1、数列的极限·教案
目的要求
使学生能从数列的变化趋势理解数列极限的概念；会判断一些简单数列的极限．
内容分析
1．极限概念是微积分中最重要和最基本的概念之一．因为微积分中其他重要的基本概念(如导数、微分、积分等)都要用极限概念来表述，并且它们的运算和性质也都要用极限的运算和性质来论证．
2．为了让学生能尽早进入微积分的主体部分(本书后续内容)的学习，本章不重在理论研究．考虑到中学生理解极限的严格定义(ε－N定义和ε－δ定义)有一定难度，教科书只对极限的定义进行直观描述，教学中一定要注意把握分寸，恰当掌握教科书的深度和广度．
3．数列的极限是最简单的一种极限，它可以看作是自变
2、量以取正整数的形式趋向于无穷时的特殊函数极限．
(1)数列的极限虽简单但却是重要的极限，后面讲函数极限即是由此引入的．正因为它可视为特殊的函数极限，就以它的四则运算法则纳入函数极限四则运算法则之中介绍．
(2)建议新课导入从引言刘徽的“割圆术”说起，引入数列的极限．“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这正是极限概念和思想的要点．它具有承上启下的作用，能激发学生对后续内容的学习兴趣．
(3)数列的极限的直观描述方式的定义，强调的是从变化趋势来理解数列极限的概念，通过观察三个具体数列，归纳出它们共同的特性：随着项数n的无限增大，数列的项an无限地趋近于某一个
3、常数a(即|an－a|无限地接近于0)．由此给出数列极限的直观描述性定义．
“随着项数n的无限增大，数列的项an无限地趋近于某个常数a”的意义有两个方面：一方面，数列的项an趋近于a是在无限过程中进行的，即随n的增大，an越来越接近于a；另一方面，an不是一般地趋近于a，而是“无限”地趋近于a，即|an－a|随n的增大而无限地趋近于0．
(4)由于当n无限增大时，常数数列的项an始终保持不变，因此有任何常数数列的极限都是这个常数本身．
(5)例3是一道开放性的题目．学生需要通过运用计算器计算，并观察分析所得结果进行猜想．通过特殊到一般，在教师的引导下，猜想出
只要求记住并会应用．
4
4、．本节的重点是数列极限的概念，难点是如何从变化趋势的角度来正确理解极限概念．在讲授时，注意结合数列例子，通过比较数值的变化以及数轴上点的变化，讲清“无限趋近”的意义，找出它们的共同特性，归纳出数列极限的直观描述性定义．
5．结合引言内容，通过对刘徽“割圆术”的介绍，对学生进行爱国主义思想教育，激发学生的学习热情和民族自豪感．
对极限概念及思想的深入理解不是一次就能完成的，而是需要一个较长的过程．通过极限内容的教学，树立运动变化的观点．
教学过程
1．新课导入，引出课题
从引言第61页刘徽“割圆术”说起(可提前布置学生预习)，提出问
无限趋近于圆周长2πR呢(让学生从图形上看这种变化
5、趋势)？回答是肯定的，可以用极限的知识来证明．在数学中，极限的概念和思想是非常重要的．它是微积分中最重要、最基本的概念之一，它是研究变量在无限变化中的变化趋势．我们在高二数学第二册(下)中讲授球体积和表面积公式的推导时，用到了极限的思想方法．今天就来学习如何求数列的极限(导出课题)．
2．特例分析，归纳特性
考察教科书第76页三个数列①、②、③，当n无限增大时，项an的变化趋势：
(1)随着n的增大，从数值变化趋势上看，an有三种变化方式：数列①是递减的，②是递增的，③是正负交替地无限趋近于a．
(2)随着n的增大，从数轴上观察项an表示的点的变化趋势，也有三种变化方式：①是从点a右侧
6、②是点左侧，③是从点a两侧交替地无限趋近于a．
(3)随着n的增大，从差式|an－a|的变化趋势上看，它们都是无限地接近于0，即an无限趋近于a．
这三个数列的共同特性是：不论这些变化趋势如何，“随着项数n的无限增大，数列的项an无限地趋近于常数a(即|an－a|无限地接近于0)”．引出数列极限的定义．
3．形成概念，加深理解
(1)数列极限的直观描述性定义(板书)．
注意：①着重从变化趋势上理解数列极限的概念，它是一种定性的研究．
②“无限趋近”的意义有两个方面．
(2)讲解例1，学生完成教科书第76页的练习．
(3)讲授极限的符号表示方法，明确符号的意义和读法．
4．计算观察，得到结论
C(C为常数)．
(2)讲解例3．让学生先猜{0.99n}的极限，再用计算器分别算0.991000、0.995000、0.9910000、0.9920000，并分析数列变化趋势得出极限，从而得
5．课堂学习，知识拓广
学生板演教科书第77页练习1、2，教师讲评后针对练习2(4)可提
先将学生分成两组分别讨论问题①、②，然后教师收集结果．
6．归纳小结
(1)理解数列极限的定义及项an的三种变化方式．
(2)理解数列极限的符号表示方法和它的意义．
(3)掌握数列极限的一个性质和一个重要结论，并且会用．
布置作业
教科书第78页习题第1、2、3题．
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