第02章 平面机构的运动分析.doc

第二章 平面机构的运动分析
§2-1 研究机构运动分析的目的和方法
本章研究在已知原动件运动规律时，如何确定机构其余构件上各点的轨迹、位移、速度和加速度，构件的位置、角位移、角速度和角加速度等运动参数。
本章重点：速度瞬心的概念、三心定理的应用，用速度瞬心法作机构的速度分析，用矢量方程图解法作机构的速度及加速度分析, 用解析法作机构运动分析的重点是通过机构位置矢量多边形建立机构的位置矢量方程。
§2-2 速度瞬心法及其在机构速度分析上的应用
适用：构件数目较少的机构的速度分析、求解。
一、速度瞬心法
速度瞬心：相对平面运动的两构件上瞬时相对速度为零（即绝对速度相等）的重合点，即同速点。在机构中，如果两个构件都是运动的，即其同速点处的绝对速度不等于零，则其瞬心称为相对瞬心。如果这两个构件之一是静止的，即其同速点处的绝对速度为零，则其瞬心称为绝对瞬心。
每两个构件有一个瞬心，因此由 n个构件（含机架）组成的机构，其瞬心数目按组合关系可得k=n(n-1)/2.
机构中直接以运动副连接的两构件，其瞬心位置的确定方法为：
（1） 若两构件组成转动副，则转动副中心即是他们的瞬心。
（2） 若两构件组成移动副，则其瞬心位于移动方向的垂直无穷远处。
（3） 若两构件形成纯滚动的高副时，则其高副接触点就是它们的瞬心。
（4） 若两构件组成滚动兼滑动的高副时，其瞬心应位于过接触点的公法线上。
以上前三种直接形成低副或纯滚动高副的两构件瞬心，其位置可以直接观察出来，至于滚动兼滑动的高副和那些不直接形成运动副的两构件瞬心，则要利用三心定理来确定其具体位置。
三心定理：作平面运动的三个构件之间共有三个瞬心，他们位于同一直线上。
应用速度瞬心法对机构速度进行分析的任务时确定其中某两个构件的角速比（或速比），或者已知一构件的角速度（或速度），求另一构件的角速度（或速度）及其上点的速度。应用速度瞬心法解决上述问题的关键在于确定这两个构件与机架之间的三个速度瞬心。
在用速度瞬心法作机构的速度分析时，应掌握构件扩大的概念，能够设想把以线条表示的两构件，向他们的同速点扩大实现重合之后来求解。
速度瞬心法可以跳跃式地由主动件立即求出从动件上任何点的线速度和角速度，且不受机构级别的限制，但瞬心法只能用来求速度而不能用来求加速度，且当机构复杂时，某些必要的瞬心位置可能超出图纸之外。
二、矢量方程图解法（又称相对运动图解法）
该方法是以理论力学中的刚体平面运动和点的符合运动为理论基础，按照相对运动的矢量方程式用一定的比例尺画出响应的矢量多边形，由此确定机构上各点的速度和加速度以及构件的角速度和角加速度。
用矢量方程图解法求机构的速度和加速度的基本原理可综述如下：
1．同一构件上两点间速度和加速度的关系

如图2.1（a）所示，同一构件上A, B 两点间的运动关系为
υB=υA +υBA
αB=αA +αBA n+αBAt
式中υA，αA—基于A的绝对速度和绝对加速度，亦即B点的牵连速度和牵连加速度；
υBA—B点对于A点的相对速度，其大小为υBA=ωlAB，方向垂直于AB;
αBA n,αBAt—B点对于A点的相对法向加速度和相对切向加速度，其大小为
αBA n =ω2 lAB=υBA2/lAB, 方向由B指向A；而αBAt =α lAB,方向垂直于AB.
2． 组成移动副的两构件上重合点间的速度和加速度的关系

用移动副连接的两构件如图2.1（a）、（c）所示运动时，ω1=ω2，α1=α2，即这是具有共同转动且有相对移动的两构件。构件1与构件2上重合点B(B1,B2) 间的运动关系为
υB2=υB1 +υB2 B1
式中υB1—B1点的绝对速度，即B2点的牵连速度；
υB2 B1—B2点对于B1点的相对移动速度，方向平行于相对移动的方向。
αB2=αB1 +αB2 B1k +αB2 B1r
式中αB1—B1点的绝对加速度；
αB2 B1k—哥氏加速度，其大小为αB2 B1k=2ω1υB2 B1, 方向是将相对速度υB2 B1沿牵连构件角速度ω1的转向转过90º所得。
αB2 B1r—B2点对于B1点的相对加速度，其方向平行于相对移动的方向。
如果两构件只有相对移动，而无共同转动时，其重合点间的速度关系不变，而加速度关系中无哥氏加速度。
3． 速度多边形和加速度多边形以及速度影像和加速度影像原理
根据机构速度矢量方程按一定比例尺作出的由各速度矢量构成的图形（如图2.1（b） 和图2.2（b）所示）称为速度多边形（或速度图），其作图起点p称为速度多边形的极点。
速度多边形具有以下特点：
① 在速度多边形中，连接p点和任一点的矢量代表该点在机构图中同名点的绝对速度，其指向是从p点指向该点。例如在图2.1(b)中代表υA的是pa(→)。
② 在速度多边形中，连接其他任意两点的矢量代表该两点在机构图中同名点间的相对速度，其指向与速度的下角标相反，例如在图2.1(b)中矢量ab(→)代表υBA。
③ 极点p代表机构中速度为零的点。
④ 在图2.1(b)所示的速度多边形中，⊿abc 与构件⊿ABC相似，且字母顺序一致，故称⊿abc为构件⊿ABC的速度影像。当已知同一构件上两点（如A,B）的速度时，利用速度影像原理可求得此构件上其余各点（如C点）的速度，即通过作⊿abc∽⊿ABC且字母顺序一致，即可得出C点的速度。
注意：速度影像原理只能用于同一构件上。
同理，根据机构加速度矢量方程按一定比例尺作出的由各加速度矢量构成的图形（如图2.1(c) 和 图2.1(d)）成为加速度多边形（或加速度图），其作图起点p′称为加速度多边形的极点。
加速度多边形也具有以下特性：
① 在加速度多边形中，连接p′和任一点的矢量代表该点在机构图中同名点的绝对加速度，其指向是从p′点指向该点。例如在图2.1(c)中代表αA的是p′a′(→)。
② 在加速度多边形中，连接其他任意两点的矢量代表该两点在机构图中同名点间的相对加速度，其指向与加速度与加速度的下角标相反。 例如在图2.1(c)中矢量a′b′(→)代表αBA, 而不是αAB。两点间的相对加速度由可用其法向加速度和切向加速度的矢量和来表示。
③ 极点p′代表机构中加速度为零的点。
④ 在图2.1(c)所示的加速度多边形中，⊿a′b′c′与构件⊿ABC相似，且字母顺序一致，故称⊿a′b′c′为构件⊿ABC的加速度影像。当已知同一构件上两点的绝对加速度时，利用加速度影像原理可求得此构件上其余各点的加速度。
注意：加速度影像原理也只能用于同一构件上。
4．求机构中构件的角速度ω和角加速度α
如图2.1(a)所示构件的角速度ω和角加速度α的大小为：
ω=υBA /lAB
α=αBAt/lAB
ω的方向为：将代表υBA的矢量 ab(→)平移到机构图上的B点，此时B点相对于A点的转动方向为ω的方向；而α的方向为：将代表αBAt的矢量平移到机构图上的B点，此时B点相对与A点的切线加速度方向即为α的方向。
三、平面机构运动分析的图解法：
（1）用矢量方程图解法作机构的运动分析
用矢量方程图解法即可求机构的速度，也可求加速度。在用矢量方程图解法作机构的运动分析时，必须由已知运动的主动件开始，按机构组成时的杆组添加顺序进行。而且在机构运动分析过程中，要分清两种类型的问题：一类是同一构件上的不同点间的速度和加速度的求法；另一类是组成移动副的两构件重合点间的速度和加速度的求法。每一类问题均分别有一个速度矢量方程式和加速度矢量方程式，并且一个矢量方程式中只有两个未知数时才可能用图解法求解。对不同构件上的点，如两构件不组成运动副时，不宜写出矢量方程式，因为已知条件不够，方程式不能求解。
用矢量方程图解法作平面连杆机构的运动分析时，机构中作平面一般运动的构件是关键性构件，利用这种构件来建立矢量关系式，然后作图求解。平面连杆机构中作平面一般运动的构件是指既含有转动成分，又含有移动成分的复杂运动构件。比如四铰链机构、曲柄滑块机构中的连杆即是这种构件，其特点是连接主动件和从动件的两个运动副都是转动副。又比如用以连接主动件和从动件的构件，它的两个运动副中有一个是移动副，这也是这种作平面一般运动的构件。
（2） 用速度瞬心法作机构的速度分析
利用速度瞬心法，可以求机构中两构件的角速度之比（速比）、构件的角速度（或速度）和构件上某点的速度。
求两构件的角速度之比，一般先分别求出两构件与机架的瞬心（绝对瞬心）和这两个构件的瞬心（相对瞬心），然后连接三点成一线，那么两构件的角速度之比等于其绝对速度瞬心连线被相对速度瞬心分得的两线段的反比。如果两构件的相对瞬心内分该连线，则两构件转向相反，反之则转向相同。
利用速度瞬心法对某些平面机构，特别是平面高副机构进行速度分析是比较简便的。但是，如果是多杆机构，由于瞬心数目很多，因而将使速度分析问题复杂化。此时如何有次序地根据已知的瞬心找出所需的瞬心是个关键问题。为此，可利用所谓的瞬心多边形求解。

瞬心多边形的作法是画一圆，然后按机构构件数分割该圆，并在各分割点标上构件号，再将已知瞬心位置的两构件的分割点用实线相连，则此实线即代表已知的该两构件间的瞬心。如图2.3的上方是四杆机构的瞬心四边形，图中4条实线12，23，34和14即分别代表已知的瞬心P12，P23，P34和P14。在瞬心多边形中画完代表已知瞬心的实线后，观察在图中尚未连线的分割点，将能连成两个三角形的公共边的点用虚线连结，如图2.3所示的瞬心四边形中，将分割点1，3和2，4连成虚线后即可看到它们分别为两组三角形(⊿134和⊿132及⊿241和⊿243)的公共边。在瞬心多边形中，任何一个三角形所代表的三个瞬心必定共线，亦即符合三心定理。对于瞬心多边形中任何一条待求瞬心的虚线，如果以该虚线为公共边的两个三角形的5条线中，其余4条线都是实线，则该待求瞬心即可两次利用三心定理，两条连线的交点即为该瞬心。图2.3中即表明根据已知瞬心P14，P34和P12 ，P23，可求出P13；根据已知瞬心 P12, P14和P23，P34，可求出瞬心P24。求解中可以看到，每一对瞬心的角标中如有一个构件号相同，不同的两个构件号即构成第三个瞬心的角标，这完全符合三心定理。并每求出一个瞬心，应立即把瞬心多边形中相应的虚线改为实线，以便必要时进一步利用它来其余的待求瞬心。按上述方法继续求解，即可找出所需的瞬心或机构中的全部瞬心。
对于多构件机构，瞬心数目较多(如六构件机构共有15个瞬心)，此时瞬心多边形特别
有助于寻找各个待求瞬心的位置，可以避免盲目摸索。因此瞬心多边形是一个很有力的工具。
（3）平面机构运动分析的解析法
用解析法作平面机构运动分析的特点是：把机构中已知的运动参数与未知的运动参数之间的关系以构件的尺度参数用数学方程式表达出来，然后用现代计算技术求解。常用的解析法有矢量方程解析法、复数矢量法和矩阵法等。矢量法和复数矢量法都是先写出机构的位置矢量封闭方程式，再将它对时间求一次和二次导数即可得机构得速度和加速度矢量方程式，然后用矢量运算法则和复数运算法则求出所需的运动参数。

本章难点
本章的难点是对具有共同转动且有相对移动的两构件重合点间的运动参数的求解，关键是重合点的选取及含有哥氏加速度时机构的加速度图解分析。
对于具有共同转动且有相对移动的两构件，要利用理论力学中关于点的符合运动关系，选取形成移动副的、作平面一般运动的构件上的点作为两构件的重合点，用矢量方程图解法进行求解。求解时应特别注意相对速度、相对加速度以及法向加速度的指向，并正确地写出机构的运动关系式。
对于哥氏加速度应明确在何种情况下有哥氏加速度，其大小如何计算，方向如何确定。特别是方向，要能根据相对速度的角标和构件回转方向作出正确判断。显然如果机构中存在具有共同转动的两构件组成的移动副时，机构中便存在哥氏加速度；如果两构件只有相对移动而无共同转动时，其重合点间的速度关系不变，而加速度关系中无哥氏加速度。
本章考点
（1） 速度瞬心的概念和三心定理的正确运用。
（2） 用速度瞬心法作机构的速度分析。
（3） 用矢量方程图解法作机构的运动分析以及速度影像和加速度影像原理的应用。
（4） 用解析法作机构的运动分析，关键是建立机构位置矢量封闭方程式。
例题分析
例2 .1求图2.4所示机构的全部瞬心。

解：此四杆构件机构共有6各瞬心，其中可直接观察出来的有3个：P14 ,P24 ,P34. 作瞬心四边形，并用实线连接代表这3个瞬心的响相应边。
凸轮1和摆动从动件2形成高副，它们的瞬心p14应在接触点处的公法线nn上，又应在连线P14 ,P24上，从而在交点处求得P12. 。同理，构件2和3形成高副，它们的瞬心P23应在接触点的公法线n’n’上，又应在连线P24 P34上，故其交点即为P23。求得P12 和P23后，随即把瞬心多边形中得相应连线12和23改为实线。
最后一个瞬心P13的对应虚线边13，以它为公共边的两个三角形123和143中，其余4条边均为实线，因此连线P12 P23和P13 P13的交点即为P13 。