（八） 数学归纳法(19)
（九） 换元法 (21)
（十） n阶轮换行列式的计算法(22)
三、 结束语 (24)
四、 参考文献 (25)

行列式的计算方法
刘继鹏
（渤海大学数学系 锦州 121000 中国）
摘要：行列式是代数学中的一个重要内容，在数学理论上有十分重要的地位，因此，行列式
的计算就显得尤为重要，但计算行列式的方法比较灵活，不易掌握，本文在对行列式进行研
究的基础上，对其计算方法进行了归纳总结，对每种方法文中通过具体实例予以演示说明。
关键词：行列式 计算 方法
Computing Technology of the Determinant
JiPeng-Liu
(Department of mathematics Bohai university Jinzhou 121000 China )
Abstrat : The determinant is an important content in algebra, there are very important positions on
the mathematics theory, so, the calculation of the determinant seems particularly important, but calculate the method of the determinant is more flexible , difficult to master, this text in carry on foundation of research to determinant , sum up to summarize to his computing technology, to demonstrating in each kind of square French that explains through the concrete embodiment
Keywords: Determinant Calculate Method
一、 行列式的主要理论
行列式是高等数学中的一个重要的研究对象，它是讨论线性方程组理论的一个有力工具，并在数学的许多部分中有着广泛的应用，本文主要介绍行列式的一些计算方法，为此先把它的主要理论简述如下：
（一）n阶行列式的定义:
符号表示n阶（级）行列式，它等于
，其中表示对所有n级排列求和，叫做n阶行列式的第行、第列元素，表示排列的逆序数，n阶
行列式常用下列记号、、表示。
（二）行列式的基本性质
1.设，，则
2.交换行列式中任意两行（列）的位置后，其值仅改变符号。
3.若行列式中某一行（列）的各元素都含有因子，则可把提到行列式的外边。、
4.若行列式中某一行（列）的各元素都可表成两项之和，如， ，则这个行列式就等于两个同级行列式的和，这两个同级行列式的第行，一个是
，另一个是，而其余各行（列）都与原来行列式相同。
5.把行列式中第行（列）的倍加到第行（列）
上之后，行列式的值不变。
6.若行列式中有两行（列）成比例，则行列式为零；特别的若行列式中有两行（列）相等，则行列式为零；且若行列式中有一行（列）的元素全为零，则行列式的值为零。
7.拉普拉斯定理：在n阶行列式中，选取行（列）后，则含于此诸行（列）中的所有级子式与它的代数余子式之积的和等于原行列式的值。
8.n阶行列式中的任意一行（列）的所有元素与它的代数余子式之积的和等于的值；而任意一行（列）的元素与另一行（列）的代数余子式之积的和等于零，即

当时

0 当时

当时

0 当时
9.行列式的乘法法则：

二、 行列式的计算方法
由于行列式的计算，特别是以字母为元素的行列式的计算，没有一般的方法，在这里主要介绍一些特殊类型的行列式给出一些不同的 计算方法。
（一）定义法：
应用n阶行列式的定义来计算其值的方法，称为定义法。
例1 计算行列式的值。
解 此行列式刚好只有n个非零元素故非零项只有一项：，又，
因此：

例2 计算行列式：的值。
解 由行列式的定义知，此行列式的非零项只有两项和故：

例3 计算行列式的值。
解 因为这是一个四阶行列式，展开式共有项，但由于许多元素
为零，所以只要求出不为零的那些项即可，展开式中项的一般形式是
，其中是1，2，3，4的一个排列。
当时， 当时，
当时， 当时，
只需考虑的那些项，故只有一项
，从而原式
（二）目标行列式法：
把欲计算的行列式，利用性质朝目标行列式——化为上（下）三角形、范德蒙行列式，从而得解
1.三角形法：
利用定义法，容易计算行列式事实上，n阶行列式的项一般是，由于在这个行列式的第n行中，除外，其余的元素都等于零，所以的 项都等于零，因而只要考虑的项即可，再看第（n-1）行，这一行除去及外其余的元素都是零，因此只有n-1，n这两个可能。但因而且，所以，这样逐步往上推去，可知在展开式中除去这一项外，其它各项都等于零。
故
这样的行列式叫做上三角形行列式，从而可知上三角形行列式等于主对角线上元素的乘积，特别有把主对角线以外的元素都是零的行列式称为对角行列式，利用行列式的值不变性质，易得，即下三角形行列式也等于主对角线上元素之积。
三角形法就是把原行列式变换成上（下）三角形行列式或对角形行列式来计算的一种方法。

例1 计算
解

例2 计算的值。
解 把第一行的（-1）倍分别加到2，3，，（n+1）行上去，可得
原式
例3 求证
证明 把n+1阶行列式的第行乘以都加到第一行
上去，可得：
左边右边
2.范德蒙法：
行列式称为范德蒙行列式，它的值由
公式给出。
把原行列式转化为范德蒙行列式的计算方法称为范德蒙法
例4 设，求证：
证明 左边=

即证。　　
例５ 计算
解 利用倍角公式　
　　代入原行列式，第３行加上第１行，第４行加上第２
行的３倍，提出公因子得
原式
例６ 计算
解 作辅助范德蒙行列式：

　由此可知，原行列式是中的系数的相反数，而中的
　的系数为，所以
(三)降价法
应用按某行(列)展开行列式的性质时,常使原行列式某行(列)的
元素变成尽可能多的零(即造零),故也称此法为造零降价法.
例1 计算
解 原式

例2 计算
解 把n阶行减去第行,第行减去第行,,第2行减去第1行,得原式

特例,若,则

例3 求证
证明 左边

=右边
即证.
(四)分裂行列式法:
根据行列式的拆项性质,可以把已知行列式拆成若干个n阶行列式之和,然后求分裂出来的行列式的值,再求出原行列式的值.
例1 计算
解 原式

当时,等号右边的第1行行列式中的第2列的元素与后面的列
的元素成比例,其值为零;第2个行列式中第2列与后面的列相同，所
以原式为零;当时,原式;当时,原式
例2 计算n阶行列式
解 将第n项拆成两项和:,所以可写成两个行列式之和,即:

(1)
类似,将转置后,将第行拆成两项和仿上可
得D (2) ,可解得　
（五）析因子法：
　　如果行列式有一些元素是变量（或参变量）的多项式，那么可
以将行列式看作一个多项式，然后直接对行列式施行某些变换，
结合因式定理，求出的互素的一次因式，使得与这些一次因
式的乘积只相差一个常数因子，，再根据多项式
的恒等定义，比较与的某一项系数，求出待定常数的值，
从而便获解，对于含有n个变量的行列式也可用类似方法处理．
例１ 计算
解 把原行列式看作关于变量的多项式,易从行列式性质知:

有因式,且中含有的最高次数是4,
故(其中k为待定常数)
中含的项为与,即为:与-4两项,从而易得的系数为,故

例2 计算
解 原式

设
易见
中含有因式,且中
项的系数为1.
故=,原式
特例,当时,则有
这道题首先对原行列式施行一次变换,提出公因子,然后
对余下的行列式作多变量的析因子计算法,先讨论一般情况:
再计算出它的特例(即当时的情况).
例3 设是次数不大于的多项式是任意数,
求下列行列式的值.
解 当中有两个数相等时,易见,,
当两两不等时,可作n阶行列式:

可见,是一个多项式,现证,否则,则是由
的线性组合,因而,又,
这就是说, 至少有个不同的根,即的根的个数大于它
的次数,矛盾,所以,因而即
(六)加边法
加边法(升阶法)是在行列式的基础上,增加一行一列(即升一阶)且保持原值不变(增加的一行一列的元素一般是由1和0组成),这样便于计算.
例1 计算
解 把原行列式增加一行一列,得原式在这个式子中,第2列减去第1列的倍,第3列减去第1列的倍,等等,即得:
按第1列展开,可得
原式+

再把第3,4,5个行列式化为三角形行列式,于是有:
原式

推广这道题,可得到如下结论:

例2 计算
解 把原行列式作加边变换得原式
把第1行的(-1)倍分别加到第2,3,,()行上去,得
再做第2次加边变换得:
再将第1列的(-1)倍分别加到第3,4,,()列上去,得:
将第3,4,,()列乘以都加到第1列上去,把第3,4, ,()列分别乘以都加到第2列上去,得:按第1列展开,得原式

(七)递推法
利用行列式性质，把给定的n阶行列式变换成用同样形式的阶（或更低级）的行列式表示出来（即找出递推关系式），然后根据递推关系式求出，这种计算法叫做递推法。
1.直接递推法：
例1 计算
解 按第1列展开得递推关系式，同理得：

，
从而有：

把上述个等式相加，得

例2 计算行列式（空白处为0）
解 按第1列展开得递推关系式，同理得：

从而有：
即：
2.间接递推法：
例3 计算
解 因为

又

（1）
于是
（2）
（1）-（2）得
当时，，当时，显然
（八）数学归纳法
利用不完全归纳法寻找行列式的猜想值，再用数学归纳法给出这个猜想的严格证明（一般是第二形式的数学归纳法）。
例1 计算
解 分析，
预测 （1）
证明 当时，式（1）显然成立。
设时，（1）式成立，则当时

当时，（1）式成立，从而得证。
例2 计算
解 分析

猜想 （2）
证明 当时，（2）式成立，设时，（2）式也成立

即当时，（2）式成立，从而获解。
（九）换元法
例1 求证，
其中

证明 作可见
，又根据行列式性质，可知是的一次多项式，所以可令又所以
，
即证。
例2 设都是实数，求证：
（1） 若，则；
（2） 若，则。
其中及分别表示的绝对值，
证明 （1）反证法：
若，则n阶矩阵的秩，于是线性方程组
，有非零解不妨假设，于
是，由于所以
这与已知矛盾，所以。
（2）作
由题设及（1）可知，，又因
。注意到是的多项式，所以是的连续函
数，所以，又由于题设及知，，所以，
即，即证。
（十）n级轮换行列式的计算法：
在行列式中，有一类n级轮换行列式，计算这类行列式的值，除
采用以上介绍的九种常用方法以外，我们介绍另一种初等计算法。运
用这种方法，不仅可以用来计算n级轮换行列式，而且可以用来计算
n级反轮换行列式，乃至一般的n级z轮换行列式。
所谓“n级z轮换行列式”就是指形如下面的形式：
（1）
其中，和z都是复数，为了节省篇幅和方便起见，将（1）
简记为：。
特别地，当时，记为，就是n级轮换行列式，当
时，记为，就是n级反轮换行列式。
在（1）中，当时，易知，下面着重讨论，当时，
如何用初等方法来计算，不妨设二项方程的n个根为
，并且令n级范德蒙行列式：以及多项式函数：，于是

由于，故得： （2）
例1 计算。
解 设，则，其中是方程：
的根
且满足

例2 计算
解 设，且的n个根为，
不妨令，则
因为，且对于，有
，故：

又，
则
例3 计算
解 设，且令的n个根为
则

并且
从而利用关系式，
，可得

结束语
计算n阶行列式的方法很多，除了上面介绍的几种常用方法外，
还有一些特殊的计算法，如极限法、导数法、积分法等，这里我们不
一一叙述了，在具体计算时，往往要把一、二种方法结合起来使用；
对某个给定的行列式的求值，要注意方法的灵活性，要善于在一题多
解中选择一种最优美简便的方法。

参考文献：
[1]北京大学数学系编:《高等代数》,北京,高等教育出版社，1988,3.
[2]钱吉林：《高等代数题解精粹》,北京，中央民族大学出版社,2002,10.
[3]陈文灯 黄先开 ：《线性代数复习指导》,北京, 世界图书出版公司，1998,10.
[4]王向东 周士藩：《高等代数常用方法》,北京， 科学出版社，1986.
[5]同济大学数学教研室编: 《线性代数》,上海， 高等教育出版社，2001,3.