系统的稳定性分析.pptx

机械工程控制基础,#,华中科技大学 易朋兴,2020/3/7,第五章 系统稳定性分析,系统的稳定性与稳定条件,Routh,（劳斯）稳定判据,Nyquist,稳定判据,Bode,稳定判据,系统的相对稳定性,作业,5.3,5.5,5.9(1,、,3),5.10,5.11,系统不稳定现象,例：液压位置随动系统,原理：,外力阀芯初始位移,X,i,(0),阀口,2,、,4,打开,活塞右移,阀口关闭（回复平衡位置）,（惯性）活塞继续右移,阀口,1,、,3,开启,活塞左移,平衡位置,（惯性）活塞继续左移,阀口,2,、,4,开启,5.1,系统的稳定性与稳定条件,系统不稳定现象,例：液压位置随动系统,随动：活塞跟随阀芯运动,惯性：引起振荡,振荡结果：,减幅振荡,（收敛，稳定）,等幅振荡,（临界稳定）,增幅振荡,（发散，不稳定）,5.1,系统的稳定性与稳定条件,结论：,系统是否稳定，取决于系统本身（结构，参数），与输入无关,不稳定现象的存在是由于反馈作用,稳定性是指自由响应的收敛性,定义：,系统在初始状态作用下,无输入时的初态,输入引起的初态,输出,（响应）,收敛（回复平衡位置）,系统稳定,发散（偏离越来越大）,系统不稳定,5.1,系统的稳定性与稳定条件,系统不稳定现象,线性定常系统：,强迫响应,输入引起的自由响应,系统的初态引起的自由响应,自由响应,s,i,:,系统的特征根,5.1,系统的稳定性与稳定条件,系统的稳定性条件：系统是否稳定完全取决于系统的特征根,当系统所有的特征根,s,i,（,i=1,，,2,，,，,n),均具有负实部（位于,s,平面的左半平面）,自由响应收敛，,系统稳定,若有任一,s,k,具有正实部（位于,s,平面的右半平面）,自由响应发散，,系统不稳定,5.1,系统的稳定性与稳定条件,系统的稳定性条件：系统是否稳定完全取决于系统的特征根,若有特征根,s,k,=j,（位于,s,平面的虚轴上），其余极点位于,s,平面的左半平面,自由响应等幅振动，,系统临界稳定,若有特征根,s,k,=0,（位于,s,平面的原点），其余极点位于,s,平面的左半平面,自由响应收敛于常值，,系统稳定,简谐运动,5.1,系统的稳定性与稳定条件,系统的稳定性条件：系统是否稳定完全取决于系统的特征根,结论：,线性定常系统是否稳定，完全取决于系统的特征根。,线性定常系统稳定的充要条件,：,若系统的全部特征根（传递函数的全部极点）均具有负实部（位于,s,平面的左半平面），则系统稳定。,5.1,系统的稳定性与稳定条件,系统的稳定性条件：系统是否稳定完全取决于系统的特征根,如何判别？,求出闭环极点？,实验？,高阶难求,不必要,如果不稳定，可能导致严重后果,思路：,特征方程根的分布（避免求解）,开环传递函数闭环系统的稳定性,（开环极点易知，闭环极点难求）,稳定判据,5.1,系统的稳定性与稳定条件,系统的稳定性条件：系统是否稳定完全取决于系统的特征根,5.2 Routh,（劳斯）稳定判据,代数判据（依据根与系数的关系判断根的分布）,系统稳定的必要条件,设系统特征方程为：,s,1,s,2,s,n,：特征根,因为,比较系数：,系统稳定的必要条件：,各系数同号且不为零,或：,a,n,0,a,n-1,0,a,1,0,a,0,0,系统稳定的充要条件,特征方程：,Routh,表,：,其中：,Routh,判据,：,Routh,表中第一列各元素符号改变的次数等于系统特征方程具有正实部特征根的个数。因此，系统稳定的充要条件是,Routh,表中第一列各元的符号均为正，且值不为零,。,5.2 Routh,（劳斯稳定判据,例,1,系统的特征方程,D(s)=s,4,s,3,19s,2,11s,30,0,Routh,表,：,第一列各元符号改变次数为,2,，因此,系统不稳定,系统有两个具有正实部的特征根,系统稳定的充要条件,5.2 Routh,（劳斯）稳定判据,例,2,已知,=0.2,及,n,=86.6,，试确定,K,取何值时，系统方能稳定。,D(s)=s,3,+34.6s,2,+7500s+7500K=0,由系统稳定的充要条件，有,(1)7500K0,，亦即,K0,。显然，这就是由必要条件所得的结果。,(2),，亦即,K34.6,。,故能使系统稳定的参数,K,的取值范围为,0K0,a,1,0,a,0,0三阶系统,(n=3),稳定的充要条件为,：,a,3,0,a,2,0,a,0,0,a,1,a,2,a,0,a,3,0,特别,：,系统稳定的充要条件,5.2 Routh,（劳斯）稳定判据,如果在,Routh,表中任意一行的第一个元素为,0,，而其后各元不全为,0,，则在计算下一行的第一个元时，该元将趋于无穷大。于是,Routh,表的计算无法继续。,为了克服这一困难，可以用一个很小的正数 代替第一列等于,0,的元素，然后计算 表的其余各元。若 上下各元符号不变，切第一列元素符号均为正，则系统特征根中存在共轭的虚根。此时，系统为临界稳定系统。,P164,例,4,特例,1,：某行第一列元素为,0,5.2 Routh,（劳斯）稳定判据,如果在,Routh,表中任意一行的所有元素均为0，,Routh,表的计算无法继续。,出现上述情况，一般是由于系统的特征根中,存在两个符号相反的实根（系统自由响应发散，系统不稳定,),存在一对共轭复根（系统自由响应发散，系统不稳定）,存在一对共轭的纯虚根（即系统自由响应会维持某一频率的等幅振荡，此时，系统临界稳定）,以上几种根的组合等,利用该行的上一行的元构成一个辅助多项式,用多项式方程的导数的系数组成 表的下一行,这些特殊的特征根可以通过求解辅助多项式方程得到,P164,例,5,特例,2,：某行元素全为,0,5.2 Routh,（劳斯）稳定判据,5.3 Nyquist,稳定判据,几何判据（利用开环频率特性判断闭环系统的稳定性）,幅角原理,L,s,：,s,平面上一封闭曲线,（不经过,F(s),的奇点）,设有复变函数,：,幅角原理,：,按顺时针方向沿,L,s,变化一周时，,F(s),将绕原点顺时针旋转,N,周，即包围原点,N,次。,N=Z-P,Z,：,Ls,内的,F(s),的零点数,P,：,Ls,内的,F(s),的极点数,开、闭环零极点与,F(s),取,F(s)=1,G(s)H(s)=1+G,k,(s),5.3 Nyquist,稳定判据,s,平面上的,Nyquist,轨迹的选取,F(s),与,GH,平面上的,Nyquist,轨迹,F(s)=1+G,k,s),s,沿虚轴,L,1,：,s=j,，（,从到,+,）；,L,GH,：,G(j)H(j),s,沿,L,2,：,s0,；,L,GH,：,L,F,包围原点的圈数,=L,GH,包围（,1,，,j0,）点的圈数,N=Z-P,5.3 Nyquist,稳定判据,当,由,到,+,时，若,GH,平面上的开环频率特性,G(j,)H(j,),逆时针方向包围（,1,，,j0,）点,P,圈，则闭环系统稳定。（,P,为,G(s)H(s),在,s,平面的右半平面的极点数）,对于开环稳定的系统，有,P=0,，此时闭环系统稳定的充要条件是，系统的开环频率特性,G(j,)H(j,),不包围（,-1,，,j0,）点,步骤：,确定,P,作,G(j,)H(j,),的,Nyquist,图,运用判据,判据,5.3 Nyquist,稳定判据,例,1,5.3 Nyquist,稳定判据,例,2,开环不稳定，,闭环稳定,P=1,5.3 Nyquist,稳定判据,开环含有积分环节的,Nyquist,轨迹,当,s,沿无穷小半圆逆时针方向移动时，有,映射到,GH,平面上的,Nyquist,轨迹为：,当,s,沿小半圆从,=0,变化到,=0,时,角从,/2,经,0,变化到,/2,GH,平面上的,Nyquist,轨迹将沿无穷大半径按顺时针方向从,经,0,转到,5.3 Nyquist,稳定判据,P=0,开环含有积分环节的,Nyquist,轨迹例,3,例,4,稳定,不稳定,P=1,5.3 Nyquist,稳定判据,应用举例,例,1,不论,K,取任何正值，系统总是稳定的,开环为最小相位系统时，只有在三阶或三阶以上，其闭环系统才有可能不稳定。,P=0,P=0,例,2,5.3 Nyquist,稳定判据,应用举例,例,3,P=0,若,G(j,)H(j,),如图中曲线所示，包围点（,1,，,j0,），则系统不稳定。,减小,K,值，使,G(j,)H(j,),减小，曲线有可能因模减小，相位不变，而不包围,(,1,，,j0,），因而系统趋于稳定。,若,K,不变，亦可增加导前环节的时间常数,T,4,、,T,5,使相位减小，曲线变成曲线。由于曲线不包围点,(,1,，,j0),故系统稳定。,5.3 Nyquist,稳定判据,应用举例,P=0,例,4,当导前环节作用小，即当,T,4,小时，开环,Nyquist,轨迹为曲线，它包围点,(,1,，,j0,），闭环系统不稳定；,当导前环节作用大，即当,T,4,大时，开环,Nyquist,轨迹为曲线，它不包围点,(,1,，,j0,），闭环系统稳定。,5.3 Nyquist,稳定判据,具有延时环节的系统的稳定性,G,K,(s),G,1,(s)e,s,G,K,(j,),G,1,(j,)e,j,G,K,(j,),=,G,1,(j,),G,K,(j,)=,G,1,(j,),延时环节不改变原系统的幅频特性，而仅仅使相频特性发生变化。,例,1+G,1,(s)e,s,0,，,G,1,(j),1,，,G,1,(j),解得：,0.786,，,1.15,。所以，,1.15,时，闭环系统不稳定。,5.3 Nyquist,稳定判据,5.4 Bode,稳定判据（对数判据）,Nyquist,图与,Bode,图的对应关系,几何判据（,Nyquist,判据的引申）,Nyquist,图上的,单位圆,Bode,图上的,0dB,线,，,即对数幅频特性图的,横轴,单位圆之外,对数幅频特性图的,0dB,线之上,。,(2),Nyquist,图上的,负实轴,Bode,图上的,180,线,，,即对数相频特性图的,横轴,。,c,：幅值穿越频率,（剪切频率）,g,：相位穿越频率,g,g,穿越的概念,穿越：开环,Nyquist,轨迹在,(,1,，,j0),点以左穿过负实轴,（对数相频特性穿过,180,线）,负穿越：开环,Nyquist,轨迹自下而上的穿越（随,的增加）,（对数相频特性,自上而下,穿过,180,线）,正穿越：开环,Nyquist,轨迹,自上而下,的穿越（随,的增加）,（对数相频特性自下而上穿过,180,线）,半次穿越：起始于,180,的穿越,5.4 Bode,稳定判据（对数判据）,正穿越一次，,Nyquist,轨迹逆时针包围,(,1,，,j0),点一圈,负穿越一次，,Nyquist,轨迹顺时针包围,(,1,，,j0)点一圈,开环,Nyquist,轨迹逆时针包围,(,1,，,j0),点的次数,正穿越和负穿越的次数之差。,判据,：,闭环系统稳定的充要条件是，在,Bode,图上，当,由,0,变到时，在开环对数幅频特性为正值的频率范围内，开环对数相频特性对,180,线的,正穿越与负穿越次数之差为,P,2,。,特别,：,P,0,时，若,c,g,，闭环系统稳定；,c,g,，闭环系统不稳定；,c,=,g,，闭环系统临界稳定,5.4 Bode,稳定判据（对数判据）,穿越的概念,5.5,系统的相对稳定性,系统的相对稳定性：,G,K,(j,),靠近,(,1,j0),的程度,定量指标：,相位裕度,幅值裕度,K,系统的稳定性的度量,相位裕度,在,=,c,时，,G,K,(,j,),的相频特性,(,c,）,距,180,线的,相位差,(,c,）（,180,）,180,(,c,）,显然，对于稳定系统,0,对数相频特性图横轴以上,极坐标图负实轴以下,正相位裕度，有正的稳定性储备,对于不稳定系统,0,对数相频特性图横轴以下,极坐标图负实轴以上,负相位裕度，有负的稳定性储备,5.5,系统的相对稳定性,幅值裕度（增益裕度）,Kg,显然，对于稳定系统,Kg,1,，,Kg(dB),0,Kg(dB),在,0dB,线以下,正幅值裕度，有正的稳定性储备,对于不稳定系统,Kg,1,，,Kg(dB),0,Kg(dB),在,0dB,线以上,负幅值裕度，有负的稳定性储备,在,=g,时，开环幅频特性,GK(jg),的倒数,或以分贝值表示,5.5,系统的相对稳定性,例,1,5.5,系统的相对稳定性,例,2,第五章 系统稳定性分析,作业,5.3,5.5,5.9(1,、,3),5.10,5.11,