物理奥赛--2隔离法.doc

高中奥林匹克物理竞赛解题方法

二、隔离法

方法简介
隔离法就是从整个系统中将某一部分物体隔离出来，然后单独分析被隔离部分的受力情况和运动情况，从而把复杂的问题转化为简单的一个个小问题求解。隔离法在求解物理问题时，是一种非常重要的方法，学好隔离法，对分析物理现象、物理规律大有益处。

例1：两个质量相同的物体1和2紧靠在一起放在光滑水平
桌面上，如图2—1所示，如果它们分别受到水平推
力F1和F2作用，且F1>F2， 则物体1施于物体2的
作用力的大小为 （ ）
A．F1 B．F2 C．1/2（F1+F2） D．1/2（F1－F2）
解析：要求物体1和2之间的作用力，必须把其中一个隔离出来分析。
先以整体为研究对象，根据牛顿第二定律：F1－F2=2ma ①
再以物体2为研究对象，有N－F2=ma ②
解①、②两式可得所以应选C

例2：如图2—2在光滑的水平桌面上放一物体A，A上再放一物体B，
A、B间有摩擦。施加一水平力F于B，使它相对于桌面向右运
运，这时物体A相对于桌面 （ ）
A．向左动 B．向右动
C．不动 D．运动，但运动方向不能判断
解析：A的运动有两种可能，可根据隔离法分析
设AB一起运动，则
AB之间的最大静摩擦力
以A为研究对象：若一起向右运动.

若则A向右运动，但比B要慢，所以应选B
例3：如图2—3所示，已知物块A、B的质量分别为m1、m2，A、B间的摩擦因数为μ1，A与地面之间的摩擦因数为μ2，在水平力F的推动下，要使A、B一起运动而B不至下滑，力F至少为多大？
解析： B受到A向前的压力N，要想B

不下滑，需满足的临界条件是：μ1N=m2g.
设B不下滑时，A、B的加速度为a，以B为研究对象，用隔离法分析，B受到重力，A对B的摩擦力、A对B向前的压力N，如图2—3甲所示，要想B不下滑，需满足：μ1N≥m2g,即：μ1m2a≥m2g,所以加速度至少为a=g/μ1
再用整体法研究A、B，根据牛顿第二定律，有：F—μ2（m1+m2）g=(m1+m2)g=(m1+m2)a,所以推力至少为.

例4：如图2—4所示，用轻质细绳连接的A和B两个物体，沿着倾角为α的斜面匀速下滑，问A与B之间的细绳上有弹力吗？
解析：弹力产生在直接接触并发生了形变的物体之间，现在细绳有无形变无法确定.所以从产生原因上分析弹力是否存在就不行了，应结合物体的运动情况来分析.

隔离A和B，受力分析如图2—4甲所示，设弹力T存在，将各力正交分解，由于两物体匀速下滑，处于平衡状态，所以有：
……①
……②
设两物体与斜面间动摩擦因数分别为、，则
……③
……④
由以上①②③④可解得：
若T=0，应有：
由此可见，当时，绳子上的弹力T为零.
若，绳子上一定有弹力吗？
我们知道绳子只能产生拉力.

当弹力存在时，应有：T>0即
所以只有当时绳子上才有弹力

例5 如图2—5所示，物体系由A、B、C三个物体构成，质量分别为mA、mB、mC.用一水平力F作用在小车C上，小车C在F的作用下运动时能使物体A和B相对于小车C处于静止状态.求连接A和B的不可伸长的线的张力T和力F的大小.（一切摩擦和绳、滑轮的质量都不计）
解析 在水平力F作用下，若A和B能相对于C静止，则它们对地必有相同的水平加速度.而A在绳的张力作用下只能产生水平向右的加速度，这就决定了F只能水平向右，可用整体法来求，而求张力必须用隔离法.
取物体系为研究对象，以地为参考系，受重力（mA+mB+mC）g，推力F和地面的弹力N，如图2—5甲所示，设对地的加速度为a，则有：
…………①
隔离B，以地为参考系，受重力mBg、张力T、C对B的弹力NB，应满足：
…………②
隔离A，以地为参考系，受重力mAg,绳的张力T，C的弹力NA，应满足；
NA=mAg…………③
T=mAa…………④
当绳和滑轮的质量以及摩擦都不计时，由②、④两式解出加速度

代入①式可得：

例6 如图2—6所示，一根轻质弹簧上端固定，下端挂一质量为m0的平盘，盘中有一物体质量为m，当盘静止时，弹簧的长度比其自然长度伸长了L，今向下拉盘，使弹簧再伸长△L后停止.然后松手放开，设弹簧总处在弹性限度以内，则刚松开手时盘对物体的支持力等于（ ）
A． B．
C． D．
解析 确定物体m的加速度可用整体法，确定盘对物体的支持力需用隔离法.选整体为研究对象，在没有向下拉盘时有
KL=（m+m0）g…………①
在向下拉伸△L又放手时有
K△L=（m+m0）a……②
再选m为研究对象 FN-mg=ma……③

解得：
应选A.此题也可用假设法、极限法求解.
例7 如图2—7所示，AO是质量为m的均匀细杆，可绕O轴在竖直平面内自动转动.细杆上的P点与放在水平桌面上的圆柱体接触，圆柱体靠在竖直的挡板上而保持平衡，已知杆的倾角为θ，AP长度是杆长的1/4，各处的摩擦都不计，则挡板对圆柱体的作用力等于 。
解析 求圆柱体对杆的支持力可用隔离法，用力矩平衡求解。求挡板对圆柱体的作用力可隔离圆柱体，用共点力的平衡来解.

以杆为研究对象，受力如图2—7甲所示，根据力矩平衡条件：
根据牛顿第三定律，杆对圆柱体的作用力与F大小相等，方向相反，再以圆柱体为研究对象，将力F正交分解，如图2—7—乙，在水平方向有

即挡板对圆柱体的作用力为.

例8 如图2—8所示，质量为m的小球被两个劲度系数皆为k的相同弹簧固定在一个质量为M的盒中，盒从h高处（自桌面量起）开始下落，在盒开始下落的瞬间，两弹簧未发生形变，小球相对盒静止，问下落的高度h为多少时，盒与桌面发生完全非弹性碰撞后还能再跳起来.
解析 盒下落过程可用整体法研究，下落后弹簧的形变情况应用隔离小球研究，盒起跳时可隔离盒研究。
在盒与桌面发生碰撞之前，小球仅受重力作用，着地时速度为：.
碰撞后盒静止，球先压缩下面的弹簧，同时拉上面的弹簧，当小球向下的速度减为零后，接着又向上运动，在弹簧原长位置上方x处，小球的速度又减为0，则在此过程中，对小球有：

把盒隔离出来，为使盒能跳起来，需满足：

例9 如图2—9所示，四个相等质量的质点由三根不可伸长的绳子依次连接，置于光滑水平面上，三根绳子形成半个正六边形保持静止。今有一冲量作用在质点A，并使这个质点速度变为u，方向沿绳向外，试求此瞬间质点D的速度.
解析 要想求此瞬间质点D的速度，由已知条件可知得用动量定理，由于A、B、C、D相关联，所以用隔离法，对B、C、D分别应用动量定理，即可求解.以B、C、D分别为研究对象，根据动量定理：
对B有：IA—IBcos60°=mBu…………①
IA cos60°—IB=mBu1…………②
对C有：IB—ID cos60°=mCu1……③
IBcos60°—ID=mcu2…………④
对D有：ID=mDu2……⑤
由①~⑤式解得D的速度

例10 有一个两端开口、粗细均匀的U形玻璃细管，放置在竖直平面内，处在压强为p0的大气中，两个竖直支管的高度均为h，水平管的长度为2h，玻璃细管的半径为r,r<开口的）为轴做匀速转动时，转数n应为多大才能使水平管内水银柱的长度稳定为（5/3）h（U形管做以上运动时，均不考虑管内水银液面的倾斜）
解析 如图2—10—甲所示，U形管右加速运动时，管内水银柱也要以同样加速度运动，所以A管内气体体积减小、压强增大，B管内气体体积增大、压强减小，水平管中液体在水平方向受力不平衡即产生加速度.若U形管以A管为轴匀速转动时，水平部分的液体也要受到水平方向的压力差而产生向心加速度.
1．当U形管以加速度a向右运动时，对水平管中水银柱有F1—F2=ma

即……①
……②
……③ 2—10—乙
将②、③式代入①式可得
2．如图2—10—乙，若U形管以A管为轴匀速转动时，对水平管中水银柱有F2—F1=ma.若转轴为n，则有：
……①
对B中气体有解得：……②
将②式代入①式可解得转速

例11 如图2—11所示，一个上下都与大气相通的竖直圆筒，内部横截面的面积S=0.01m2，中间用两个活塞A与B封住一定质量的理想气体，A、B都可沿圆筒无摩擦地上、下滑动，但不漏气，A的质量可不计，B的质量为M，并与一倔强系数k=5×103N/m的较长的弹簧相连.已知大气压强p0=1×105Pa，平衡时，两活塞间的距离l0=0.6m.现用力压A使之缓慢向下移动一定距离后，保持平衡，此时，用于压A的力F=5×102N.求活塞A向下移动的距离.（假定气体温度保持不变.）
解析 活塞A下移的距离应为B下降的距离与气体长度的减小量之和，B下降的距离可用整体法求解.气体长度的变化可隔离气体来求解.
选A、B活塞及气体为研究对象，设用力F向下压A时，活塞B下降的距离为x，
则有：F=kx…………①
选气体为研究对象，据玻意耳定律有…………②
解①②两式可得x=0.1m l=0.4m则活塞A下移的距离为：左=0.1+0.6—0.4=0.3m

例12 一个密闭的气缸，被活塞分成体积相等的左右两室，气缸壁与活塞是不导热的，它们之间没有摩擦，两室中气体的温度相等，如图2—12所示，现利用右室中的电热丝对右室中的气体加热一段时间，达到平衡后，左室的体积变为原来体积的3/4，气体的温度T1=300K.求右室中气体的温度.
解析 可隔离出A、B两部分气体，用理想气体状态方程求解.
设原来两室中气体的压强都为p，温度都为T，体积都为V，
对左边气体有……①对右边气体有②
①、②两式相比，可得右室中气体温度

例13 如图2—13所示，封闭气缸的活塞被很细的弹簧拉着，气缸内密封一定质量的气体，当温度为27℃时，弹簧的长度为30cm，此时缸内气体的压强为缸外大气压的1.2倍，当气温升到123℃时，弹簧的长度为36cm，求弹簧的原长.
解析 本题所研究的对象就是密封在气缸内的一定质量的气体，气体所处的初态为：
T1=300K、V1=SL1、（S为气缸横截面积，L1为弹簧长度）p1=p0+F1/S=1.2P0末态为T2=396K、V2=SL2 p2=p0+F2/S（p0为大气压强，F1、F2为弹簧的弹力）.气体从初态过渡到末态时质量恒定，所以可利用状态方程求解：
将上述各状态参量代入状态方程：
解得：由于弹力产生的压强等于气缸内外气体的压强差，
所以： ①
②
联立①、②式得：

解得弹簧的原长为L0=20cm
例14 一个由绝缘细细构成的钢性圆形轨道，其半径为R，此轨道水平放置，圆心在O点，一个金属小珠P穿在此轨道上，可沿轨道无摩擦地滑动，小珠P带电荷Q.已知在轨道平面内A点（OA=r所带电量
例15 如图2—15所示，两个电池组的电动势每节电池的内阻均为0.5Ω,R1=1Ω,R2=2Ω,R3=1.8Ω，求通过R1、R2、R3的电流及两个电池组的端电压各是多少？
解析 解此题时，可采用与力学隔离法相似
的解法，即采用电路隔离法.
气体从初态过渡到末态时质量恒定，所以可利用状态方程求解.
先将整个电路按虚线划分为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三个部分，则有：
UAB=ε1—I1（R1+2r）……①
UAB=ε2—I2（R2+2r）………………②
UAB=I3R3……………………③
I1+I2=I3………………④
联立①②③④四式解得：I1=0.6A,I2=0.4A,I3=1A,电池组ε的端电压U1=2.4V，电池组ε2的端电压U2=2.6V.
例16 如图2—16所示，两根相互平行的间距L=0.4m的金属导轨水平放在B=0.2T的匀强磁场中，磁场垂直于导轨平面，导轨上的滑杆ab、cd所受摩擦力均为0.2N，两杆电阻均为0.1Ω，导轨电阻不计.当ab受到恒力F作用时,ab以v1做匀速运动，cd以v2做匀速运动，求通过ab杆的电流强度的大小和方向.
解析 要求通过ab杆的电流强度，应通过ab杆受的安培力求解，这就需要隔离出ab杆进行受力分析.

以ab杆为研究对象，因右手定则确定电流的方向为b→a，受力如图2—6—甲所示.因为ab杆匀速运动处于平衡状态，故有
F=f+BIL.
再以滑杆ab、cd整体作为研究对象，受力如图2—16—乙所示，因为ab、cd均做匀速运动，受力平衡，故有

代入上式，解得通过ab杆的电流为

所以通过ab杆的电流的大小为2.5A，方向b→a.

针对训练
1．质量为8kg的木块m放在质量为16kg的木板M上，并通过滑轮用细绳连接，如图2—17所示，M与m间，M与水平地面间的动摩擦因数μ均为0.25，滑轮摩擦不计.欲使M向匀速运动，水平拉力应为多大？（g取10m/s2）

2．在水平面上有两个物体A和B，它们之间用不可伸缩的质量不计的细绳连接起来，其中mA=3kg,mB=2kg，它们与地面间的动摩擦因数μ=0.1.如图2—18所示，今用一与水平方向成37°角、大小为10N的恒力拉B，使AB一起向右做匀加速直线运动，试求A对B的拉力.（g取10m/s2）

3．如图2—19所示，小物体m放在大物体M上，M系在固定于墙上的水平弹簧的另一端，并置于光滑水平面上，若弹簧的劲度系数为k，将M向右拉离平衡位置x后无初速度释放，在以后的运动中M与m保持相对静止，那么m在运动中受到的最大和最小摩擦力分别为多大？

4．电梯内有一个物体，质量为m，用细线挂在电梯的天花板上，当电梯以g/3的加速度竖直加速度竖直加速下降时（g为重力加速度），细线对物体的拉力为（ ）
A．2/3mg B．1/3mg C．4/3mg D．mg

5．两物体A和B，质量分别为m1和m2，互相接触放在光滑水平面上，如图2—20所示，对物体A施以水平的推力F，则物体A对物体B的作用力等于（ ）
A．m1F/(m1+m2) B．m2F/(m1+m2)
C．F D．m2/m1F

6．在光滑水平面上有一木板，一木棒A、B可沿水平轴O转动，其下端B搁在木板下，而整个系统处于静止状态（如图2—21所示）.现在用水平力F向左推木板，但木板仍未动.由此可以得出结论：施力F后，木板和木棒之间的正压力（ ）
A．变大 B．不变
C．变小 D．条件不足，不能判断如何改变

7．如图2—22所示，两木块的质量分别为m1和m2，两轻质弹簧的劲度系数分别为k1和k2，上面木块压在上面的弹簧上（但不拴接），整个系统处于平衡状态.现缓慢向上提上面的木块，直到它刚离开上面弹簧，在这过程中下面木块移动的距离为（ ）
A．m1g/k1 B．m2g/k1
C．m1g/k2 D．m2g/k2

8．如图2—23，质量为2m的物块A与水平地面的摩擦可忽略不计，质量为m的物块B与地面的摩擦系数为μ.在已知水平推力F的作用下，AB做加速运动，A对B的作用力为 .

9．如图2—24所示，两块木块A和B，质量分别为mA和mB，紧挨着并排在水平桌面上，AB间的接触面垂直于图中纸面且与水平面成θ角。A、B间的接触面是光滑的，但它们与水平桌面间有摩擦，静摩擦系数和滑动摩擦系数均为μ.开始时A、B都静止，现施一水平推力F于A.要使A、B向右加速运动且A、B之间不发生相对滑动，则
（1）μ的数值应满足什么条件？
（2）推力F的最大值不能超过多少？
（只考虑平动，不考虑转动问题）

10．系统如图2—25所示，滑轮与绳的质量忽略，绳不可伸长。设系统所有部位都没有摩擦，物体B借助导轨（图中未画出来）被限定沿物体C的右侧面运动，试求物体C的运动加速度。

11．质量分别为m1、m2和m3的三个质点A、B、C位于光滑的水平桌面上，用已拉直的不可伸长的柔软的轻绳AB和BC连接，角ABC为为一锐角，如图2—26所示，今有一冲量为I的冲击力沿BC方向作用于质点C，求质点A开始运动时的速度.
12．如图2—27所示，四个质量均为m的质点，用同样长度且不可伸长的轻绳连结成菱形ABCD，静止放在水平光滑的桌面上.若突然给质点A一个力时极短沿CA方向的冲击，当冲击结束的时刻，质点A的速度为V，其他质点也获得一定的速度，.求此质点系统受到冲击后所具有的总动量和总能量.

13．如图2—28所示，一三角木块ABC置于光滑水平面上两斜边与平面夹角分别为30°、60°.在斜边上有两个物体m1、m2，用不可伸长的细绳连接并跨在顶点A的定滑轮上，m1、m2可在斜面上无摩擦地滑动.已知木块的质量为M，三物体的质量比为m1:m2:M=4:1:16，滑轮光滑且质量可忽略.
（1）求M的加速度a及m1相对于M的加速度a′
（2）若m1从静止开始沿斜面移动20cm，求M沿水平面移动的距离.

14．如图2—29所示，可沿气缸壁自由活动的活塞将密封的圆筒形气缸分隔成A、B两部分.活塞与气缸顶部有一弹簧相连.当活塞位于气缸底部时弹簧恰好无形变，开始时B内充有一定量的气体，A内是真空，B部分高度为l1=0.10米，此时活塞受到的弹簧作用力与重力的大小相等.现将整个装置倒置.达到新的平衡后B部分的高度L2于多少？设温度不变.

15．图2—30中竖直圆筒是固定不动的，粗筒横截面积是细筒的4倍，细筒足够长.粗筒中A、B两轻质活塞间封有空气，气柱长l=20厘米.活塞A上方的水银深H=10厘米，两活塞与筒壁间的摩擦不计.用外力向上托住活塞B，使之处于平衡状态，水银面与粗筒上端相平.现使活塞B缓慢上移，直至水银的一半被推入细筒中，求活塞B上移的距离（设在整个过程中气柱的温度不变，大气压强p0相当于75厘米高的水银柱产生的压强）.
16．如图2—31是容器的截面图，它是由A、B两部分构成，两部分都是圆筒形，高度都是h，底面积SB=S，SA=2S，容器下端有一小孔a与大气相通，上端开口，B中有一质量为m厚度不计的活塞，它与B的器壁有摩擦，最大摩擦力为f(f)mg，开始时活塞N位于B的最下端，已知大气压强为p0，当时温度为T0，现把a孔封闭，为保证封闭气体不与外界相通，筒中气体温度允许在多大范围内变化？

17．如图2—32所示，长为2l的圆形筒形气缸可沿摩擦因数为μ的水平面滑动，在气缸中央有一个截面积为S的活塞，气缸内气体的温度为T0，压强为p0（大气压强也为p0）.在墙壁与活塞之间装有劲度系数为k的弹簧，当活塞处于如图位置时，弹簧恰好在原长位置.今使气缸内气体体积增加一倍，问气体的温度应达到多少？（气缸内壁光滑，活塞和气缸总质量为m）.
18．A、B两带电小球，A固定不动，B的质量为m.在库仑作用下，B由静止开始运动.已知初始时A、B间的距离为d，B的加速度为a。经过一段时间后，B的加速度变为a/4，此时A、B间的距离应为 .已知此时B的速度为v，则在此过程中电势能的减少量为 .

19．如图2—33所示，是电磁流量计的示意图，在非磁性材料做成的圆管道外加一匀强磁场区域，当管中的导电液体流过磁场区域时，测出管壁上、下表面两点a、b间的电动势为ε，从而可求出管中液体在单位时间内的流量Q.已知圆管的内径为D，磁感应强度为B，试推导出Q与ε的关系表达式.
20．如图2—34所示，一矩形管中（管长为l，两侧面为导电面，并有导线在外面与之相连，上下面则为绝缘面）有电阻率为ρ的水银流动，当其一端加上压强p时，水银的流速为v0.现在竖直方向加上磁感应强度为B的匀强磁场.试证明：此时水银的流速为
.（设水银的速度与压强成正比）

答案：
1．F=100N 2．T=5.16N 3． 4．A 5．B 6．C 7．C
8． 9．（1） （2）F
10．
11．方向沿AB方向
12．P= E=
13．（1） （2） 3.78cm
14．0.2m 15．8cm 16．
17．摩擦力足够大时 摩擦力不是足够大时
18． 19． 20．证明略
15