三阶色散和自频移对二阶孤子相互作用的影响研究.doc

西 安 邮 电 学 院

毕 业 设 计（论 文）

题 目：三阶色散和自频移对二阶孤子相互作用的影响研究

系 别： 电子与信息工程
专 业： 光信息科学与技术
班 级： 0401
学生姓名： 唐伟东
导师姓名： 曾祥梅 职称： 讲师
起止时间： 2008年3月24日至2008年6月20日

西 安 邮 电 学 院

毕业设计(论文)任务书

学生姓名
唐伟东
指导教师
曾祥梅
职称
讲师
系 别
电子与信息工程
专 业
光信息科学与技术
题 目
三阶色散和自频移对二阶孤子相互作用的影响研究

任务与要求
任务：
1 掌握光在光纤中的传输方程，及其物理意义。
2采用分步傅立叶方法仿真二阶孤子的相互作用。
3得出三阶色散和自频移对孤子互作用的影响。
要求熟练掌握MATLAB编程。

开始日期
2008-3-24
完成日期
2008-6-20
系主任
(签字)

2008
年

月

日

西 安 邮 电 学 院

毕 业 设 计 (论文) 工 作 计 划

学生姓名： 唐伟东_ 指导教师：_ 曾祥梅 职称： 讲师

系 别：_ 电子与信息工程 _ 专业：_光信息科学与技术_

题 目：三阶色散和自频移对二阶孤子相互作用的影响研究
工作进程

起止时间 工 作 内 容

2008.3.24——2008.3.30 搜集与毕业设计课题相关的资料

2008.4.1——2008.4.15 对相关资料进行学习，掌握与课题相关内容

2008.4.16——2008.4.25 学习MATLAB软件

2008.4.26——2008.5.10 着手分步傅立叶方法的程序编写

2008.5.11——2008.5.28 针对课题需要,进行各项仿真实验

2008.529——2008.6.3 整理仿真结果,得出初步结论

2008.6.4——2008.6.9 撰写毕业论文

2008.6.10——2008.6.15 按导师意见修改论文，完成定稿，准备答辩

主要参考书目(资料)：
1贾东方,余震虹,谈斌,等译：非线性光线光学原理及应用。电子工业出版社，北京，2002
2 王飞：单模光纤中二阶孤子间相互作用研究。陕西师范大学硕士论文，西安，2004
3 曾祥梅,曹冬梅,时坚：飞秒孤子间相互作用的数值研究。光子学报，北京，2005
4 苗润才,王飞,曾祥梅：二阶孤子间相互作用引起孤子衰变。光子学报，北京，2003

主要仪器设备及材料：
一台装有MATLAB软件的微型计算机

论文(设计)过程中教师的指导安排：
每周四下午答疑

对计划的说明：
无

注：本计划一式两份，一份交系，一份自己保存。

指导教师签字：

年 月 日

西安邮电学院

毕业设计(论文)开题报告

课题名称：三阶色散和自频移对二阶孤子相互作用的影响研究

电子与信息工程 系 光信息科学与技术 专业

2004 级 0401 班

学生姓名： 唐伟东 学号： 05043006

指导教师： 曾祥梅

报告日期： 2008年 月 日

1．本课题所涉及的问题及应用现状综述
随着光通信技术的迅速发展，作为新一代长距离高速传输方案的光孤子传输得到了广泛的关注，其中群速度色散和自相位调制效应的共同作用是孤子产生的主要理论基础，普通孤子是通过二阶色散和非线性效应之间的相互平衡实现保形传输。
但在飞秒级短脉冲通信中，或研究材料亚微观特性和宏观量子效应而考察超窄空间孤子的时候,高阶效应就不容忽略，脉冲内部自频移效应和三阶色散效应就是其中颇受人们注视的两个典型的高阶效应。
两个相邻二阶孤子脉冲在光纤中传输时,其间隔一定时，光纤达到一定的长度，这两个相邻二阶孤子之间就会发生相互作用，在零色散波长处二阶色散接近于零，高阶色散对二阶孤子之间的相互作用的影响也就变得突出。
本课题考虑在三阶色散和自频移的作用时，研究二阶孤子的相互作用。

2本课题需要重点研究的关键问题、解决的思路及实现预期目标的可行性分析
本课题需要重点研究的关键问题：
通过MATLAB数学仿真软件来研究三阶色散和自频移对二阶孤子相互作用有怎样的影响，包括它们分别对二阶孤子相互作用的影响，它们一起作用对二阶孤子相互作用的影响，和分别通过控制改变它们的性能参数对二阶孤子相互作用的影响及同时通过控制改变三阶色散和自频移的性能参数来研究二阶孤子的相互作用，本次课题的关键问题是清楚概念和数学仿真。
解决的思路：
第一步：查阅资料掌握光在光纤中的传输方程，及其物理意义并弄清和掌握三阶色散，自频移及二阶孤子的定义及特性。
第二步：学习MATLAB数学仿真软件。
第三步：学习分步傅立叶方法仿真二阶孤子的相互作用。
第四步：通过MATLAB编程进行仿真。
第五步：记录各研究阶段的仿真结果，根据仿真结果，综合分析得出三阶色散和自频移对孤子相互作用的影响。

3．完成本课题的工作方案
完成本课题的工作方案如下：
第一周----第三周： 参考老师给的电子教案和查阅网上相关资料。
第 四 周： 书写毕业论文开题报告。
第五周----第六周： 给出毕业设计所要做的课题大纲。
第六周----最 后： 完成设计方案，进行仿真并得出三阶色散和自频移对孤子相互作用的影响，完成论文撰写，以及答辩工作。

4．指导教师审阅意见

指导教师(签字)：　　　　　　 年 月 日

西安邮电学院毕业设计 (论文)成绩评定表

学生姓名
唐伟东
性别
男
学号
05043006
专 业班 级
光信息科学与技术0401
课题名称
三阶色散和自频移对二阶孤子相互作用的影响研究
课题
类型

难度
较难
毕业设计论文）时间
2008 年3月24 日 ～ 6 月20 日
指导教师
曾祥梅(职称 讲师)
课题任务
完成情况
论文 (千字)； 设计、计算说明书 (千字)； 图纸 (张)；
其它(含附件)：
指导教师意见

分项得分：开题调研论证 分； 课题质量（论文内容） 分； 创新 分；
论文撰写（规范） 分； 学习态度 分； 外文翻译 分
指导教师审阅成绩：　　　　指导教师(签字)：　　　　　　 　 　 　年　 月　 日
评阅教师意见

分项得分：选题 分； 开题调研论证 分； 课题质量（论文内容） 分； 创新 分；
论文撰写（规范） 分； 外文翻译 分
评阅成绩：　　　 　评阅教师(签字)：　　　　　　　 　 年　 月　 日
验收小组意见

分项得分：准备情况 分； 毕业设计（论文）质量 分； （操作）回答问题 分
验收成绩：　 　　验收教师(组长)(签字)：　　　　　　　 　 　年　 月　 日
答辩小组意见

分项得分：准备情况 分； 陈述情况 分； 回答问题 分； 仪表 分
答辩成绩： 答辩小组组长(签字)： 　 年 月 日
成绩计算方法
指导教师成绩 20 (％) 评阅成绩 30 (％) 验收成绩 20 (％) 答辩成绩 30 (％)
学生实得成绩
(百分制)
指导教师成绩 评阅成绩 验收成绩

答辩成绩 总评
答辩委员会意见

毕业论文(设计)总评成绩(等级)：

系答辩委员会主任(签字)： 系(签章)

年 月 日
备
注

目录
摘要 I
ABSTRACT II
引言 1
1光在光纤中的传输 2
1.1 光纤中光脉冲的传播 2
1.2 高阶非线性效应 6
2分步傅立叶方法 8
3 三阶色散和自频移对二阶孤子互作用的影响 10
3.1没有三阶色散和自频移作用下二阶孤子的相互作用 10
3.2只有三阶色散单独作用时二阶孤子的相互作用 15
3.3只有自频移单独作用时二阶孤子的相互作用 22
3.4三阶色散和自频移共同作用下二阶孤子的相互作用 26
3.5 结论：三阶色散和自频移对二阶孤子相互作用的影响 29
4 总 结 29
致谢 30
参考文献 30
附录 31

摘要
本文首先介绍了光在光纤中传输的非线性薛定谔方程和数值模拟所用的方法即分步傅立叶方法。通过数值计算，对时域上相邻的两个两个皮秒量级的二阶孤子在光纤中的传输行为进行了模拟，研究了它们之间的相互作用和三阶色散和自频移分别对二阶孤子的相互作用的影响，及三阶色散和自频移共同对二阶孤子相互作用的影响，最后得出三阶色散和自频移对二阶孤子相互作用的影响。
没有三阶色散和自频移作用下，分别考虑相位相同和相位相反，振幅相同和振幅不同的情况，通过数值求解标准化非线性薛定愕方程，模拟二阶孤子对的相互作用，主要结论有:时域上相邻的两个二阶孤子在光纤中传输时都发生分裂; 分裂出的大振幅基孤子群速度保持不变，不发生偏移;两个小振幅基孤子相互“吸引”(同相位)或“排斥”(反相位)，等振幅时小振幅基孤子间的相互作用强，而振幅的差异会减弱小振幅基孤子间的相互作用。
通过对三阶色散和自频移各自单独作用，及三阶色散和自频移共同作用时的二阶孤子对的相互作用研究，得出三阶色散和自频移对二阶孤子相互作用的影响：三阶色散会增强二阶孤子的相互作用，而自频移抑制二阶孤子的相互作用，共同作用时，三阶色散会减弱自频移的抑制作用。
关键字：二阶孤子；三阶色散；自频移；大（小）振幅基孤子；相互作用

Abstract
This paper introduced the nonlinear Schrödinger equation (NSE) of the soliton propagation in optical fibers and the approach of numerical simulation namely Fourier transform step-by-step.Then ,the propagation of two neighboring picosecond second-order solitons in optical fiber is simulated numerically, we study the interaction between the two second-order solitons and the impact on the interaction respectively bringed by third-order dispersion and self-frequency shift, and the impact when they work together.Finally ,we reach the the impact on the interaction caused by the third-order dispersion and the frequency shift.
Under no the role of third-order dispersion and self-frequency shift, we considered several different situations of the phases are same or contrast, the equivalent amplitudes or different amplitudes .Through numerical solution of nonlinear Schrödinger equation,and simulating the interaction between the two second-order solitons,we get such conclusion:When the two neighboring picosecond second-order solitons propagate in the optical fiber, each second-order soliton is splitted to a large-amplitude fundamental soliton and a small-amplitude fundamental soliton,the group velocity of the large-amplitude fundamental soliton remains unchanged,while the two small-amplitude fundamental solitons “attract” with each other (in same phase) or" exclusion "(in Anti-phase);When the amplitude of two input second-order solitons are equivalent, the interaction between two small-amplitude fundamental solitons is much stronger, otherwise , the interaction is weaken.
    Through researching the interaction with third-order dispersion and self-frequency shift separately and together play their role,we get the effect that third-order dispersion and self-frequency shift impact on the interaction between two second-order soliton: third-order dispersion enhance the interaction, while self-frequency inhibit the interaction of second-order solitons, if third-order dispersion and self-frequency work together, the third-order dispersion will weaken since the inhibition of frequency shift.
Keyword: second-order soliton ; third-order dispersion ;
self-frequeney shift ;large(small)-amplitude fundamental soliton

引言
以光孤子脉冲作为信息载体的光通讯有着比电脉冲通讯无法比拟的优越性。但是，光通讯也有其自身的不足，其中，光纤中相邻光孤子之间的相互作用严重的限制光孤子通信的潜在比特率，同时引起误码率的增加。所以，关于光孤子之间的相互作用问题，关于基孤子间的相互作用人们已作了大量的工作，高阶孤子间相互作用也做了不少研究，但是，对影响孤子间相互作用的研究比较少，而对影响高阶孤子间相互作用问题的研究更少。所以，本文就两种基本的高阶效应三阶色散和自频移对最简单的高阶孤子二阶孤子间相互作用的影响问题进行了初步研究。
本文主要是基于孤子脉冲在光纤中的传输规律满足非线性薛定愕方程(Nonlinear Sehrodinger Equation，简称NLS)理论的基础上，通过数值求解非线性薛定愕方程和高阶修正的非线性薛定愕方程(High order Nonlinear Schrodinger Equstion，简称HONLS)，对初始输入宽度为皮秒量级的二阶孤子脉冲对在光纤中的相互作用问题进行了数值模拟，研究了在不同的初始输入情况(考虑二脉冲之间的位相、振幅比)下，分别考虑三阶色散(TOD)和自频移(SFS) 两种高阶效应及共同考虑三阶色散和自频移效应时，二阶孤子之间的相互作用，最后得出三阶色散和自频移对二阶孤子相互作用的影响。

1光在光纤中的传输
1.1 光纤中光脉冲的传播
光纤中大多数非线性效应的研究涉及到脉冲宽度范围为10ns—10fs的短脉冲的应用。当这样的光脉冲在光纤内传输时，色散和非线性效应将影响到其形状和频谱。本节将推导光脉冲在非线性效应中传输的基本方程。
光纤中光脉冲的传输也服从麦克斯韦方程组：
（1.1.1）
（1.1.2）
（1.1.3）
（1.1.4）
E，H分别为电场强度矢量和磁场强度矢量；D,B分别为电位移矢量和磁感强度矢量；电流密度矢量J和电荷密度表示电磁场的源，在光纤中，很显然是J=0,=0。
介质内传输的电磁场强度E和H增大时，电位移矢量D和磁感应强度B也随之增大，它们的关系通过物质方程联系起来
(1.1.5)
(1.1.6)
式中，为真空中介质常数，为真空中的磁导率；P,M分别为感应电极化强度和磁极化强度，在光纤这样的无磁介质中M＝0。
描述光纤中的光传播方程可以从麦克斯韦方程组得到。对方程（1.1.1）两边取旋度，并利用式（1.1.2）（1.1.5）（1.1.6），用E,P消去B,D得到
（1.1.7）
式中，c为真空中的光速。将（1.1.7）式写成下式：
(1.1.8)
式中,分别为极化的线性部分和非线性部分。
首先，把处理成的微扰动，实际上，折射率的非线性变化小于；其次，假定光场沿光纤长度方向其偏振态不变，光场是单准色的，电场为：
（1.1.9）
为假定沿x方向偏真矢量，为时间的慢变化函数（相对于光周期），类似的，
(1.1.10)
(1.1.11)
线性极化分量通过把方程（1.1.10）代入
（1.1.12）
中，并被写成
（1.1.13）

式中，为的傅立叶变换。
把方程（1.1.11）代入
（1.1.14）
中，可得极化强度非线性变量，假定非线性响应是瞬间作用的，因而方程（1.1.14）中的时间关系可有三个的函数的积得到，这样方程变成
（1.1.15）
瞬时非线性响应的假定相当于忽略了分子振动对的影响（拉曼效应）。一般的说，电子和原子核对光场的响应都是非线性的。原子核的响应比电子慢。
把方程（1.1.9）代入到（1.1.15），发现有一项在处振荡，另一项在三次谐波处振荡，后一项由于需要相位匹配，在光纤中通常被忽略。利用方程（1.1.11）得出的表达式
（1.1.16）
式中，为介电常数的非线性部分，由下式给定
（1.1.17）
为了得到慢变化振幅的波动方程，在频域内推导更为方便，但一般是不可能的因为对场强的依赖关系，方程（1.1.8）是非线性的。一种处理方法是在推导的波动方程的过程中，把处理为常量这种方法从慢便包络近似以及的扰动性质看来可认为是合理的。把方程（1.1.9）～（1.1.11）代入到方程（1.1.8）中，傅立叶变换为为
（1.1.18）
并满足亥姆霍兹方程
（1.1.19）
式中，，且
（1.1.20）
为介电常数，其线性部分由（1.1.17）给出，用介电常数定义折射率和吸收系数，然而，由于的缘故它们都与场强有关可如下定义。
（1.1.21）
利用，以及方程（1.1.17）和（1.1.20）可得出非线性折射率系数和双光子吸收系数
（1.1.22）
方程（1.1.19）可利用分离变量法求解，假定解的形式为
（1.1.23）
式中，为z的慢变函数的振幅，是波数，它将以后确定。方程（1.1.19）分离成两个关于和的方程
（1.1.24）
（1.1.25）
在推导（1.1.25）的过程中，假定为z的慢变化函数，因而忽略了二阶偏导数，通过光纤模式的本征方程（1.1.24）确定波数方程（1.1.24）中的介电常数近似为
（1.1.26）
式中为微扰，其表达式为
（1.1.27）
方程（1.1.24）可通过一阶微扰理论求解。首先，代替求解方程，得到模分布函数和对应的波数。对单模光纤应由
1.1.28）
或 （1.1.29）
或由高斯近似
（1.1.30）
给出的光纤基模的模分布，然后对（1.1.24）考虑的影响，根据一阶微扰理论，不会影响模分布然而，本征值将变为
（1.1.31）
式中
（1.1.32）
这一步完成了最低阶微扰下方程（1.1.8）的形式解，利用（1.1.9）和利用（1.1.21），可得电场强度
（1.1.33）
满足方程（1.1.25）的慢变振幅的傅立叶变换可表达为
（1.1.34）
这里，用到了方程（1.1.31）把近似为，此方程的物理意义很明显，即脉冲沿光纤传输时，其包络内的每一频谱成分都得到一个与频率和强度相关的相移。方程（1.1.34）的傅立叶逆变换给出了的传输方程。然而，很少能知道的准确函数形式，为达到这个目的，在频率处把展成泰勒级数
（1.1.35）
这里
（1.1.36）
若谱宽，则展开式中的三次项或更高次项通常被忽略，这些项的忽略和在（1.1.34）中的推导过程中用到的准单色假定是一致的。对某些特定的值，若（即在光纤的零色散波长附近），需要考虑三次项。把式（1.1.35）代入（1.1.34）中利用
（1.1.37）
作傅立叶的逆变换。在傅立叶变换中，用微分算符代替得到
（1.1.38）
项包括光纤的损耗及非线性项利用方程（1.1.27）和方程（1.1.32）可导出 值，把它代入（1.1.38）中，可得到
（1.1.39）
式中为非线性系数，其定义为
（1.1.40）
为得到方程（1.1.39）假设幅度A是归一化的代表光功率如果用单位表示，则的单位是。参量称为有效纤心截面，定义为
（1.1.41）
通常估算它的值需要用到光纤基模的模分布函数。很显然，依赖于光纤参数，如纤心半径，纤心-包层折射率差。若光纤基模用式（1.1.30）给出的高斯近似，则。
方程（1.1.39）描述了皮秒光脉冲在单模光纤内的传输，它有时也被成为非线性薛定谔方程，因为在一定条件下它可以简化成非线性薛定谔方程。式中的反映了光纤的损耗，，反映了光纤的色散，反映了光纤的非线性特性。
1.2 高阶非线性效应
方程（1.1.39）能够描述很多非线性效应，但还是需要根据试验情况改进。
假设三阶极化具有如下形式，可将非谐振的不相干的（强度有关的）非线性效应包括进去
（1.1.42）
式中，是非线性响应函数，按函数相似的方式归一化，将方程（1.1.42）代入（1.1.14）中可得非线性极化率为
（1.1.43）
式中，假定电场和感应极化矢量方向相同。因为对，响应函数必须为零，以保证上下式统一，所以方程（1.1.43）的积分上限仅取到t。
在频域，利用方程（1.1.9）和（1.1.11），发现满足
（1.1.44）
式中，是的傅立叶变换，与前面相同，可把方程的右边的项看成微扰，忽略这些项后，首先可得到模场分布。微扰项的基本作用是通过改变基模的传输函数，与方程（1.1.13类似，但表达式不同，可以向方程（1.1.31）定义慢变振幅，可得到如下描述单模光纤内脉冲演化的方程

（1.1.45）
是非线性参数，有效纤心面积一般是的函数，因为模式分布与频率有关，而随脉冲谱线的变化常常忽略，这种变化可以直截了当的包括进去。
响应函数包括电学和振动的拉影曼响 ，假定电学的影响是瞬间的，的函数形式可写成
（1.1.46）
式中，表示延时拉曼影响对非线性极化的的贡献，拉曼影响函数与测得的拉曼增益谱之间有关系
（1.1.47）
，代表虚部。的实部可用Kamers-Kroning关系从虚部得到，的傅立叶变换就是拉曼影响函数。
方程（1.1.45）和方程（1.1.46）给出的响应函数一起描述了超短脉冲在光纤中的演变。若忽略光纤损耗（即），脉冲演变过程中光子数保持不变，这一点证明了该方程的准确性。当考虑脉冲内拉曼散射时，脉冲能量就不再保持不变，这是因为部分能量被石英分子吸收了，方程（1.1.45）则包含了这种非线性损耗源。很容易看到，对脉宽远大于拉曼影响函数时间影响的光脉冲，方程（1.1.45）就演变成常规的非线性薛定谔方程。因为对这样的脉冲，可用函数来代替。注意，当时，近似为零，这种替换对脉冲宽度远大于的皮秒脉冲是有效的，对这样的脉冲，因为高阶色散项（）和冲击项（）可以忽略方程（1.1.45）简化成（1.1.39）。
若对窄于5ps的脉冲，但又包含多个光学周期的足够宽的脉冲（脉冲远大于10fs），可以利用泰勒级数展开方程（1.1.45）中的
（1.1.48）
若脉冲包络沿光纤是缓变的，这种近似是合理的。
定义非线性响应函数的一次矩为
（1.1.49）
注意到，方程（1.145）可以近似为

（1.1.50）
这就是非线性薛定颚方程，方程左边第四项表示群速度色散（GVD）效应，第五项表示三阶色散（TOD）效应，右边第一、二，三项分别表示自相位调制（SPM）效应，自陡峭（self-steeping）效应和脉冲内喇曼散射（SRS）效应 ，、分别为群速度色散系数和三阶色散系数，为自频移系数。
2分步傅立叶方法
为了解分布傅立叶方法的基本原理，把非线性薛定颚方程（1.1.50）写成如下形成：
（2.1.1）
式中，是差分算符，它表示线性介质的色散和吸收；是非线性算符，它决定了脉冲传输过程中光纤的非线性效应。这些算符为
（2.1.2）
（2.1.3）
一般来说，沿光纤的长度方向，色散和非线性是同时作用的。分布傅立叶方法通过假定在传输过程中，光场每通过一小段距离h，色散和非线性效应可分别作用，得到近似结果。更准确的说从z到z+h的传输过程分两步进行。第一步，仅有非线性作用，=0，第二步，仅有色散作用，方程中=0。其数学表达式为
（2.1.4）
按规定，指数操作在傅立叶域内进行
（2.1.5）
式中，表示傅立叶算符，表达式中用代替微分算符得到，为傅立叶域中的频率。因为恰好是傅立叶空间中的一个数，故可直接计算方程（2.1.5）的值使用FFT算法使得方程的（2.1.5）数值算法相对较快。正是因为这个原因，分布傅立叶方法较大多数有限差分法快一两个数量级。
为估计分布傅立叶法的精度，注意到方程（2.1.1）的一个正式的精确解为
（2.1.6）
假定与z无关，利用两非对易操作算符和的贝克-毫斯多夫（Bake Hausdorff）公式
（2.1.7）
式中，，分布傅立叶算法忽略了和的非对易性。把，代入贝克-毫斯多夫公式中，可得到起因于单对易的主要误差项。这样，就知道了分布傅立叶方法精确到分布步长h的二阶项。
采用一个不同的步骤使光脉冲从z到z+h一小段内传输，可改善分布傅立叶方法的精确度，在次过程中，由下式代替方程（2.2.4）
（2.1.8）
此过程与上一过程的主要不同在于非线性效应包括在小区间的中间而不是边界。由于方程（2.4.8）中指数算符的对称性形式，该方法称为分布傅立叶方法。方程（2.1.8）中间的指数项内的积分包括了与z有关的非线性算符，若步长h足够小，它可近似表示为则它与方程（2.1.4）类似。采用方程（2.1.8）的对称形式的最重要优点是主要误差项来自方程（2.1.7）中的双对易子，且它是步长h的三阶项，它可以通过把式（2.4.7）两次用于方程（2.1.8）来证明。
分布傅立叶方法的精度可进一步通过比用近似更为精确的计算方程（2.4.8）中的积分来改进。一种简单的方法是采用梯形规则和近似积分
（2.1.9）