佛山市说课稿：概率试验的重要性.doc

佛 山 六 中

概率试验的重要性

佛山六中数学组
李攀登

概率试验的重要性

原题：一个袋里装有2个红球和3个白球，每个球除颜色外都相同，任意摸出一个球，摸到红球的概率是多少？
说题之前讲一个小故事：来佛山之前的某一年，我带的初三毕业班里有一位高中教师子女，这位教师是一位德高望重的数学名师。一次我布置的数学作业是：做抛瓶盖试验（北师大九年级上册P187习题6.4第1题）。第二天统计作业情况的时候全班就这个王老师的儿子没有做。我问他：“你为什么不做作业？”他回答：“我爸爸说做这个试验是浪费时间，现在初三学习忙。”当时我脑子里闪过的是“荒谬”，而表现出来的是诧异和无语。现在每次学习与概率有关的章节时我都会想起这个故事。
通过这个小故事我要引出的是我今天说题的正题——概率试验的重要性。
一、分析题目，说要素
这道题貌似简单，我相信没有人敢轻视它，因为从小学到大学概率都有非常重要的地位，它在日常生活和生产实践中有广泛且重要的应用。
1、蕴藏的数学概念和数学道理。概念有：确定事件，随机事件，概率，频率。数学道理：了解确定事件（必然事件、不可能事件）和随机事件（不确定事件）发生的可能性大小，了解事件发生的等可能性。利用试验频率去估计理论概率，即如何用试验去“测量”概率。
2、这道题必须经历“猜测-试验并收集数据-分析试验结果”的活动过程。
3、需要对摸到红球的概率展开讨论，使学生初步学习定量刻画一类事件（古典概型）的方法，进一步体会概率的意义。千万不要只是训练学生套用公式进行计算。
二、形成思路，说解法
思路：在用试验“测量”概率的方法中提炼出古典概型的公式P(A)=m/n和如何正确使用公式
试验一：一个盒子中有十个完全相同的白球，搅匀后从中任意摸取一球。
目的：复习确定事件的概念
对于这个试验，在球没有取出之前，学生们就能确定取出的必定是白球。这种试验，根据试验开始时的条件，就可以确定试验的结果。这种类型的试验所对应的现象，称为确定性现象。
试验二：一个盒子中有十个相同的球，但5个是白色的，另外5个是红色的，搅匀后从中任意摸取一球。
目的：复习随机事件的概念、概率的定义和等可能事件的概率，进一步体会随机事件的对称性或均衡性。
对于这个类型的试验，它有多于一种可能的试验结果，就一次试验而言，看不出有什么规律。这一类试验称为随机试验，试验所代表的现象称为随机现象。
对于这一类试验，骤然一看，似乎没有什么规律可言，但是，实践告诉我们，如果我们从盒子中反复多次的取球，那么总可以观察到这样的事实：当试验次数相当大时，出现白球的次数n 和出现红球的次数m是很接近的. 出现这个事实是完全可以理解的，因为在盒子中白球数等于红球数，从中任意摸取一个球，取得白球或者红球的“机会”应该是平等的。
概率的定义：刻画事件A发生的可能性大小的数值（度量），称为事件A发生的概率，记为P（A）
试验三：测量一根木棒的长度。
目的：理解概率是随机事件本身的一个属性，是可以“测量”的。
对于一个随机事件来说，它发生可能性的大小是由它自身决定的，并且是客观存在的，不是由试验决定的。就好比一根木棒有长度，一块土地有面积一样。概率是随机事情发生可能性大小的度量，是随机事件自身的一个属性。对一个给定的随机事件，它发生可能性的大小（概率），究竟是多大呢？
我们都知道每做一串试验，所得到的频率各有不同，但是只要次数相当大，频率与概率是会非常“接近”的。因此概率是可以通过频率来“测量”的，或者说频率是概率的一个近似值。
其实这件事情质与测量长度和面积一样的平常。给定一根木棒，谁都不怀疑它有自身的“客观”的长度，长度是多少？我们可以用尺或仪器取测量，无论尺或者仪器有多么的精确，测得的数值总是稳定在木棒真是的“长度”值的附近。事实上，人们也只是把测量所得的值当作真是的“长度”。这个类比不仅帮助我们去理解概率和频率之间的内在关系，而且还启示了更深刻的事实：概率与长度、面积等变量一样，应该具有“测度”的性质。
试验四：一个袋里装有2个红球和3个白球，每个球除颜色外都相同，任意摸出一个球。
通过大量的试验，各组学生会得到摸到红球的频率是很多接近0.4的数据，这时学生会纠结选取哪一个数据，为什么就选取0.4，而不是0.40001或者0.39999呢？那么就必须让学生弄清楚以下知识：
1、所有等可能性都是一种理想状态，是一种假设。要求学生能根据随机试验结果的对称性或均衡性判断试验结果是否具有等可能性。
2、古典概型的特点：有限性（所有可能结果有限种）
等可能性（每种结果出现的可能性相同）
3、一般地，如果一个试验有n种等可能的结果，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率为P(A)=m/n。
著名专家张奠宙说过：“等可能事件发生的概率，是通过理性思考的出来的，并不只是依赖于实验。”这句话的意思就是今天摸球试验出现的概率不单只是单靠试验得到的，而是通过试验理性分析得到的。
解：红球有2个，白球有3个，将每个球都编上号码，红1号，红2号，白3号，白4号，白5号，摸出每个球的可能性相同，共有5种等可能出现的结果。摸到红球可能出现的结果有：摸出红1号或者红2号，共有两种等可能的结果。所以，P(摸到红球）=2／５．
（北师大新版教材P149页）
一定要强调书写格式
错误解法展示：
解：摸出的球不是红色就是白色，所以摸到红球和白球的可能性相同，也就是P(摸到红球）=１／２．
三、解后反思，说教学
教师误区：
1、凭经验就能判断，哪里还需要做实验？学生不是等着我们老师口中得到概率的正确理论，他们更喜欢和尊重事实。
2、部分教师们发现，不做实验、不分析，学生似乎理解得很顺利，做了实验之后，却是另一番景象：越分析越糊涂——在一堆悬殊很大的数据面前，教师试图说服学生可能性相等是那么苍白无力，于是老师想尽一切办法，选择相等或接近相等的数据以支持“可能性相等”的结论而草草收场。
3、更有甚者，干脆选择回避：不做说不清道不明的试验，改做更容易驾驭的可能性大小的实验，更极端的索性不做实验
学生潜在的错误：
1、对随机事件的不确定性认识不够，他们以为一切事情都有着明确的答案和确定的结果。
2、概率思维方式与确定性思维的差异。随机思想有时会与因果的、逻辑的、确定性的思维形成冲突。对于长期习惯于确定性思维的学生来说，要短时间建立随机思想是非常艰难。他们很自然拥有的大量的貌似正确实际是错误的想法严重影响了这一目标的实现。
3、对可能性产生偏见
4、生活中已经积累了一些有关随机现象的经验，但是存在着形形色色的潜在的对可能性的模糊、错误的观念
概率试验的必要性
1、体会随机现象的特点。为了达到这一目标，概率试验是必不可少的。
2、大量随机事件发生的概率是不能依靠计算得出来的，试验是获取概率的更一般的方法。（一事件概率应该在多次重复试验中其出现的频率程度去刻画。)
3、概率试验可以帮助学生澄清一些误会。例如抛硬币试验本身不是为了得到“二分之一”，而是澄清学生潜在的错误认识，体会不确定也有稳定。
四、 衍生拓展，说推广
拓展一：（义务教育数学课程标准P95例40）袋中装有4个红球和1个白球，不告诉他们红球数目与白球数目，让学生通过多次有放回的摸球，统计摸出红球和白球的数量及各自所占比例，由此估计袋中红球和白球数目情况。
有背景、有试验、开放性（可以设计不同层次的问题）
拓展二：布丰投针实验的故事——偶然中的必然
通过有趣的故事激发学生学习概率的兴趣和鼓励他们养成做试验的习惯。
1777年的一天，法国科学家布丰的家里宾客满堂，原来他们是应主人的邀请前来观看一次奇特试验的。
试验开始，但见年已古稀的布丰先生兴致勃勃地拿出一张纸来，纸上预先画好了一条条等距离的平行线。接着他又抓出一大把原先准备好的小针。然后布丰先生宣布：“请诸位把这些小针一根一根往纸上扔吧！不过，请大家务必把扔下的针是否与纸上的平行线相交，以及相交的次数告诉我。
客人们不知布丰先生要玩什么把戏，只好客随主意，一个个加入了试验的行列。一把小针扔完了，把它捡起来再扔。而布丰先生本人则不停地在一旁数着、记着，如此这般地忙碌了将近一个钟头。最后，布丰先生高声宣布：“先生们，我这里记录了诸位刚才的投针结果，共投针2212次，其中与平行线相交的有704次。总次数2212与相交次数704的比值为3.142。”说到这里，布丰先生故意停了停，并对大家报以神秘的一笑，接着有意提高声调说：“先生们，这就是圆周率π的近似值！”
客人们一片哗然，议论纷纷，大家全都感到莫名其妙：“圆周率π？这可跟投针半点也不沾边呀！”
布丰先生似乎猜透了大家的心思，得意洋洋地解释道：“诸位，这里用的是概率的原理，如果大家有耐心的话，再增加投针的次数，还能得到π的更精确的近似值呢。”
那么，“布丰投针实验”的依据究竟是什么呢？
五、 总结归纳，说启示
直面错误，亲手试验来澄清
要用一个正确的概念来代替一个错误的概念、用第二直觉来代替第一直觉、用一个数学模型来代替直观评判是非常困难的，信念和概念的改变是缓慢的。学生在正式学习概率之前已经形成了一些错误概念，在学习概率期间还有可能产生新的错误概念，学习结束之后可能还存在某些错误概念，也就是很多教学都是基于对错误概念了解之上的，某些错误概念还是顽固难以消除。概率说理有个一特殊问题，那就是有时会与因果的、逻辑的、确定性的思维形成冲突，如果仅用口头说教的方式是难以改变学生的直观的。因此教师该创设情境，鼓励学生用真实的数据、活动以及直观模拟试验去检查、修正或改正自己对概率的认识。因此试验就显得非常重要。学生出现错误是很正常的，我们一定要通过试验来帮他澄清。