重庆大学电磁场习题答案习题(第5章).doc

第五章习题答案
5-1解：
穿过速度v运动的矩形线框的磁链为：

所以，线框的感应电动势为：

题图5-2
z

5-2 如题图所示，一半径为a的金属圆盘，在垂直方向的均匀磁场B中以等角速度旋转，其轴线与磁场平行。在轴与圆盘边缘上分别接有一对电刷。这一装置称为法拉第发电机。试证明两电刷之间的电压为。
证明：，选圆柱坐标，

其中

证毕
5-3解：
平板电容器极板间的电场强度为：
则位移电流密度为：
5-4 一同轴圆柱形电容器，其内、外半径分别为、，长度，极板间介质的介电常数为，极板间接交流电源，电压为。求时极板间任意点的位移电流密度。
解法一：因电源频率较低，f=50Hz为缓变电磁场，可用求静电场方法求解。忽略边沿效应，电容器中的场为均匀场，选用圆柱坐标，设单位长度上内导体的电荷为，外导体电荷为，因此有

所以 ，

当时

解法二：用边值问题求解，即

由圆柱坐标系有 (1)
解式(1)得
由边界条件得：

所以

当时

5-5由圆形极板构成的平板电容器见题图所示，其中损耗介质的电导率为、介电系数为、磁导率为，外接直流电源并忽略连接线的电阻。试求损耗介质中的电场强度、磁场强度和坡印廷矢量，并根据坡印廷矢量求出平板电容器所消耗的功率。
题图5-5

d
a
+
-

z

解：由于电容器两端的电压为直流电压，因此没有位移电流，只有漏电流。
由 知 ,
电流强度均匀分布且垂直于极板，在介质内部，
电场强度为：
在任意一点的电流密度：
利用安培环路定律可得任一点的磁场强度为：

故
所以玻印亭矢量为：

外部空间进入电容器的总功率，即电容器消耗的功率为：

负号表明电容器吸收功率。
由于电容器的电导为:

故：

57解：
设球形电容器内的传导电流为I，取以坐标原点O至介质中任意点的距离为半径的球面，有：
于是，传导电流密度为：
电场强度为：
所以
于是可得：

位移电流密度为：

故可得位移电流为：
全电流为：

5.8：采用圆柱坐标系：
极板间的电场为：
故位移电流为：
应用全电流定律：

故
5-9 在交变电磁场中，某材料的相对介电常数为，电导率为。分别求频率、以及时位移电流密度和传导电流密度的比值。
解：令交变电磁场的电场强度为
传导电流JC和位移电流JD分别由以下公式计算：

所以位移电流密度和传导电流密度的幅值比为：

分别将三种频率代入上式中得：

5-11题图所示的一对平行长线中有电流。求矩形线框中的感应电动势。
题图5-11
解：在圆柱坐标中，由无限长直导线产生的磁感应强度为

左边一条产生的
右边一条产生的
左边导线对矩形框产生的磁通

右边导线对矩形框产生的磁通

所以矩形框的磁通
所以
5-13 真空中磁场强度的表达式为，求空间的位移电流密度和电场强度。
解：由 得

又由：，
所以

因为无恒定场分量，所以
所以
5-14 已知在某一理想介质中的位移电流密度为，介质的介电常数为，磁导率为。求介质中的电场强度和磁场强度。
解： 由得
，
又由可得

所以：
5-16 半径为，厚度为、电导率为的导体圆盘，盘面与均匀正弦磁场正交，如题图所示。已知，忽略圆盘中感应电流对均匀磁场的影响，试求：（1）圆盘中的涡流电流密度；（2）涡流损耗。
解：选圆柱坐标，由于盘面与均匀正弦磁场正交，有变化的磁场产生的电场就只有方向分量，且为半径的函数
题图5-16
z
B

求解可得：
所以

5-17 由圆形极板构成的平行板电容器，间距为d，其间的均匀介质，电导率为，介电常数为，磁导率为，当外加电压为V时，忽略电容器的边缘效应。试求电容器中任意点的位移电流和磁感应强度（假设变化的磁场产生的电场远小于外加电压产生的电场）。
解： ， （1）
， （2）
方向 ：E和J的方向相同，从高电压方向指向低压方向。由全电流定律：

即：
由此解得：
故电容器中任意点磁感应强度为：

5-18 已知大地的电导率，相对介电常数，试问可把大地视为良导体的最高工作频率是多少？
解：由题意知满足磁准态场的条件：由时，大地可视为良导体，在工程中可以认为取两个数量级时，可认为满足远远小于条件，即：

所以： Hz

5-19 （1）长直螺线管中载有随时间变化相当慢的电流。先用安培环路定律求半径为a的线圈内产生的磁准静态场的磁感应强度，然后利用法拉第定律求线圈里面和外面的感应电场强度；
（2）试论证上述磁准静态场的解只有在－>0的静态极限情况下，才精确地满足麦可斯韦方程组。
解：（1）对于长直螺线管，在均匀密绕的条件下，磁场方向与电流方向成右手螺旋关系，为
（1）
N是每单位长度上的线圈的匝数。
由于磁场分布具有轴对称性，因而它感应出的电场也具有这一性质，其方向与磁场成右螺旋。
取半径为的同心圆周为积分路径，应用法拉第定律，可求得沿方向的磁场产生的电场为
（2）
所以有：
（3）（2）将（1）式和（3）式代入麦可斯韦方程中

容易验证两边不相等，只有在－>0的静态场极限情况下，才精确的满足麦可斯韦方程组。

（4）
（5）
很明显，式（4）和式（5）不相等，但是当－>0时＝0，精确满足麦可斯韦方程组。
5-20 同题5-17，假如圆形极板的面积是A，在频率不很高时，用坡印廷定理证明电容器内由于介质的损耗所吸收的平均功率是 ，式中R是极板间介质的漏电阻。
与5-5题方法相同。

5-22 一块金属在均匀恒定磁场中平移，金属中是否会有涡流？若金属块在均匀恒定磁场中旋转，金属中是否会有涡流？
答：平移时没有，旋转时有。

5-23当有 Hz和两种频率的信号，同时通过厚度为1的铜板时，试问在铜板的另一侧能接收到那些频率的信号
解：由于透入深度公式
（1）
分别把两种信号代入（1）式得：，
所以，只有第一种信号可以通过，即在另外一侧只能接收到第一种信号。

5-24解：

最大干扰磁场的频率可以认为工频，f=50Hz，这样，铝板和铁板的衰减常数分别为：

设铝板中的磁场从表面处的H=12A/m经厚度为后衰减到0.01A/m，则有：

所以可得：cm
同理，可得mm