高考数学考点解读+命题热点突破专题09三角恒等变换与解三角形文.pdf

小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学专题 09 三角恒等变换与解三角形文【考向解读】正弦定理和余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容，1.和差角公式、二倍角公式是高考的热点，常与三角函数式的求值、化简交汇命题既有选择题、填空题，又有解答题，难度适中，主要考查公式的灵活运用及三角恒等变换能力2.预测 2017 年高考仍将以和差角公式及二倍角公式为主要考点，复习时应引起足够的重视3.边和角的计算；4.三角形形状的判断；5.面积的计算；6.有关的范围问题【命题热点突破一】三角恒等变换例 1、(1)(2016 高考全国乙卷)已知 是第四象限角，且 sin 435，则 tan 4_答案】：43速解法：由题意知4为第一象限角，设4，4，tan4tan 2 tan2.小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学【答案】：43【解析】如图，不妨设在RtACB中，A，由 sin 35可得，BC3，AB5，AC4，B2，tan B43，tan B43.(2)若 tan 0，则()Asin 0 Bcos 0 Csin 2 0 D cos 2 0【答案】：C【感悟提升】解决三角函数问题的基本思想是“变换”，通过适当的变换达到由此及彼的目的在三角函数问题中变换的基本方向有两个：一个是变换函数名称，一个是变换角的形式变换函数名称可以使用诱导公式、同角三角函数的基本关系等；变换角的形式可以使用两角和、差的三角函数公式、倍角公式，对角进行代数形式的变换等【变式 探究】(1)已知 sin52 14，那么 cos 2 _(2)已知 sin3sin 4 35，则 cos 3等于()A45 B 35 C.45 D.35【答案】（1）78（2）A【解析】（1）依题意得cos 14，所以 cos 2 2cos212142 178.小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学（2）由 sin3sin 4 35，得3sin64 35，则 sin645，于是cos 3cos 62sin 645.【命题热点突破二】正、余弦定理例 2、【2016 高考山东理数】（本小题满分12 分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知tantan2(tantan).coscosABABBA（）证明：a+b=2c;（）求cosC的最小值.【答案】（）见解析；（）12【解析】【感悟提升】关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正弦、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”，这是使问题获得解决的突破口求三角形中的角，关键是利用正弦定理或余弦定理求出某角的正弦值或余弦值，再根据角的范围求出对应的角的大小解题时要注意利用三角形内角和定理，即ABC .小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学【答案】23【解析】cos Bcos C2acbc0，ccos B 2acos C bcos C 0，由正弦定理得sin Ccos B2sin Acos C sin Bcos C0，sin（BC）2sin Acos Csin A 2sin Acos C 0，sin A 0，cos C 12，C 23.【变式探究】在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且 csin B bcos C 3.(1)求 b；(2)若 ABC的面积为212，求 c.【解析】【感悟提升】求解三角形的边和面积的关键是利用正、余弦定理求出相关角度和边长正弦定理揭示了三角形三边和其对角的正弦的比例关系余弦定理揭示了三角形的三边和其中一个内角的余弦之间的关系正弦定理可以使各边的比值和各个内角的正弦的比值相互转化只要知道了三角形三边之间的比例关系即可利用余弦定理求出三角形的内角【命题热点突破三】正、余弦定理的实际应用例 3、已知一块四边形园地ABCD中，A45，B60，C105.若 AB 2 m，BC1 m，则该四边形园地 ABCD 的面积等于 _m2.【答案】634【解析】如图所示，连接 AC.根据余弦定理可得AC 3 m，易知 ABC为直角三角形，且 ACB 90，BAC 30，所以 DAC 15，DCA 15，故 ADC为等腰三角形.设 AD DC x m，根据余弦定理得x2x23x23，即 x23233（23）.所以四边形园地ABCD的面积为1213123（23）122 36 3 34634 m2.小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学【感悟提升】使用正、余弦定理解三角形的关键是把求解目标归入到可解三角形中(可解三角形指符合正弦定理、余弦定理的应用条件，能够求出三角形各个元素的三角形)，在一些复杂的问题中，需要把求解目标分解到两个或者更多个可解三角形之中【变式探究】如图所示，一学生在河岸紧靠河边笔直行走，在A处时，经观察，在河对岸有一参照物C与学生前进方向成30角，学生前进200 m后，测得该参照物与前进方向成75角，则河的宽度为()A50(31)m B100(31)m C50 2 m D100 2 m【答案】A【解析】在 ABC中，BAC 30，ACB 753045，AB 200，由正弦定理得BC 200sin 30 sin 45 100 2（m），所以河的宽度为BCsin 75 100 2264 50（3 1）（m）.【命题热点突破四】正、余弦定理解具有空间结构的三角形综合问题例 4、如图所示，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30 的方向上，行驶600 m 后到达 B处，测得此山顶在西偏北75 的方向上，仰角为30，则此山的高度 CD _m.【答案】100 6【解析】小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学【感悟提升】解三角形与三角函数的综合题，要优先考虑角的范围和角之间的关系；对最值或范围问题，可以转化为三角函数的值域来求【变式探究】如图所示，为测量山高MN，选择 A和另一座山的山顶C为测量观测点从A点测得 M点的仰角 MAN 60，C点的仰角 CAB 45，以及 MAC 75，从 C点测得 MCA 60.已知山高BC 100 m，则山高MN _m.【答案】150【解析】在 RtABC中，BC100，CAB 45，所以 AC 100 2.在 MAC 中，MAC 75，MCA60，所以AMC 45，由正弦定理有AMsin MCAACsin AMC，即 AM sin 60 sin 45 100 2100 3，于是在 RtAMN 中，有 MN sin 60 100 3150.【易错分析】对于求解有空间结构的三角形问题，有两个易错点：一是方位角的确定；二是选择合适的三角形，并在相关三角形中进行边和角的转换【高考真题解读】1.【2016 高考新课标2理数】若3cos()45，则sin2（）（A）725（B）15（C）15（D）725【答案】D 2.【2016 高考新课标3理数】若3tan4，则2cos2sin 2（）小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学(A)6425 (B)4825 (C)1 (D)1625【答案】A【解析】由3tan4，得34sin,cos55或34sin,cos55，所以2161264cos2sin 24252525，故选 A3.【2016 年高考四川理数】22cossin88=.【答案】22【解析】由二倍角公式得22cossin882cos.421.【2016 高考新课标3理数】在ABC中，4B=，BC边上的高等于13BC,则cosA=（）（A）3 1010（B）1010（C）1010-（D）3 1010-【答案】C【解析】2.【2016高考新课标2 理数】ABC的内角,A B C的对边分别为,a b c，若4c o s5A，5cos13C，1a，则b【答案】2113【解 析】因 为45cos,cos513AC，且,A C为 三 角 形 的 内 角，所 以312si n,si n51 3AC，63sinsin ()sin()sincoscossin65BACACACAC，又 因 为s i ns i nabAB，所 以sin21sin13aBbA.3.【2016 高考天津理数】在ABC中，若=13AB,BC=3，120C,则AC=（）（A）1（B）2（C）3（D）4 小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学【答案】A【解析】由余弦定理得213931ACACAC,选 A.4.【2016 高考江苏卷】在锐角三角形ABC中，若sin2sinsinABC，则tantantanABC的最小值是 .答案】8.【解析】sinsin()2sinsintantan2tantanAB+CBCBCBC，又tantantantantan1B+CA=BC-，因tantantantantantantan2tantan22tantantant antantan8,ABCABCABCABCABC即最小值为8.1.【2016 年高考四川理数】（本小题满分12 分）在ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且coscossinABCabc.（I）证明：sinsinsinABC；（II）若22265bcabc，求tanB.【答案】（）证明详见解析；（）4.【解析】小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学2.【2016 高考浙江理数】（本题满分14 分）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b+c=2a cos B.（I）证明：A=2B；（II）若 ABC的面积2=4aS，求角A的大小.【答案】（I）证明见解析；（II）2或4【解析】小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学3.【2016 高考山东理数】（本小题满分12 分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知tantan2(tantan).coscosABABBA（）证明：a+b=2c;（）求cosC的最小值.【答案】（）见解析；（）12【解析】（）由题意知sinsinsinsin2coscoscoscoscoscosABABABABAB（），化简得2 sincossincossinsinABBAAB，即2sinsinsinABAB.因为ABC,所以sinsinsinABCC.小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学从而sinsin=2sinABC.由正弦定理得2abc.（）由（）知2abc,所以2222222cos22abababcCabab（）311842baab（），当且仅当ab时，等号成立.故cosC的最小值为12.1.【2015 高考四川，理12】75sin15sin .【答案】62.2.【2015 高考浙江，理11】函数2()sinsincos1f xxxx的最小正周期是，单调递减区间是【答案】，87,83kk，Zk.【解析】1cos2sin223()1sin(2)22242xxf xx，故最小正周期为，单调递减区间为87,83kk，Zk.3.【2015 高考天津，理15】（本小题满分13 分）已知函数22sinsin6fxxx，Rx(I)求()f x最小正周期；小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学(II)求()f x在区间,34pp-上的最大值和最小值.【答案】(I);(II)max3()4f x,min1()2f x.(II)因为()f x在区间,36pp-上是减函数，在区间,64p p-上是增函数，113(),(),()346244fff，所以()f x在区间,3 4pp-上的最大值为34，最小值为12.4.【2015 高考重庆，理18】已知函数2sinsin3 cos2fxxxx（1）求fx的最小正周期和最大值；（2）讨论fx在2,63上的单调性.【答案】（1）最小正周期为p，最大值为232-；（2）()f x在5,6 12上单调递增；()f x在52,123上单调递减.【解析】小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学5.【2015 高考上海，理 14】在锐角三角形C中，1tan2，D为边C上的点，D与CD的面积分别为2和4过D作D于，DFC于F，则DDF【答案】1615解析】由题意得：121sin,cos,sin2412 5255AAAB ACAAB AC，又11322,4322212 5AB DEACDFAB DEACDFDEDF,因为 DEAF四点共圆，因此DDF32216cos()()1512 55DEDFA6.【2015 高考广东，理 11】设的内角，的对边分别为，若，ABCABCabc3a1sin2B小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学，则 .【答案】1【解析】因为且，所以或，又，所以，又，由正弦定理得即解得，故应填入 17.【2015 高考湖北，理12】函数2()4coscos()2sin|ln(1)|22xf xxxx的零点个数为【答案】2 8.【2015 高考重庆，理13】在ABC中，B=120o，AB=2，A的角平分线AD=3,则AC=_.【答案】6【解析】由正弦定理得sinsinABADADBB，即23sinsin120ADB，解得2sin2ADB，45ADB，从而15BADDAC，所以1801203030C，6Cb1sin2B0,B6B56B6C6B23ABC3asinsinabAB32sinsin36b1b小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学2cos306ACAB.9.【2015 高考福建，理 12】若锐角ABC的面积为10 3，且5,8A BA C，则BC等于 _【答案】7【解析10.【2015 高考新课标2，理 17】（本题满分12 分）ABC中，D是BC上的点，AD平分BAC，ABD面积是ADC面积的 2倍()求sinsinBC；()若1AD，22DC，求BD和AC的长【答案】()12；()1【解析】()1sin2ABDSAB ADBAD，1sin2ADCSAC ADCAD，因为2ABDADCSS，BADCAD，所以2ABAC由正弦定理可得sin1sin2BACCAB()因为:ABDADCSSBDDC，所以2BD在ABD和ADC中，由余弦定理得2222cosABADBDAD BDADB，2222cosACADDCAD DCADC222222326ABACADBDDC由()知2ABAC，所以1AC