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江西师范大学09届学士学位毕业论文

n阶行列式的计算方法

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III

n阶行列式的计算方法

【摘要】
本文主要针对行列式的特点，应用行列式的性质，提供了几种计算行列式的常用方法。例如：利用行列式定义直接计算法，根据行列式性质化为三角形列式法，按一行（列）展开以及利用已知公式法，数学归纳法与递推法，加边法，利用多项式性质法，拉普拉斯定理的应用。但这几种方法之间不是相互独立，而是相互联系的.一个行列式可能有几种解法，或者在同一个行列式的计算中将同时用到几种方法以简便计算。这就要求我们在掌握了行列式的解法之后，灵活运用，找到一种最简便的方法，使复杂问题简单化。
【关键词】 n阶行列式 行列式的性质 数学归纳法递推法 加边法

Some methods of an n-order determinant calculation

【Abstract】In this paper, considering the characteristics of determinant, it provides several commonly used methods to calculate the determinant by applying the properties of the determinant . For example ：The direct method of calculation by using the determinant definition . The method of changing the determinant into a triangular determinant According to the properties of the determinant. The method of expanding the determinant by line (column) .using the known formula , the mathematical induction, recursive Method , adding the edge method, using the properties of polynomial , the application of Laplace theorem. These methods are not independent of each other ,but interrelated. There is probably that a determinant has several solutions, or in the calculation of the same determinant there will be used several methods to calculate simply. This requires us to grasp several solution of the determinant，and to find the easiest ways after, so simplify complex issues .

【Key words】n-order determinant the property of the determinant
the mathematical induction adding the edge method

目录
1引言 1
2 计算行列式的基础方法 2
2.1利用行列式的定义来计算 2
2.2化为三角形法 3
2.3把各行(或各列)统统加到某一行(或列) 4
2.4逐行(列)处理 5
3加边法 6
4 展开 8
5利用已知行列式公式计算法 10
(1)三角形公式 10
(2)范德蒙公式 10
(3)爪型行列式公式 11
(4)ab行列式公式 13
6 数学归纳法 13
7递推法 16
8 拆项法 18
9 利用多项式的性质 21
10 利用矩阵分块理论 21
1 乘法公式的应用 22
2 定理2 22
3 定理3 23
11 小结 25
参考文献 26
致谢 26

1引言
行列式是研究线性代数的一个重要的工具，在线性方程组、矩阵、二次型中要用到行列式，在数学的其他分支里也常常要用到行列式。n阶行列式的计算是研究生考试的一个重点，对于很多学生来说，n阶行列式的计算又是一个难点。很多人不能非常熟练的掌握，而且教材也没有题及到。因此行列的计算问题显得尤其的重要。
引例：对于二元线性方程组，
若，则，
对于低元的方程组，对应的低阶行列式比较好计算。但是我们为了解n元方程组那就不得不要面临计算

对于这种n阶的行列式计算方法，除了定义法，我们还能通过那些其他的方法来计算呢？

2 计算行列式的基础方法
计算行列式的基础方法主要是指，利用行列式的定义和基本性质来计算行列式的方法。行列式的定义在下面2.1节会具体的介绍。下面本文现介绍下几个行列式的基本性质。
性质1 （对称性）行列式的转置行列式与原行列式相等。
【评注】从这个性质可以知道如果行列式对行而言具有的性质，则对列而言也具有相同的性质。反过来也是如此，因此下面的几个性质只对列来叙述。
性质2 （多重线性）行列式的多重线性是指下面两条
（1）
（2）
性质3 （交错性） 对换行列的任意两列所得行列式与原行列式绝对值相等，符号相反。
性质4 如果行列式的一列是另一列的a倍，则行列式为零。特别是，如果行列式有一列为零，或者有不同的两列相同，则行列式为零。
性质5（初等变换性质） 通常说的初等变换有三种：一列乘以非零数；对换不同的两列；这两中前面都提到了 ，下面一种是：一列乘以非零数加到另一列。

2.1利用行列式的定义来计算
一般来说利用行列式的定义求解n阶行列值很繁琐，但是对一些特殊的有规律的行列式还是很有用的，往往能够收到意想不到的效果。对于这种行列式一般有一些很好的特征，例如: (1) 只有对角线的元素不为零，或者行列式为上、下（反上、下）三角形行列式；(2) 中必有一个元素等于零,或者有很多项为零; (3)等等。

1、定义（1）其中为排列的逆序数。
例1：计算n行列式=
解：根据行列式的定义，行列式展开后每一项都有n个元素相乘，而且这n个元素要位于中不同的行与不同的列。因此中只有一个1·2·3…（n-1）·n!这一项行标为自然顺序，列标构成的排列为n·(n-1)…2·1,其反序数为 ，故
例2：计算行列式 =
解：根据行列式的定义，行列式的展开式等于
=
=
2.2化为三角形法
即通过行列式的行变换和列变换，使得行列式变成如下形式：位于主对角线一侧的所有元素全等于0，这样得到的行列式等于主对角线元素的乘积，对于次
对角线的情形，行列式的值等于与次对角线上所有元素的乘积。化三角
法一般只能针对一些有规律的、能通过简单初等行列变换变成三角形行列式，或变成爪型行列式、平行线形行列式、主次对角行列式等。其它的一些行列式就不是很适用。
例1：计算n阶行列式=
解：从第2行起，每行减去第一行
=
=（）（）（）
从第二列开始，每一列都加到第一列，化成上三角形行列式
=（）（）（）

=（）（）（）（）

2.3把各行(或各列)统统加到某一行(或列)
把各行(或各列)统统加到某一行(或列),再通过行列式的性质化简得到结果。能适用这种方法的行列式一般有一个很好的特征：各行（列）和相等，或成比例。这样相加之后就能提取公因式了。

例1：计算n阶行列式=
解：把从第2列以后每一列都加到第一列
==[]
把从第2行以后每一行都减去第一行
= []=[]
2.4逐行(列)处理
这是指逐行或逐列以适当的倍数相加或相减。有一些行列式能通过逐行相加减得到很多的零。这样就使得行列式计算变得简便的多。
例1：计算n阶行列式=
解：从第n-1行开始，直至第一行，每一行乘以（－１）加到下一行得到
=
再将其它各列统统加到第一列得到
=＝
从第（n-1）列开始，两两对换，换到第一列，第n-2列两两对换，换到第２列，
＝
从第２列起都加到第一列得
＝
＝＝
3加边法
有的时候，适当地加行加列，把n阶行列式增加一行一列边为n+1阶行列式，虽然把行列式的阶变大了，但是反而能更容易实施某些常用的算法或能变成某些熟悉的行列式来计算。适用这种方法的行列式一般每行每列有很多的元素相等，或成比例。
例1：计算n阶行列式=
解：加边，是变成n+1阶行列式，即
=
=

例2：计算n阶行列式=，其中。
解：加边得=
=
==（）
4 展开
将行列式展开也是计算行列式的重要的方法。这种方法常在某一行（列）元素零比较多时。展开在解题当中有两种方式：
（1）按某一行（或列）展开
（2）按拉普拉斯定理展开。即在n阶行列式D中任取k行（），由这k行（或k列）所组成的一切k级子式与他们的代数余子式的乘积的和等于行列式D。
例1：计算n阶行列式=
解：用第一行的（-1）倍分别加到其他各行得
=
再按第一列展开得=

例2：计算n阶行列式=
解：这是平行线行列式，按第一列展开得
=
=
例3：计算n阶行列式=
解：根据拉普拉斯定理，取前k行，由这k行所组成的一切k级子式与他们的代数余子式的乘积，其中只有不等于零。
因此=

5利用已知行列式公式计算法
某些行列式可以通过适当的变形，使之变成我们已知的行列式形式。利用已知的行列式公式，能大大的简便我们计算量，又能节约我们宝贵的时间。这对我求解行列式的值也有指导的作用。我们已知的公式大致有这么一些：
(1)三角形公式
==
这个公式是计算行列式值的基本公式之一，是必须掌握的。这个公式的
例子与化三角相同，不必再举例再说明。
(2)范德蒙公式

某些行列式可以归结为范德蒙行列式来计算，但是通常要一定的技巧。下面有几个相关的例子。
例1：计算n+1阶行列式=（）
解：（间接地变换成范德蒙行列式计算）
把的第i行提取因式（）得
=
==
例2：计算n阶行列式=
解：本题虽然第一行元素为1，但是后行与前行比不相同。若从第i（i=2,3,…,n）行中提取公因子后，第一列全为1，是范德蒙行列式的形式，即
==
(3)爪型行列式公式
爪型行列式也是计算行列式值的一个非常重要而且常用的公式，它的最主要的特是在行列式中，除了第一行，第一列，主对角线上的元素不等于0外，其它元素都等于0。
设

其中结果是将第2列乘以统统加到第一列，化成三角形行列式得出的。
例1：计算n阶行列式=
解 加边得=
从第二行起，每行都减去第一行
=
再由爪型行列式公式得到
=
例2：计算n阶行列式=
解：加边得=
从第二行起，第i行都减去第一行倍得
=
再由爪型行列式公式得到=
(4)ab行列式公式
尽管这个公式不是非常的常用，但是在计算一些当ab取具体的值时候，还是计算起来非常方便的。

证明： 在2.3 例题1。

例1：计算n阶行列式A=
在上面公式中令a=0,b=1得。A= =
6 数学归纳法
利用数学归纳法进行行列式计算的最普遍的方法，也是最重要的手段，主要利用不完全归纳法寻找行列式的猜想值，再进行证明。但是这种方法对学者的猜想能力有很高的要求。
例1：计算n阶行列式=
解：很容易可计算出

因此猜测
证明：当n=1时，显然成立了。
设时，猜测也成立，则当n=k时

当n=k时，猜测也成立。
例2：计算n阶范德蒙行列式=
[分析] 运用归纳法，为了使得降阶后的行列式仍能具有原来的形式，不能用第一的若干倍加到其它各行的办法，而应该通过把第一列变出一排零来降阶。

解：==
==
于是我们猜测=
运用第二归纳法，设=
=
把行列式的第行的倍加到第n行，第行的倍加到第，等等直到把第一行的倍加到第2行，得到
=
=
=
=
例3：计算n行列式
=
解：由于因而猜想

现在用第二归纳法来证明。归纳假设结论对小于都成立，再证n时，对按最后一列展开得

7递推法
如果行列式在形式上很有规律，通过利用n级行列式的性质，给定的行列式变换成用同样的形式的级（或更低级）表示出来的行列式，就可以得到递推关系。然后这种行列式就可以根据递推关系求出。
若n阶行列式满足如下的关系式:

则作特征方程式
（1） 若，则方程有两个不等的根，则其中A,B为待定系数，可令n=1,n=2得出。
（2） 若，则方程有两个不等的根，则
其中A,B为待定系数，可令n=1,n=2求出
例1：计算n阶行列式=

解: 按第一行展开得
所以 =…=

例2：计算n阶行列式
解: 按第一行展开得
即
作特征方程 ，解得 那么

当 n=1时，,
当 n=2时，,
解得
因此
例3：计算n阶行列式
解: (1) 当 时， 。
（2）当 时，按第一列展开得
，
即
作特征方程
解得 。
（i）当 时，则

当 时，
当 时，
解得
所以
（ii）当 且时，则
，
当 时，
当 时， ，
解得

8 拆项法
利用行列式的性质，将所给行列式拆成两个行列式之和，再利用递推，化三角形等方法计算出行列式的值。一般有如下情形可采用拆行（列）法：
（1）行列式中有某行（列）是两项之和，可直接利用性质拆项；
（2）行列式中有某行（列）只有个别元素是两项之和，或者某行（列）不是两项之和的形式，这是可以作恒等变形，使得某行（列）全部为两项之和的形式。
对于一个n阶行列式来说，如果其每行（列）均为两项之和的形式，则原行列式可以拆成个n阶行列式之和，所以用此法计算行列式一般繁琐，要看情况选择。
例1：计算n阶行列式

解：
按第一列拆项得

即
将y与z 互换，行列式的值不变。同理有

由于，由两式消去得

例2：计算n阶行列式
解：先加边得

再拆项得

=
=
=
=
9 利用多项式的性质
一个n次多项式至多有n个根。如果两两不等的数是多项式的根，那么 是的因式，即。利用这个性质有时可以确定出行列式的因子形式，然后利用待定系数法确定系数；这方法称为因子法。
例 1 计算n阶范德蒙行列式=
解 把看作的多项式，它的次数小于或等于；如果中有两个彼此相等。则由行列式的性质得到，设两两不等，由行列式性质。所以其中是待定系数，它也是的的系数。把行列式按最后一列展开，就知道的系数就是的位置的代数余子式，即阶范德蒙行列式。

因此。对用同样的方法，递推即可得

10 利用矩阵分块理论
利用矩阵分块的方法求行列式的值是行列式求值的常用方法，利用矩阵分块理论也能解决很多行列式的计算问题。
1 乘法公式的应用
定理 1 矩阵 ，则
例1：计算n阶行列式
事实上有
因为 从而
例2：计算n阶行列式
我们知道
因此等号的左端可以表示为

2 定理2
A，B都是n阶方阵，则有

证明：
例1：计算2n阶行列式
令
则

3 定理3
设例是n阶行列式，其中分别是
阶矩阵，则
（1） 若可逆，则
（2） 若可逆，则
证明：（1）
同理，（2）也可以同样证明。
例1：计算n+1阶行列式，其中
解：令，，则
可逆，且，所以

例2：计算n+1阶行列式

且所以

11 小结
n阶行列式计算的方法多种多样，每种方法都有各自的特点，每种方法都只适合一些特定的行列式计算。处理特殊类型的行列式应用着各种不同的计算方法，这些方法可以简化行列式的计算。有些行列式需要利用多种方法来计算，每个人可以根据自己的实际情况选择自己比较合适的解法。当然我们在计算行列式时候，不应只当满足其中一中算法，而应该多了解一些其它的算法。这样我们对问题才有更深刻的理解，碰到了不熟的行列式也能从中找到解决问题的方法。

参考文献：
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[10]Gelfand I M ,Kapranow M M and Celvinskij AV .Disciminaants ,redultants, and multidimensional determinants[M].Mathematics:Theory ＆Application ,Birkhaunser Verlag ,19994.
致谢
这篇论文能够顺利地完成，我要感谢李红海老师对我悉心、不知疲倦的教导,我衷心地祝愿老师及家人身体健康，工作顺利！

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