第十课翻滚的数学函数问题.doc

启东市汇龙中学校本课程 高中数学活动室
活动一 翻滚的数学函数问题
主备人： 李俭昌
一 问题的提出
地面

h
D
C
B
A
一个矩形ABCD所在的平面与地面垂直，点A在地面上，AB=a，BC=b，AB与地面成角，如图所示，若记点C到地面的距离为h，试用的函数表示h，并且求出h的最大值。（必修4，P112）
分析：要将h表示为的函数，
关键在于考察h与、边长a，b
的关系。
解：如图过B作地面的垂线，交地
面于E，过B作地面的平行线BF，
与过C作地面的垂线CF交于F。
则BE=，
又因为，
所以，
所以。
又因为
F
E
地面

h
D
C
B
A
记，，
则，
又因为
所以
所以h的最大值为。
二 知识准备
1.函数的概念，函数的定义域与值域的相关知识；
2.平面直角坐标系的建立，如何选择适当的元素作为直角坐标系的x，y轴，建立适当的坐标系解决问题；
3.图形翻滚过程中的变量与不变量的确定；
4.在运动过程中的参数的选择。
三 学生活动
O
C
B
A
y
x
图3
活动1.在平面直角坐标系中，已知一个直角三角形ABC的三边长分别为3,4,5（C为直角顶点，BC=3，AC=4），把这个直角三角形放在直
角坐标系中，如图3所示，现在将这个三角形
逆时针翻滚（无滑动），画出翻滚一周点C所在
轨迹的曲线的图形。
解：图形在第一次翻滚过程中，点C是在以A为圆心，AC为半径的一个圆上，如图4所示，

O
C
B
A
y
x
图5

O
C
B
A
y
x
图4
由三角形中的知识可知，所以第一次翻滚过程中，点C运动的轨迹为一段圆弧，
如此继续下去，得到的圆弧的如下如下。

O
C
B
A
y
x
图6

O
C
B
A

y
图7

O
C
B
A
y
图8

最后曲线的运动轨迹如图8所示。
活动2.一个半径为5的圆，如图9所示放在直角坐标系中，圆以的速度逆时针方向旋转（无滑动）开始时点P在坐标原点，求t秒时点P的坐标。
C
O
P
y
图9
解：圆以每秒2的速度逆时针方向
滚动，则t秒时半径CP旋转的角度
为2t弧度，如图10所示。即
过P作x轴的垂线PM交x轴于M，
设P点的坐标为（x,y）,
由题意可知弧的长度等于，
x
M
C

O
C

y
图10
而弧，
所以，
，
所以，
四 课后研究与探索
B
地面
D
C
A
探索1.在问题的提出中，若长方形在地面上翻滚，试画出长方形翻滚一周的过程中，点C的运动的轨迹。
长方形在翻滚过程中，
分别以A/B.C D/A
为圆心旋转得到的圆弧，
其轨迹如图所示。

B
D
C
A
图11
地面

探索2
某建筑公司要在一块宽大的矩形地面（如图所示）上进行开发建设，阴影部分为一公共设施不能建设开发，且要求用栏栅隔开（栏栅要求在直线上），公共设施边界为曲线
的一部分，栏栅与矩形区域的边界交
于点M、N，切曲线于点P，设．
( I)将（O为坐标原点）的面积S表示成f的函数S(t)；
(II)若，S(t)取得最小值，求此时a的值及S(t)的最小值．
解：（Ⅰ），直线的斜率为，
直线的方程为
令得
令,得,
的面积,
（Ⅱ）,
因为,由,得,
当时, ,
当时, .
已知在处, ,故有，
故当时,