对偶求解体系.doc

河北工程大学研究生课程论文报告

课程名称：现代计算力学 课程编号： 课程类型： 非学位课 考核方式： 考试、考查

学科专业： 结构工程 年 级： 研一 姓 名： 邢晨鹏 学 号： 10076130065

河北工程大学 2013～2014 学年第 二 学期研究生课程论文报告

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对偶求解体系及其精细积分法

学院： 土木工程学院
专业： 结构工程
姓名： 邢晨鹏
学号： 10076130065
摘要：本文主要介绍了哈密顿体系的求解步骤，将哈密顿求解体系推广应用于弹性地基上的铁摩辛柯梁问题。首先导出了梁的总是能，然后采用拉格朗日函数导出拉格朗日方程，最后提出哈密顿函数及哈密顿正则方程。弹性地基上的梁的哈密顿理论成果将为研究铁摩辛柯里梁解析解和有限元解提供新的有效工具。
关键词：哈密顿求解体系；拉格朗日方程；对偶方程；变分原理；精细积分法；正则方程
Abstract:This paper mainly introduces the solution procedure of Hamiltonian system, the Hamiltonian solution system is applied to the elastic foundation on elastic Timoshenko problem. Firstly deduced beam can always, then the Lagrange function to derive the Lagrange equation , the final Hamiltonian and Hamiltonian canonicalequation is proposed. Hamiltonian theory . Hamiltonian theory of beam on elastic foundation for the study of the Timoshenko beam analytical solution provides a new effective tool and finite element solution。
Key words :The Hamiltonian solution system; Lagrange equation; dual equation; variational principle; precise integration method; canonical equation
1 哈密顿对偶求解体系的特点
哈密顿力学的求解体系是一套数学结构体系，并不局限于动力学。把动力学的哈密顿体系引入到弹性体系是很自然地事情，都可以把他们看做是单连续坐标体系，差别在于弹性体系的但连续坐标是空间的，而动力学则是时间。在这种情况下，弹性体系的但连续坐标体系为两段边值问题，而动力学是时间域内的初值问题。分析力学中的哈密顿力学理论不局限于线弹性体系问题，现在用于处理线弹性力学问题，并且汉密顿力学理论对于非线性弹性体系也是适用的
哈密顿正则方程研究有势系统，首先就才用哈密顿变量来描述系统，建立描述函数它蕴含了有势系统的全部支力学行为的信息，柯通过对哈密顿方程的解析开发出来。哈密顿方程式个变量一阶长微分方程组。具有相当对称的形式，因此，哈密顿对偶求解体系的优美对称形式，为许多解析研究的起点。
本文将哈密顿求解体系推广应用于弹性地基梁。弹性地基梁在土木工程中有非常广泛的应用。许多学者对弹性地基上的Timoshenko 梁的弯曲问题做过研究。由于弹性地基上梁的弯曲问题的计算公式比较繁琐，人们更关心简便的数值计算方法。本文导出了Timoshenko 梁弯曲问题的哈密顿对偶求解体系，将梁的控制微分方程转化为一阶微分方程。具体分为三部分：（1）梁的总时能，(2)拉格朗日函数和拉格朗日方程，（3）哈密顿函数及哈密顿正则方程。
2 具体力学问题的哈密顿对偶方程——弹性地基上的铁摩辛柯梁
如图所示的 Timoshenko 梁，计及横向剪切变形的影响和振动是梁的转动效应，仍然保持弯曲梁时梁的横截面保持为平面和梁的纵向前卫互不挤压两个假定。梁放置在弹性地基上，和分别为弹性地基的弹性系数。和分别为作用在梁上的分布荷载和分布力偶矩。

图1 弹性地基梁
2.1 梁的总势能
取直角坐标系，轴为截面形心轴，轴和轴为截面主惯性轴梁长为，材料的弹性模量和剪切模量分别为和。梁上作用分布荷载和分布弯矩。用梁轴线的挠度和横截面的转角两个广义位移表示梁内任一点沿轴、轴和轴位移分别为：
（1）
由弹性力学公式中的几何方程，可以求出梁的应变为：
（2）
上式中圆点表示对求倒数。铁摩辛柯梁的总势能可表示成：
（3）

式中,为梁的见面面积，,为梁截面绕轴的惯性矩，为梁截面的横向剪切变形系数，为梁截面的等效剪切弯矩。
2.2 拉格朗日函数和拉格朗日方程
上式中被积函数就是弹性地基上梁的拉格朗日函数：
（4）
记：
， ，
, ,,
则上式可写为：
（5）
相应的拉格朗日方程为：
（6）
上式可以写成：
（7）
2.3 哈密顿函数及哈密顿正则方程
为了将方程导入哈密顿对偶体系，首先按照勒让德变换的规则，引入变量q的对偶变量：
（8）
解出:

引入哈密顿函数：
（9）
于是得到了哈密顿正则方程：
（10）
令，， ,哈密顿正则方程还可表示为

在本题中
, , , （11）
显然，对偶变量的物理意义就是梁截面上的剪力和弯矩，可以称为梁截面的广义力。
2.4 弹性地基上梁弯曲问题的计算
通过以上的推导，我们得到了弹性地记上Timoshenko梁的哈密顿正则方程式，它是关于梁截面上广义位移和广义力的一阶常系数常微分方程组，从现代控制理论的角度来看，它就是系统的状态方程，其系统矩阵就是给出的哈密顿矩阵，与现代控制理论中的一些问题具有可比拟性。由于弹性地基上Timoshenko梁的弯曲问题属两端边值问题而非初值问题，可用分离变量法按本征向量展开求其解析解，也可以用精细积分法求高精度的数值解。事实上，采用高精度的精细积分法求数值解时，对变截面梁和变弹性系数地基也是适用的，而且计算方法具有高度一致性。
3 弹性地基上的铁摩辛柯梁两端边值问题的计算步骤
首先需要准备好两端边值问题计算所需要的全部公式。
下面把计算步骤归纳如下：
1、写出问题的拉格朗日函数表达式
（12）
2、确定哈密顿函数，也就是由
，求出对应的矩阵

3、选择步长取，计算细分后小区段的混合能矩阵。具体步骤为由计算和 ，再计算小区段的混合能矩阵 。
4、计算步长为的基本区段的混合能矩阵（不考虑外载的作用）具体的步骤为

（13）
end
（14）
求出基本区段的混合能矩阵后，相应的

5、计算整个结构的混合能矩阵（考虑外载的作用）。具体做法是由左向右逐一合并区段最后求出整个结构的混合能矩阵，注意保存中间的计算结果。具体步骤如下
（15）
6、 计算两端状态向量，由边界条件及整个结构的混合能矩阵可导出边界上其它未知的广义力或
广义位移分量。具体的方法由计算公式
（16）
及给定的边界条件算出其他未知的广义力或广义位移分量。
对于左端固定，右端自由的情形，已知，则
于是求得了两端所有广义力或广义位移分量及。
对于两端均为弹性支撑的情形，，的条件换为，，其中为左端弹簧支撑的柔度矩阵，为右端弹簧支撑的刚度矩阵。这样可以解出：
（17）
（18）
对于其它类型的支撑情形，可用弹性支撑来模拟
7、 计算各节点的状态向量。有了两端的广义位移和广义力分量及，就可以按下
面的步骤求出各节点的状态向量
for
（19）
（20）
4 对哈密顿力学求解体系的认识
在我看来，哈密顿体系是根据结构动力学与控制理论的模拟，将对偶变量理论体系引入到应用力学，就改变了以往应用力学求解中大量运用半逆解法求解的传统，而导向了理性的求解方法，这也是对偶变量体系方法与传统方法的本质区别。从拉格朗日体系理论体系向哈密顿体系的过渡，使对偶的混合变量进入到应用力学的广大领域。
哈密顿原理不仅是用于动力学，它在弹性力学，结构力学、最优控制理论，电动力学，在量子力学中等都有相应的应用。哈密顿原理也不限制广义位移的个数，因此这一原理不但能用于离散系统，也能用于连续系统，当然也能用于离散、连续混合系统。这对于弹性力学，复杂结构，电磁场，波导理论是很有利的。例如在弹性力学中哈密顿体系的应用自变量长度坐标。在动力学变分原理中看到动量p与光速的乘积给出能量。在弹性力学中对偶变量就是应力与位移，位移长度坐标的微商是应变，应力乘应变就成为变形能密度。哈密顿理论的研究多年来长盛不衰，成为当今非线性科学中极其活跃而富有魅力的研究领域。
哈密顿力学理论是拉格朗日力学的升华与推广，从数学角度看又是一门内容精深的相空间几何学，如辛几何、辛拓扑等都源于此。根据结构力学与控制理论的模拟，将对偶变量理论体系引入到应用力学，就改变了以往应用力学求解中大量运用半逆凑合法的传统，而导向了理性的求解方法，这也是对偶变量体系方法论与传统方法论的本质区别。这样就可以求得许多以往半逆凑合法无法导出的结果。从拉格朗日体系向哈密顿体系的过度，其意义还再有从传统的欧几里德型几何形态进入到了辛几何的形态之中，突破了传统观念。从而使对偶的混合变量进入到应用力学的广大领域。对偶体系还可以进入数学物理方法，并由此辐射到有关领域去，有利于向不同学科领域渗透。
在学习现代计算力学的过程中，胡老师给予了热情帮助，同时使我认识到了自己知识的不足，为此，我深深的感谢胡老师的教导。在今后的学习中，我将应采取针对性的措施解决自己知识的不足。

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