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第2章 圆
§2.1 圆的基本概念
1．圆的定义 ：
①描述性定义：在一个平面内线段OA绕着它的端点O旋转一周，端点A所形成的图形叫做圆.
②点集定义：在一个平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆.
注：圆指的是圆周，是曲线，而不是圆面。
2．圆的要素：
同心圆：即圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆
3．弧的定义：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，“以A、C为端点的弧记作”，读作“圆弧”或“弧AC”．大于半圆的弧（如图所示）叫做优弧，小于半圆的弧（如图所示）或叫做劣弧．

注：在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧，等弧成立的前提首先是存在于同圆或等圆中。
4．弦和弦心距的定义
注：圆上有无数条弦；其中最长的弦是直径。
5.圆的性质
① 圆是轴对称图形：它的对称轴是通过圆心的直线，有无数条。
② 圆是中心对称图形：它的对称中心是圆心。
6.垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．
垂径定理的几何表述：分为五个部分：（“五二三定理”）
①AB过圆心；
②AB垂直于弦CD；
③AB平分CD，即CE=DE；
④弧CB=弧BD；
⑤弧AC=弧AD
练习1-1：如图，一条公路的转弯处是一段圆弦即图中，点O是的圆心，其中CD=600m，E为上一点，且OE⊥CD，垂足为F，EF=90m，求这段弯路的半径．

【例2】已知：如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心 O到AB的距离为3cm。求：⊙O的半径。

垂径定理的推论：
（1） 平分弦（此弦不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
实质：
（2） 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。
（3） 圆的两条平行弦所夹的弧相等。
例题：
1.如图是一个隧道的横截面，若它的形状是以O为圆心的圆的一部分，路面=10米，净高=7米，则此圆的半径=
2.一根水平放置的圆柱形输水管道横截面如图所示，其中有水部分水面宽0.8米，最深处水深0.2米，则此输水管道的直径是 ．
3.如图，⊙O的半径为5，弦AB=8，M是弦AB上的动点，则OM的整数值为
1题
O
D
A
B
C

2 题 3题
4.如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高为

4题 5题
5.如图，在⊙O中，弦则⊙O的半径等于 。
6.如图，为⊙O的直径，，弦则两点到直线的距离之和等于（ ）
A． B． C． D．

【课后习题】
一、选择题．
1．如图1，如果AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，那么下列结论中，错误的是（ ）．
A．CE=DE B． C．∠BAC=∠BAD D．AC>AD

(1) (2) (3)
2．如图2，⊙O的直径为10，圆心O到弦AB的距离OM的长为3，则弦AB的长是（ ）
A．4 B．6 C．7 D．8
3．如图3，在⊙O中，P是弦AB的中点，CD是过点P的直径，则下列结论中不正确的是（ ）
A．AB⊥CD B．∠AOB=4∠ACD C． D．PO=PD
二、填空题
1．P为⊙O内一点，OP=3cm，⊙O半径为5cm，则经过P点的最短弦长为________；
2．如图2，AB为⊙O直径，E是中点，OE交BC于点D，BD=3，AB=10，则AC=_____．

（2题） （3题） （4题）
3．如图3，OE、OF分别为⊙O的弦AB、CD的弦心距，如果OE=OF，那么_______（只需写一个正确的结论）
4.如图4，在平面直角坐标系中，与轴相切于原点，平行于轴的直线交于，两点．若点的坐标是（），则点的坐标是
三、综合提高题
1．如图24-11，AB为⊙O的直径，CD为弦，过C、D分别作CN⊥CD、DM⊥CD，分别交AB于N、M，请问图中的AN与BM是否相等，说明理由．

2．如图，⊙O直径AB和弦CD相交于点E，AE=2，EB=6，∠DEB=30°，求弦CD长．

3．（开放题）AB是⊙O的直径，AC、AD是⊙O的两弦，已知AB=16，AC8，AD=8，求∠DAC的度数．

6．圆心角和圆周角的定义

【“弧、角、弦、距”定理】---- “四一三定理”
① 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心 距相等
② 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦心距中有一组量相等，那么所对应的其余各组量都分别相等。

例：如图所示，M、N分别是⊙O的弦AB、CD的中点，AB＝CD。求证：∠AMN＝∠CNM

注意 ：（1）“等弧对等弦”是假命题；

※（2）在同圆或等圆中，等弦的弦心距也相等；（记住结论，但解答题不可直接使用）
※（3）弧的度数等于它所对的圆心角的度数。（弧是圆中非常重要的桥梁）
【例4】如图，在⊙O中，弧AB=弧AC，∠ACB＝60°，求证：∠AOB=∠AOC=∠BOC．

【例5】．如图，已知AD=BC，求证：AB=CD．

【例6】小林根据在一个圆中圆心角、弧、弦三个量之间的关系认为，在如图中，若∠AOB=∠COD则有弧AB=2弧CD, AB=2CD ,你同意他的观点吗？试说说你的理由。
A
B
C
D
O
E

练习6-1：点A、B、C、D为⊙O上四点，弧AB: 弧BC: 弧CD: 弧DA=1：2：3：4则∠BOC= .

练习6-2 填空：
（1）⊙O的半径为2cm，弦AB=cm，则∠AOB=
（2）弦长等于半径的弦所对的圆心角等于
（3）半径为1的圆中，长为的弦所对的圆心角为
练习6-3．如图，点C、D在⊙O的直径AB上，AC=BD，CE⊥AB，DF⊥AB，点E、F在⊙O上. 求证：弧AE=弧BF.

练习6-4:如图，在◇ABCD中，以A为圆心，AB长为半径的圆分别交AD、BC于F、G，交BA的延长线于E, 求证：弧EF=弧FG
A
B
E
F
C
G
D

【圆周角与圆心角关系定理】
同弧或等弧所对的圆周角是圆心角的一半(圆周角的度数等于所对弧的度数的一半)

【圆周角与圆周角关系定理】
① 同弧或等弧所对的圆周角相等
② 在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等
③ 直角圆周角所对的弦是直径
④ 直径所对的圆周角是直角

【例1】求图中∠x的度数。

【例2】如图，△ABC内接于⊙O，点D是CA延长线上一点，若∠BOC＝1200，则∠BAD等于（ ）
Ａ.300　　　　Ｂ.600　　　　Ｃ.750　　　　Ｄ.900

【例3】如图所示，已知△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的圆交BC于D。求证：BD＝CD

【例4】(浙江省湖州市2008年)如图，已知圆心角，则圆周角的度数是（ ）
A． B． C． D．

例6题
A
B
O
C
x
P
【例5】如图，△内接于⊙O，点是上任意一点（不与重合），的取值范围是 ．

【例6】AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠BAC=30°，点P在线段OB上运动.设∠ACP=x，则x的取值范围是 .
【例7】如图所示，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O的圆心O在格点上，则∠AED的正切值等于 ．
C
B
D
A

（71题）
（7题）

练习7-1:如图所示的半圆中，是直径，且，，则sinB的值是 ．
1. 如图，AB是⊙O的直径，∠COB=70°，则∠A=_____度．

°
°
O
A
C
D
O
B

（1题） （2题） （3题） （4题）
2.如图，四个边长为1的小正方形拼成一个大正方形，A、B、O是小正方形顶点，⊙O的半径为1，P是⊙O上的点，且位于右上方的小正方形内，则∠APB等于
3.如图，量角器外沿上有A、B两点，它们的读数分别是70°、40°，则∠1的度数为 .

4.如图，为的直径，点在上，，则 ．
5.如图，已知点E是圆O上的点， B、C分别是劣弧的三等分点， ，则的度数为 ．

（5题） （6题）
6.如图，A、D是⊙上的两个点，BC是直径，若∠D = 35°，则∠OAC的度数是
7．如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知∠B=60°，则∠CAO的度数是
A
D
C
B
O

O
B

D
C
A

（7题） （8题） （9题） （10题）
8.如图，是等腰三角形的外接圆，，，为的直径，，连结，则 ， ．
9.如图 ，⊙O是正方形 ABCD的外接圆，点 P 在⊙O上，则∠APB等于
10. 如图，已知AB是⊙O的直径，BC为弦，∠A BC=30°过圆心O作OD⊥BC交弧BC于点D，连接DC，则∠DCB= °．
11.如图，在中，的度数为是上一点，是上不同的两点（不与两点重合），则的度数为（ ）
A． B． C． D．
A
B
C
D
E
O
（第11题）

【课后习题】
一、选择题．
1．如果两个圆心角相等，那么（ ）
A．这两个圆心角所对的弦相等; B．这两个圆心角所对的弧相等
C．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等; D．以上说法都不对
2．在同圆中，圆心角∠AOB=2∠COD，则两条弧AB与CD关系是（ ）
A．=2 B．> C．<2 D．不能确定
3．如图5，⊙O中，如果=2，那么（ ）．
A．AB=AC B．AB=AC C．AB<2AC D．AB>2AC

(5) (6)
4．如图1，A、B、C三点在⊙O上，∠AOC=100°，则∠ABC等于（ ）．
A．140° B．110° C．120° D．130°

(1) (2) (3)
5．如图2，∠1、∠2、∠3、∠4的大小关系是（ ）
A．∠4<∠1<∠2<∠3 B．∠4<∠1=∠3<∠2
C．∠4<∠1<∠3∠2 D．∠4<∠1<∠3=∠2
6．如图3，AD是⊙O的直径，AC是弦，OB⊥AD，若OB=5，且∠CAD=30°，则BC等于（ ）．
A．3 B．3+ C．5- D．5
二、填空题
1．交通工具上的轮子都是做圆的，这是运用了圆的性质中的_________．
2．一条弦长恰好为半径长，则此弦所对的弧是半圆的_________．
3．如图6，AB和DE是⊙O的直径，弦AC∥DE，若弦BE=3，则弦CE=________．
4．半径为2a的⊙O中，弦AB的长为2a，则弦AB所对的圆周角的度数是________．
5．如图4，A、B是⊙O的直径，C、D、E都是圆上的点，则∠1+∠2=_______．

(4) (5)
6．如图5，已知△ABC为⊙O内接三角形，BC=1，∠A=60°，则⊙O半径为_______．
三、综合提高题
1．如图，弦AB把圆周分成1：2的两部分，已知⊙O半径为1，求弦长AB．

2． 如图，已知AB=AC，∠APC=60°（1）求证：△ABC是等边三角形．（2）若BC=4cm，求⊙O的面积．

3．如图，⊙C经过坐标原点，且与两坐标轴分别交于点A与点B，点A的坐标为（0，4），M是圆上一点，∠BMO=120°．
（1）求证：AB为⊙C直径．
（2）求⊙C的半径及圆心C的坐标．

§2.2 与圆有关的位置关系
1. 点与圆的位置关系

【例1】⊙O的半径，圆心O到直线的AB距离。在直线AB上有P、Q、R三点，且有，，。P、Q、R三点对于⊙O的位置各是怎么样的？

【例2】中，，，，，对C点为圆心，为半径的圆与点A、B、D的位置关系是怎样的？

【例3】.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，则它的外心与顶点C的距离为（ ）．
A．2.5 B．2.5cm C．3cm D．4cm
【例4】若圆的半径是5cm，圆心的坐标是（0，0），点P的坐标是（4，2），则点P与⊙O的位置关系是（ ）
A．点P在⊙O外 B．点P在⊙O内
C．点P在⊙O上 D．点P在⊙O外或⊙O上
【例5】.一个点与圆上最近点的距离是4cm，最远点的距离是为9cm，则此圆的半径为（ ）
A．2.5cm或6.5cm B．2.5cm C．6.5cm D．13cm或5cm
【例6】如图1，已知直线L和直线L外两定点A、B，且A、B到直线L的距离相等，则经过A、B两点且圆心在L上的圆有（ ）
A．0个 B．1个 C．无数个 D．0个或1个或无数个

【例7】.在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，点O是△ABC的外心，现以O为圆心，分别以2，2．5，3为半径作⊙O，则点C与⊙O的位置关系分别是________．
思 考：
平面上有一点A，经过A点的圆有几个？圆心在哪里？平面上有两点A、B，经过A、B点的圆有几个？圆心在哪里？平面上有三点A、B、C，经过A、B、C三点的圆有几个？圆心在哪里？。

思考：如果A、B、C三点在一条直线上，能画出经过三点的圆吗？为什么？

2. 确定圆的条件：不在同一条直线上的三个点确定一个圆
注意：过不在同一条直线上的三个点作圆是，只需由两条线段的垂直平分线确定圆心即可。
3.三角形的外接圆
经过三角形三个顶点可以画一个圆，并且只能画一个．这个圆叫做三角形的外接圆．
三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心．这个三角形叫做这个圆的内接三角形．
三角形的外心就是三角形三条边的垂直平分线的交点，它到三角形三个顶点的距离相等。

【例1】下列说法：①三点确定一个圆；②三角形有且只有一个外接圆；③圆有且只有一个内接三角形；④三角形的外心是各边垂直平分线的交点；⑤三角形的外心到三角形三边的距离相等；⑥等腰三角形的外心一定在这个三角形内，其中正确的个数有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4

【例2】如图，已知中，，若， ，求ΔABC的外接圆半径。

【例3】⊙O的半径为1cm,△ABC为⊙O内解三角形，且BC=cm,那么= 。

【例4】已知，如图，△ABC中，AB=BC=CA=6,⊙O外接于△ABC，求⊙O的直径。

2.直线与圆的位置关系

【例1】如图，已知在△ABC中，以C为圆心作圆，当半径多长时，
① AB与⊙C相切；② AB与⊙C相交；③ AB与⊙C相离。

【例2】⊙O的半径R=cm，直线L与圆有公共点，且直线L和点O的距离为d，则（ ）
A．d=cm B．d≤cm C．d>cm D．d
③ 数量关系法：和圆心的距离等于半径的直线是圆的切线无点作垂线

【例1】如图，已知直线AB经过⊙O上的点A，并且AB＝OA，ÐOBA=45°，直线AB是⊙O的切线吗？为什么？

【例2】如图，线段AB经过圆心O，交⊙O于点A、C，ÐBAD＝ÐB＝30°，边BD交圆于点D．BD是⊙O的切线吗？为什么？

练习2-1：下列结论中，正确的是( )
（A）圆的切线必垂直于半径； （B）垂直于切线的直线必经过圆心；
（C）垂直于切线的直线必经过切点； （D）经过圆心与切点的直线必垂直于切线
【例3】 如图，是⊙的切线，为切点，交⊙于点，则的值是

（3题） （4题）
【例4】如图，直线AB与⊙O相切于点B，BC是⊙O的直径，AC交⊙O于点D，连结BD，则图中直角三角形有 个．
【例5】如图,AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D.若∠C＝18°，则∠CDA＝_____________.
A
B
C
（6题）

（5题） （7题）

【例6】如图，在△ ABC中，AB=2，AC=，以A为圆心，1为半径的圆与边BC相切，则的度数是 ．（5题）

【例7】如图，、分别切⊙于点、，点是⊙上一点，且，则__　　___度．
练习7-1：如图，在ΔABC中，∠A=90°，AB=AC=2cm，⊙A与BC相切于点D，则⊙A的半径长为 cm.
练习7-2：如图，是的直径，切于，连结交于，若，，则的半径 cm．
练习7-3： 如图，点A、B、C在⊙O上，切线CD与OB的延长线交于点D，若∠A=30°，CD=，则⊙O的半径长为 ．

（7-1） （7-2） （7-3）
练习7-4：如图，是的直径，为弦，，过点的的切线交延长线于点．若，则的半径为 cm．
A
O
B
N
M

（7-4题） （7-5题）
练习7-5：如图，已知⊙过正方形的顶点,且与边相切，若正方形的边长为2，则圆的半径为（ ）
A. B. C. D. 1
【例8】如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上一点，D在AB的延长线上，且∠DCB=∠A．
（1）CD与⊙O相切吗？如果相切，请你加以证明，如果不相切，请说明理由．
（2）若CD与⊙O相切，且∠D=30°，BD=10，求⊙O的半径．

【例9】 已知：如图，为的直径，交于点，交于点．
（1）求的度数；
（2）求证：．

【例10】已知：如图，在△ABC中，AB=AC，以BC为直径的半圆O与边AB相交于点D，切线DE⊥AC，垂足为点E．
求证：（1）△ABC是等边三角形；
（2）．
A
D
B
O
C
E

【例11】如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，若PA⊥AB，PO过AC的中点M，求证：PC是⊙O的切线．
A
B
O
C
P
M

思 考
过圆内一点可以画圆的几条切线？
过圆上一点可以画圆的几条切线？
过圆外一点可以画圆的几条切线？
5. 切线长定理
（1）切线长概念：过圆外一点有两条直线PA,PB与⊙O相切，切点分别为A、B。这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。（即线段PA、PB的长）
（2）从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心与这点的连线平分两条切线夹角.

6.三角形的内切圆：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形。

【例1】Rt△ABC中，．则△ABC的内切圆半径______．
O
A
D
P
E
B
C
（3题）

（1题） （2题）
【例2】如图，以图中正方形的边为直径作半圆,过点作直线切半圆于点,交边于点,则三角形和直角梯形周长之比为（ ）
A. 3：4 B. 4：5 C. 5：6 D. 6：7
【例3】如图，从外一点引的两条切线，切点分别是，若，是上的一个动点（点与两点不重合），过点作的切线，分别交于点，则的周长是 ．
【例4】为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用了如下办法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为30°的三角板和一个刻度尺，按如图所示的方法得到相关数据，进而可求得铁环的半径，若三角板与圆相切且测得PA=5cm，求铁环的半径.

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　·ｏ

【例5】如图， 中，，以为直径的交于点，过点的切线交于．
（1）求证：；
（2）若，求的长．

7. 四边形的外接圆与内切圆
如果一个四边形的四个顶点都在同一个圆上，那么这个四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做这个四边形的外接圆。
圆内接四边形性质：圆内接四边形对角互补。
圆外切四边形性质：对边和相等。

【例1】如图，，则的度数是 ，的度数是 。

（1题） （2题）
【例2】如图，△ABC中，是△ABC的内切圆，和边BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，请你探索和的关系，并说明理由。

8.圆与圆的位置关系

【例1】判断位置关系
1. 如图，是北京奥运会自行车比赛项目标志，则图中两轮所在圆的位置关系是

（1题） （2题） （3题）
2. （右图是一张卡通图，图中两圆的位置关系
3.两圆有多种位置关系，图中不存在的位置关系是 ．
4.已知的三边分别是，两圆的半径，圆心距，则这两个圆的位置关系是　　　 ．
5.若两圆的直径分别是2cm和10cm，圆心距为8cm，则这两个圆的位置关系是

9. 两圆相交的性质
当两圆相交时，两圆的联系线垂直平分两元的公共弦。（即垂直平分）

【例2】求圆心距、半径
1. 如图，半径为和10的⊙O1和⊙O2 相交于点A、B，公共弦AB长10，且交AB于H，求两圆的圆心距。

2.已知和的半径分别为3cm和5cm，且它们内切，则圆心距等于 cm．
3.已知⊙O1和⊙O2的半径分别为1和4，如果两圆的位置关系为相交，那么圆心距O1O2的取值范围在数轴上表示正确的是 ( )
B．
3
1
0
2
4
5
D．
3
1
0
2
4
5
A．
3
1
0
2
4
5
C．
3
1
0
2
4
5

4.若相交两圆的半径分别为1和2，则此两圆的圆心距可能是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5. 已知两圆半径分别为2和3，圆心距为，若两圆没有公共点，则下列结论正确的是 （ ）
A． B． C．或 D．或
6.⊙O的半径为3cm，点M是⊙O外一点，OM=4 cm，则以M为圆心且与⊙O相切
的圆的半径是　　　ｃｍ.
【例3】位置关系与运动
1．如图，在10×6的网格图中（每个小正方形的边长均为1个单位长）.⊙半径为2，⊙半径为1，需使⊙与静止的⊙相切，那么⊙由图示的位置向左平移个单位长.

（1题） （2题）
2．如图，.的圆心A.B在直线上，两圆的半径都为1cm，开始时圆心距，现.同时沿直线以每秒2cm的速度相向移动，则当两圆相切时，运动的时间为 秒．
【课后习题】
一、选择题:
1.已知⊙O的半径为3,A为线段PO的中点,则当OP=6时,点A与⊙O的位置关系为( )
A.点在圆内 B.点在圆上 C.点在圆外 D.不能确定
2.三角形外接圆的圆心是( )
A.三个内角平分线的交点; B.三条边的中线的交点
C.三条边垂直平分线的交点 D.三边的三条高的交点
3. 已知如图所示,等边△ABC的边长为2cm,下列以A为圆心的各圆中, 半径是3cm的圆是( )

4.已知两圆的半径分别为3和5,圆心距为7,则这两圆的位置关系是( )
A.内切 B.相交 C.外切 D.外离
5.⊙O的半径为6,⊙O的一条弦AB长为3,以3为半径的同心圆与直线AB 的位置关系是( )
A.相离 B.相切 C.相交 D.不能确定
6.如图所示,⊙O的外形梯形ABCD中,如果AD∥BC,那么∠DOC的度数为( )
A.70° B.90° C.60° D.45°

7.I为△ABC的内心,如果∠ABC+∠ACB=100°,那么∠BIC等于( )
A.80° B.100° C.130° D.160°
二、 填空题:
8.一个圆的直径是6cm,到圆心的距离是4cm的一点A在圆________.
9.如图所示,O为△ABC的外心,若∠BAC=70°,则∠OBC=________.
10.如图所示,PA与PB分别切⊙O于A、B两点,C是上任意一点,过C作⊙O的切线,交PA及PB于D、E两点,若PA=PB=5cm,则△PDE的周长是_______cm.
11.如图所示,△ABC的内切圆⊙O切AC、AB、BC分别为D、E、F,若AB=9,AC=7, CD=2,则BC=________.
12.已知两圆直径为3+t,3-t,若它们圆心距为t,则两圆的位置关系是______.
13.⊙O的半径为6cm,P是⊙O外一点,且OP=10cm,则当⊙P的半径为_______时,两圆相切.
14. 两圆半径之比为3: 5, 外切时圆心距等于24cm, 则两圆内切时的圆心距d=____.
三、解答题:
15.如图所示,两个同心圆的圆心O,大圆的弦AB是小圆的切线,切点为C.
求证:C是AB的中点.

16.如图所示,已知AB是⊙O的直径,BC是⊙O的切线,切点为B,OC 平行弦AD.
求证:DC是⊙O的切线.

17. 如图所示,点I是△ABC的内心,AI的延长线交边BC于点D,交△ABC外接圆于点E.
(1)求证:IE=BE;(2)若IE=4,AE=8,求DE的长.

§2.3 与圆有关的计算
1. 弧长和扇形的面积
1.【与圆有关的形】：弓形、扇形

2.【 扇形的计算】：

【例1】在半径为5的圆中，的圆心角所对的弧长为_________(结果保留)
【例2】如图23.3.5，圆心角为60°的扇形的半径为10厘米，求这个扇形的面积和周长．（π≈3.14）
【例3】一个扇形所在圆的半径为3cm，扇形的圆心角为120°，则扇形的面积是 cm2．
【例4】如果扇形的圆心角是230°，那么这个扇形的面积等于这个扇形所在圆的面积的____________；
【例5】扇形的面积是它所在圆的面积的，这个扇形的圆心角的度数是_________°.
【例6】已知圆心角为120°，所对的弧长为5cm，则该弧所在圆的半径R=（ ）
A．7.5cm B．8.5cm C．9.5cm D．10.5
【例7】已知扇形的半径为3cm,扇形的弧长为πcm,则该扇形的面积是______cm2,扇形的圆心角为______
【例8】 75°的圆心角所对的弧长是，则此弧所在圆的半径为 ．
【例9】兰州市某中学的铅球场如图10所示，已知扇形AOB的面积是36米2，弧AB的长度为9米，那么半径OA＝ 米．

（10题）
【例10】如图，圆上有A、B、C、D四点，其中ÐBAD=80°。若、的长度分别为7p、11p，则的长度为何
【例11】右图是某工件形状，圆弧BC的度数为，，点B到点C的距离等于AB，，求工件的面积。

【例12】某传送带的一个转动轮的半径为40cm,转动轮转，传送带上的物品A被传送多少厘米？

2. 圆锥的面积和全面积
1. 圆锥的侧面展开图是一个扇形
思 考：
如图，设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，那么这个圆锥的侧面积是多少？

圆锥的底面周长就是其侧面展开图扇形的弧长，圆锥的母线就是其侧面展开图扇形的半径。
圆锥的侧面积就是弧长为圆锥底面的周长、半径为圆锥的一条母线的长的扇形面积，而圆锥的全面积就是它的侧面积与它的底面积的和。

2.圆锥侧面积：（

【例1】一个圆锥形零件的母线长为，底面的半径为，求这个圆锥形零件的侧面积和全面积．

练习1-1.圆锥的母线长为5cm，底圆周长为4πcm2,求圆锥的侧面积和表面积。

练习1-2：圆锥的底面半径为2 cm，高为cm，求这个圆锥侧面积和表面积。

【例2】制作一个圆锥模型，已知圆锥底面圆的半径为3.5cm，侧面母线长为6cm，则此圆锥侧面展开图的扇形圆心角为 度．
练习2-1 圆锥的底面积是侧面积的，则该圆锥侧面展开图的圆心角度数是 度．
练习2-2 若一个圆锥的底面圆的周长是4πcm，母线长是6cm，则该圆锥的侧面展开图的圆心角的度数是
练习2-3 如果一个圆锥的主视图是正三角形，则其侧面展开图的圆心角为
【例3】 如图已知扇形的半径为6cm，圆心角的度数为，若将此扇形围成一个圆锥，则围成的圆锥的侧面积为

练习3-1 小明想用扇形纸片围成一个圆锥，已知扇形的半径为5cm，弧长是cm，那么围成的圆锥的高度是 cm．
练习3-2 现有30％圆周的一个扇形彩纸片，该扇形的半径为40cm，小红同学为了在“六一”儿童节联欢晚会上表演节目，她打算剪去部分扇形纸片后，利用剩下的纸片制作成一个底面半径为10cm的圆锥形纸帽(接缝处不重叠)，那么剪去的扇形纸片的圆心角为

【例4】已知圆锥的底面半径为5cm，侧面积为65πcm2，设圆锥的母线与高的夹角为θ（如图5）所示），则sinθ的值为
【例5】一个三角板的两条直角边分别为3,4, 求以4cm的直角边所在直线为轴旋转而成的几何体的表面积.

2、思考1:若以3cm的直角边为轴旋转呢?

3、思考2:若以斜边所在直线为轴旋转呢?

【例6】如图，三角板中，，，．三角板绕直角顶点逆时针旋转，当点的对应点落在边的起始位置上时即停止转动，则点转过的路径长为 　 ．

C
A
B
例6
B
A
C
A
B
C
A

练习6-1

练习6-2
练习6-1：如图所示，边长为2的等边三角形木块，沿水平线滚动，则点从开始至结束所走过的路线长为　_______（结果保留准确值）．
练习6-2： ．矩形ABCD的边AB=8，AD=6，现将矩形ABCD放在直线l上且沿着l向右作无滑动地翻滚，当它翻滚至类似开始的位置时（如图所示），则顶点A所经过的路线长是_________．
【例7】如图，弧AD是以等边三角形ABC一边AB为半径的四分之一圆周， P为弧AD上任意一点，若AC=5，则四边形ACBP周长的最大值是（ ）
A． 15 B． 20 C．15+ D．15+

练习7-1：如图，圆锥的轴截面（过圆锥顶点和底面圆心的截面）是边长为4cm的等边三角形，点是母线的中点，一只蚂蚁从点出发沿圆锥的表面爬行到点处，则这只蚂蚁爬行的最短距离是 cm．
D
A
B
C
（7-1题）

练习7-2 ：如图是一个用来盛爆米花的圆锥形纸杯，纸杯开口圆的直径长为10cm．母线长为10cm．在母线上的点处有一块爆米花残渣，且cm，一只蚂蚁从杯口的点处沿圆锥表面爬行到点．则此蚂蚁爬行的最短距离为 cm．
Ａ
Ｆ
Ｅ
Ｏ
（7-2 ）
A
B
（7-3）

练习7-3:如