微积分的创立、发展及意义.doc

微积分的创立、发展及意义
摘 要
该文主要论述了微积分的创立过程、微积分的发展历程，以及微积分的重要意义。在微积分的创立过程中，主要说明了创立背景、微积分的两位创始人独立创立微积分的过程以及微积分的基本内容及基本方法；其次，以欧拉为主要代表介绍了微积分的发展历程；最后论述了微积分对科学、社会、工业、航空等方面的影响及其深远意义。
关键词：微积分 数学史 创立 发展 意义 论文
1、微积分的创立
1.1 微积分的创立背景[1]
克莱因（M.Klein）认为：微积分的创立，首先是处于17世纪主要两科学问题，即有四种主要类型的问题有待用微积分去解决。
第一类：已知物体移动的距离表示为时间的函数的公式，求物体在任意时刻的速度和加速度；反过来，已知物体的加速度表示为时间的函数的公式，求速度和距离。
第二类：问题是求曲线的切线，这是一个几何问题，但对科学的应用有巨大的影响。
第三类：问题是求函数的极大极小值。
第四类：问题包括求曲线的长度,曲线围成的面积等等。
首先对微积分的创造作出贡献的是开普勒和伽利略。用无数个无穷小之和计算面积和体积是开普勒的基本思想，而这一思想的精华是从阿基米德的著作中吸收的，伽利略则奠定了实验和理论协调的近代科学精神，这对于微积分的形成是至关重要的。
对于微积分的孕育有重要影响的是1635 年卡瓦列利 (B.Cavalieri意大利)的《不可分连续量的几何学》的发表，他对前人的微积分结果作了初步系统的综合，并创立了一种简易形式的积分法——不可分量法，使卡瓦列利的不可分量更接近于定积分计算的，是法国的帕斯卡(Ｂ.Pascal)和英国的瓦里士（J.Wallis）。瓦里士是牛顿、莱布尼茨之前把分析方法引入微积分的工作做得最多的人。对微积分的孕育具有重要影响的人物是法国的费马(Fermat)，最迟在1636年他已达到求积分方法上的算术化程度，微积分的另一个重要课题——求极值的方法也是费马创造的。
在17世纪，至少有10多位大数学家探索过微积分，而牛顿(Newton)、莱布尼茨(Laeibniz)，则处于当时的顶峰。牛顿、莱布尼茨的最大功绩在于能敏锐的从孕育微积分的各种"个例形态中"洞察和清理出潜藏着的共性的东西——无穷小分析，并把它提升和确立为数学理论。
1.2 牛顿与莱布尼茨[2]
牛顿和莱布尼茨都是他们时代的巨人，就微积分的创立而言，尽管在背景、方法和形式上存在差异、各有特色，但二者的功绩是相当的。他们都使微积分成为能普遍适用的算法，同时又都将面积、体积及相当的问题归结为反切线（微分）运算。应该说，微积分能成为独立的科学并给整个自然科学带来革命性的影响，主要是靠了牛顿和莱布尼茨的工作。在科学史上，重大的真理往往在条件成熟的一定时期由不同的探索者相互独立地发现，微积分的创立，情形也是如此。
牛顿和莱布尼茨建立微积分的出发点是直观的无穷小量，因此这门学科早期也称为无穷小分析，这正是现在数学中分析学这一大分支名称的来源。牛顿研究微积分着重于从运动学来考虑，莱布尼茨却是侧重于几何学来考虑的。
1.2.1 牛顿的微积分
牛顿在1671年写了《流数法和无穷级数》，这本书直到1736年才出版，他在这本书里指出，变量是由点、线、面的连续运动产生的，否定了以前自己认为的变量是无穷小元素的静止集合。他把连续变量叫做流动量，把这些流动量的导数叫做流数。牛顿在流数术中所提出的中心问题是：已知连续运动的路径，求给定时刻的速度（微分法）；已知运动的速度求给定时间内经过的路程(积分法)。
1.2.2 莱布尼茨的微积分
1684年，莱布尼茨发表了他的第一篇微分学论文《一种求极大极小和切线的新方法》（简称《新方法》），刊登在《教师学报》上，这也是数学史上第一篇正式发表的微积分文献。该文是莱布尼茨对自己1673年以来微分学研究的概括，其中定义了微分并广泛采用了微分记号。莱布尼茨假设横坐标的微分是任意的量，纵坐标的微分就定义为它与之比等于纵坐标与次切距之比的那个量。若记次切距为，莱布尼茨就是用等式来定义微分。这个定义在逻辑上假定切线已先有定义，而莱布尼茨将切线定义为连接曲线上无限接近的两点的直线。由于缺乏极限概念，这个定义是不能令人满意的。莱布尼茨后来还努力要给出高阶微分的合适定义，但并不成功。
1686年，莱布尼茨发表了他的第一篇积分学的论文《深奥的几何与不可分量及无限的分析》。这篇论文初步论述了积分或求积问题与微分或切线问题的互逆关系。正式在这篇论文中，积分号∫第一次出现于印刷出版物上。他是历史上最伟大的符号学者之一，他所创设的微积分符号，远远优于牛顿的符号，这对微积分的发展有极大的影响。现在我们使用的微积分通用符号就是当时莱布尼茨精心选用的。
1.3 微积分的基本内容
1.3.1 数学分析
研究函数，从量的方面研究事物运动变化是微积分的基本方法。这种方法叫做数学分析。
本来从广义上说，数学分析包括微积分、函数论等许多分支学科，但是现在一般已习惯于把数学分析和微积分等同起来，数学分析成了微积分的同义词，一提数学分析就知道是指微积分。微积分的基本概念和内容包括微分学和积分学。
1.3.2 微积分
微分学的主要内容包括：极限理论、导数、微分等；积分学的主要内容包括：定积分、不定积分等。
微积分是高等数学中研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支。它是数学的一个基础学科。内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用。微分学包括求导数的运算，是一套关于变化率的理论。它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。积分学，包括求积分的运算，为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法。
微积分学是微分学和积分学的总称。它是一种数学思想，“无限细分”就是微分，“无限求和”就是积分。十七世纪后半叶，牛顿和莱布尼茨完成了许多数学家都参加过准备的工作，分别独立地建立了微积分学。他们建立微积分的出发点是直观的无穷小量，但是理论基础是不牢固的。因为“无限”的概念是无法用已经拥有的代数公式进行演算，所以，直到十九世纪，柯西和维尔斯特拉斯建立了极限理论，康托尔等建立了严格的实数理论，这门学科才得以严密化。
1.4 求解微积分的基本方法
根据微积分的基本原理可以知道求导和积分是互逆的运算，微积分的精髓告诉我们之所以可以解决很多非线性问题，本质的原因在于我们化曲为直了，现实生活中我们会遇到很多非线性问题，那么解决这样的问题有没有统一的方法呢？ 经过研究，求解微积分的基本方法在于：先微分，后积分。
2、微积分的发展历程[2]
在18世纪，微积分进一步深入发展，这种发展与广泛的应用紧密交织在一起，刺激和推动了许多数学新分支的产生，从而形成了“分析”这样一个在观念和方法上都具有鲜明特点的数学领域。在数学史上，18世纪可以说是分析的时代，也是向现代数学过渡的重要时期。
18世纪微积分最重大的进步是由欧拉（Leonard Euler，1707—1783）作出的。欧拉在1748年出版的《无限小分析引论》（Introductio in Anclysin infinitorum）以及他随后发表的《微分学》（Institutionis Calculi differentialis，1755）和《积分学》（Institutiones Calculi integralis，共3卷，1768—1770）是微积分史上里程碑式的著作，它们在很长时间里被当作分析课本的典范而普遍使用着。这三部著作包含了欧拉本人在分析领域的大量创造，同时引进了一批标准的符号如：

等等，对分析表述的规范化起了重要作用。
18世纪数学家们以高度的技巧，将牛顿和莱布尼茨的无限小算法施行到各类不同的函数上，不仅发展了微积分本身，而且作出了许多影响深远的新发现。在这方面，积分技术的推进尤为明显。
1720年，尼古拉·伯努利（Nicolaus Bernoulli II 1687—1759）证明了函数在一定条件下，对求偏导数其结果与求导顺序无关。欧拉在1734年的一篇文章中也证明了同样的事实。在此基础上，欧拉在一系列的论文中发展了偏导数理论。
1748年欧拉用累次积分算出了表示一厚度为的椭圆薄片对其中心正上方一质点的引力的重积分：

积分区域由围成。到1770年左右，欧拉已经能给出计算二重定积分的一般程序。
18世纪微积分发展的一个历史性转折，是将函数放到了中心的地位，而以往数学家们都以曲线作为微积分的主要对象。这一转折首先也应归功于欧拉，欧拉在《无限小分析引论》中明确宣布：“数学分析是关于函数的科学”微积分被看作是建立在微分基础上的函数理论。
牛顿和莱布尼茨的微积分是不严格的，特别在使用无限小概念上的随意与混乱，这使他们的学说从一开始就受到怀疑和批评。1695年，荷兰物理学家纽汶蒂（B。Nieuwentyt）在其著作《无限小分析》中指责牛顿的流数术叙述“模糊不清”，莱布尼茨的高阶微分“缺乏根据”等。最令人震撼的抨击是来自英国哲学家、牧师伯克莱，伯克莱（G.Berkeley，1685—1753）在1734年担任克罗因（在今爱尔兰境内）主教，同年发表小册子《分析学家，或致一位不信神的数学家》（The Analyst，a Discourse Addressed to an Infidel Mathematician），副题中“不信神的数学家”是指曾帮助牛顿出版《原理》的哈雷（E.Haley）。伯克莱在书中认为当时的数学家们以归纳代替演绎，没有为他们的方法提供合法性证明。他集中攻击牛顿流数论中关于无限小量的混乱假设，例如在首末比方法中，为了求幂的流数，牛顿假设有一个增量，并以它去除的增量得，然后又让“消失”，得到的流数，伯克莱指出这里关于增量的假设前后矛盾，是“分明的诡辩”。他讥讽地问道：“这些消失的增量究竟是什么呢？它们既不是有限量，也不是无限小，又不是零，难道我们不能称它们为消逝量的鬼魂吗？”《分析学家》的主要矛头是牛顿的流数术，但对莱布尼茨的微积分也同样竭力非难，认为其中的正确结论，是从错误的原理出发通过“错误的抵消”而获得。
欧拉在《微分学》中提出了关于无限小的不同阶零的理论，欧拉认为无限小就是零，但却存在着“不同阶的零”，也就是不同阶的无限小，而“无限小演算只不过是不同无限小量的几何比的研究。”他断言如果采取了这种观点，“在这门崇高的科学中，我们就完全能保持最高度的数学严格性”。
18世纪数学家们一方面努力探索使微积分严格化的途径；一方面又往往不顾基础问题的困难而大胆前进，大大扩展了微积分的应用范围，尤其是与力学的有机结合，已成为18世纪数学的鲜明特征之一，这种结合的紧密程度是数学史上任何时期不能比拟的。当时几乎所有数学家都不同程度地同时也是力学家。欧拉的名字同刚体运动与流体力学的基本方程相联系；拉格朗日最享盛名的著作是《分析力学》（Traite de mechanique analitique，1788），它将力学变成分析的一个分支，拉普拉斯许多最重要的数学成果是包含在他的五大卷《天体力学》中，这种广泛的应用成为新思想的源泉而使数学本身大大受惠，一系列新数学分支在18世纪成长起来。
常微分方程是伴随着微积分一起发展起来的，牛顿和莱布尼茨的著作中都处理过与常微分方程有关的问题。解一阶常微分方程的所谓“积分因子法”，先后由欧拉（1734—1735年间）和克莱洛（1739—1740年间）独立地提出。他们的方法是将方程乘以一个叫“积分因子”的量而使它化为“恰当方程”。恰当方程是指方程左端恰好是某个函数的全微分。欧拉和克莱洛都给出方程是恰当的条件：，并指出了如果方程是恰当的，它就可以积分。
1728年，欧拉在一篇题为《将二阶微分方程化为一阶微分方程的新方法》的论文中，引进了著名的指数代换将三类相当广泛的二阶常微分方程化为一阶方程，这是二阶常微分方程系统研究的开始。
高阶常微分方程求解的重要突破，是欧拉1743年关于阶常系数线性齐次方程的完整解法。对于阶常系数方程

欧拉利用指数代换（为常数）得到所谓特征方程

当是该方程的一个实单根时，则是原微分方程的一个特解。当是特征方程的重根时，欧拉用代换求得

为包含个任意常数的解。欧拉指出：阶方程的通解是其个特解的线性组合。他是最早明确区分“通解”与“特解”的数学家。
3、微积分的意义
微积分的建立是人类头脑最伟大的创造之一，一部微积分发展史，是人类一步一步顽强地认识客观事物的历史，是人类理性思维的结晶。它给出一整套的科学方法，开创了科学的新纪元，并因此加强与加深了数学的作用。恩格斯说：“在一切理论成就中，未必再有什么像17世纪下半叶微积分的发现那样被看作人类精神的最高胜利了。如果在某个地方我们看到人类精神的纯粹的和惟一的功绩，那就正是在这里。”
有了微积分，人类才有能力把握运动和过程。有了微积分，就有了工业革命有了大工业生产，也就有了现代化的社会。航天飞机、宇宙飞船等现代化交通工具都是微积分的直接后果。在微积分的帮助下，万有引力定律被发现了，牛顿用同一个公式来描述太阳对行星的作用以及地球对它附近物体的作用。从最小的尘埃到最遥远的天体的运动行为，宇宙中没有哪一个角落不在这些定律的所包含范围内。这是人类认识史上的一次空前的飞跃，不仅具有伟大的科学意义，而且具有深远的社会影响。它强有力地证明了宇宙的数学设计，摧毁了笼罩在天体上的神秘主义、迷信和神学。一场空前巨大的、席卷近代世界的科学运动开始了。毫无疑问，微积分的发现是世界近代科学的开端。

参考文献：
[1] 微积分的创立与数学家克莱因[EB/OL]，
[2] 李文林 编，数学史概论（第三版）[M]，北京：高等教育出版社，2011.2。

6