高考数学一轮复习第2章基本初等函数导数及其应用第4讲函数的奇偶性及周期性知能训练轻松闯关理.pdf

小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学第 4 讲 函数的奇偶性及周期性1(2014高考课标全国卷)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是()Af(x)g(x)是偶函数B|f(x)|g(x)是奇函数Cf(x)|g(x)|是奇函数D|f(x)g(x)|是奇函数解析：选 C.A：令h(x)f(x)g(x)，则h(x)f(x)g(x)f(x)g(x)h(x)，所以h(x)是奇函数，A错 B：令h(x)|f(x)|g(x)，则h(x)|f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|f(x)|g(x)h(x)，所以h(x)是偶函数，B错 C：令h(x)f(x)|g(x)|，则h(x)f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|h(x)，所以h(x)是奇函数，C正确 D：令h(x)|f(x)g(x)|，则h(x)|f(x)g(x)|f(x)g(x)|f(x)g(x)|h(x)，所以h(x)是偶函数，D错2(2016山西省第三次四校联考)已知偶函数f(x)，当x0，2)时，f(x)2sin x，当x2，)时，f(x)log2x，则f3f(4)()A32 B 1 C3 D.32 解析：选 D.因为f3f32sin 33，f(4)log242，所以f3f(4)32，故选 D.3设f(x)是定义在R上的周期为3 的周期函数，如图表示该函数在区间(2，1 上的图像，则f(2 016)f(2 017)()A3 B 2 C1 D 0 解析：选C.因为f(x)是定义在R 上的周期为3 的周期函数，所以f(2 016)f(2 017)f(6723 0)f(672 31)f(0)f(1)，而由图像可知f(1)1，f(0)0，所以f(2 016)f(2 017)011.4(2016江西省高考适应性测试)已知函数f(x)x2，g(x)x3tan x，那么()Af(x)g(x)是奇函数Bf(x)g(x)是偶函数Cf(x)g(x)是奇函数Df(x)g(x)是偶函数解析：选A.由已知易得f(x)f(x)，g(x)g(x)，故f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)，故f(x)g(x)是奇函数，A 正确，B 错误；f(x)g(x)f(x)g(x)，所以f(x)g(x)既不是奇函数也不是偶函数5(2016郑州调研)已知函数f(x)在区间 5，5 上是奇函数，在区间0，5 上是单调函数，且f(3)f(1)，则()Af(1)f(3)Bf(0)f(1)Cf(1)f(1)Df(3)f(5)解析：选 A.函数f(x)在区间 0，5 上是单调函数，又31，且f(3)f(1)，故此函数在区间0，5 上是减函数由已知条件及奇函数性质知，函数f(x)在区间 5，5 上是减函数选项 A中，3 1，故f(3)f(1)小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学选项 B中，0 1，故f(0)f(1)同理，选项C中f(1)f(1)，选项 D中f(3)f(5)6若函数f(x)是周期为4 的偶函数，当x0，2 时，f(x)x1，则不等式xf(x)0 在 1，3 上的解集为 ()A(1，3)B(1，1)C(1，0)(1，3)D(1，0)(0，1)解析：选C.f(x)的图像如图当x 1，0)时，由xf(x)0，得x(1，0)；当x0，1)时，由xf(x)0，得x?；当x1，3 时，由xf(x)0，得x(1，3)故x(1，0)(1，3)7 已知函数f(x)在 R上为奇函数，且x0 时，f(x)x1，则当x0 时，f(x)_解析：因为f(x)为奇函数，x0 时，f(x)x1，所以当x0 时，x0，f(x)f(x)(x1)，即x0 时，f(x)(x1)x1.答案：x1 8若f(x)k2x2x为偶函数，则k_，若f(x)为奇函数，则k_解析：f(x)为偶函数时，f(1)f(1)，即k22 2k12，解得k1.f(x)为奇函数时，f(0)0，即k10，所以k 1(或f(1)f(1)，即k22 2k12，解得k 1)答案：1 1 9 若偶函数yf(x)为 R上周期为6 的周期函数，且满足f(x)(x1)(xa)(3x3)，则f(6)等于 _解析：因为yf(x)为偶函数，且f(x)(x1)(xa)(3x3)，所以f(x)x2(1 a)xa，1a0.所以a 1.f(x)(x1)(x1)(3x3)f(6)f(66)f(0)1.答案：1 10(2016河北省衡水中学一调考试)设函数f(x)（x1）2sin xx21的最大值为M，最小值为m，则Mm _解 析：f(x)（x1）2sin xx21 1 2xsin xx21.设g(x)2xsin xx21，则g(x)2xsin xx21g(x)，所以g(x)是 R上的奇函数 所以若g(x)的最大值是W，则g(x)的最小值是W.所以函数f(x)的最大值是1W，最小值是1W，即M1W，m1W，所以Mm2.答案：2 11设f(x)是(，)上的奇函数，f(x2)f(x)，当 0 x1 时，f(x)x.1)求f()的值；小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学(2)当4x4 时，求f(x)的图像与x轴所围成的图形的面积解：(1)由f(x 2)f(x)，得f(x4)f(x2)2)f(x 2)f(x)，所以f(x)是以 4 为周期的周期函数所以f()f(14)f(4)f(4)(4)4.(2)由f(x)是奇函数与f(x2)f(x)，得f(x1)2)f(x1)f(x1)，即f(1 x)f(1 x)从而可知函数yf(x)的图像关于直线x 1 对称又当 0 x1 时，f(x)x，且f(x)的图像关于原点成中心对称，则f(x)的图像如图所示设当 4x4 时，f(x)的图像与x轴围成的图形面积为S，则S4SOAB41221 4.12已知函数f(x)x22x，x0，0，x0，x2mx，x 0是奇函数(1)求实数m的值；(2)若函数f(x)在区间 1，a 2 上递增，求实数a的取值范围解：(1)设x0，则x0，所以f(x)(x)22(x)x2 2x.又f(x)为奇函数，所以f(x)f(x)，于是x 0时，f(x)x22xx2mx，所以m 2.(2)由(1)知f(x)在1，1 上是增函数，要使f(x)在 1，a2 上递增结合f(x)的图像知a2 1，a21，所以 1a3，故实数a的取值范围是(1，3 1(2016河南省适应性模拟练习)定义在 R上的函数f(x)满足f(x)f(x)，fx 2)f(x2)，且x(1，0)时，f(x)2x15，则f(log220)()A1 B 1 C.45D45解析：选B.因为f(x)f(x)，所以f(x)为奇函数，又f(x2)f(x2)，所以f(x)的周期为4，由 4log2200)在区间 8，8 上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1x2x3x4_解析：因为f(x)为奇函数并且f(x4)f(x)所以f(x4)f(4x)f(x)，即f(4 x)f(x)，且f(x8)f(x 4)f(x)，即yf(x)的图像关于x 2 对称，并且是周期为8 的周期函数因为f(x)在0，2 上是增函数，所以f(x)在 2，2 上是增函数，在2，6 上为减函数，据此可画出yf(x)的图像其图像也关于x 6 对称，所以x1x2 12，x3x44，所以x1x2x3x4 8.答案：8 3函数f(x)的定义域为Dx|x0，且满足对于任意x1，x2D，有f(x1x2)f(x1)f(x2)(1)求f(1)的值(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论(3)如果f(4)1，f(x 1)2，且f(x)在(0，)上是增函数，求x的取值范围解：(1)因为对于任意x1，x2D，有f(x1x2)f(x1)f(x2)，所以令x1x21，得f(1)2f(1)，所以f(1)0.(2)f(x)为偶函数证明如下：令x1x2 1，有f(1)f(1)f(1)，所以f(1)12f(1)0.令x1 1，x2x有f(x)f(1)f(x)，所以f(x)f(x)，所以f(x)为偶函数(3)依题设有f(44)f(4)f(4)2，由(2)知，f(x)是偶函数，所以f(x1)2，等价于f(|x1|)f(16)又f(x)在(0，)上是增函数所以 0|x1|16，解得 15x17 且x1.所以x的取值范围是 x|15x17 且x14(2016菏泽模拟)已知函数yf(x)在定义域 1，1 上既是奇函数，又是减函数(1)求证：对任意x1，x2 1，1，有 f(x1)f(x2)(x1x2)0；(2)若f(1a)f(1a2)0，求实数a的取值范围解：(1)证明：若x1x20，显然不等式成立若x1x20，则 1x1x21，因为f(x)在 1，1 上是减函数且为奇函数，所以f(x1)f(x2)f(x2)，所以f(x1)f(x2)0.所以 f(x1)f(x2)(x1x2)0 成立若x1x20，则 1x1x2 1，同理可证f(x1)f(x2)0.所以 f(x1)f(x2)(x1x2)0 成立综上得证，对任意x1，x2 1，1，有 f(x1)f(x2)(x1x2)0恒成立小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学(2)因为f(1a)f(1 a2)0?f(1 a2)f(1 a)f(a 1)，所以由f(x)在定义域 1，1 上是减函数，得11a2 1，1a11，1a2a1，即0a22，0a 2，a2a2 0，解得 0a1.故所求实数a的取值范围是0，1)