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第3章 交流电路
交流电路中的电流（或电压）是随时间变化的。而随时间按正弦规律变化的交变电流（或电压）是工程技术中应用最广泛的一种，也是交变信号中最基本的信号。本章重点研究正弦交流电路。它的电压变换容易，输送和分配方便，其供电性能好，效率高；交流电器结构简单、价格便宜、维修方便；从计算与分析的角度考虑，正弦周期函数是最简单的周期函数,测量与计算也比较容易，是分析一切非正弦周期函数的基础。
正弦交流电路是电工技术中极其重要的一部分，也是重点和难点较为集中的一章。基本概念中的相位及相位差。电阻、电感和电容在交流电路中的不同响应及其频率特性等均应很好地掌握。其独特的相量分析方法又是分析三相交流电路的基础，也是交流电机、变压器及电子技术的重要理论基础。

3.1 正弦交流量及其表示

3.1.1 正弦交流电的基本概念

1．正弦交流量的正方向
正弦交流电路中的电压、电流及电动势，其大小和方向均随时间变化，其数学表达式为：
（3-1）
Vm
v
T
t1
t2
0
R
v
R
v
v′
t
以为例，其波形图如图3-1所示。在0~t1时间内若其实际正方向与参考方向（箭头所标）相同，则在t1~t时间内，其实际正方
向与参考正方向相反。因此，在分析交
流电路时，不同瞬时交流量的比较是没有
意义的。这也是其区别于直流电的基本特征。
2．正弦交流电的三要素
式（3-1）是正弦交流量的瞬时值
表达式，其中Em、Vm、Im称为正弦量
的最大值或幅值；ω称为角频率；ψe、
ψv、ψi 称为初相位。如果已知幅值，
图3-1 正弦量的波形与正方向
角频率和初相位，则上述正弦量就能唯
一地确定，所以称它们为正弦量的三要
素。
（1）最大值、瞬时值、有效值
最大值是反映正弦量变化幅度的，又称幅值或峰值，规定用大写字母加下标m表示，即Em、Im、Vm.
瞬时值是正弦量任一时刻的值，规定用小写字母表示，分别为e、v、i.
而我们平常所说的电压高低、电流大小或用电器上的标称电压或电流指的是有效值。有效值是由交流电在电路中作功的效果来定义的。叙述为：交流电流i通过电阻R在一个周期T内产生的热量与直流电流I通过R在时间T内产生的热量相等时，这个直流电流I的数值称为交流电流的有效值。数学表达为：

则有效值表达式为： （3-2）
将（3-1）式的正弦量代入（3-2）式可得：

（3-3）

可见，正弦交流量的最大值是其有效值的倍，通常所说的交流电压220V是指有效值，其最大值约为311V。
（2）周期、频率、角频率
反映交流电变化快慢的物理量是频率f（或周期T）。即交流电每秒钟变化的次数，单位为赫兹（Hz）。而周期为其交变一次所需的时间，单位为秒（S）。它们互为倒数的关系。目前世界各国电力系统的供电频率有50Hz和60Hz两种，这种频率称为工业频率，简称工频。不同技术领域中的频率要求是不一样的。有的高达数千兆赫兹，称为高频交流信号。
而正弦交流量表达式中反映交流电变化快慢的特征量是角频率ω，一般正弦波形图中的横轴常用ωt表示（如图3-2所示）可见ωT=2π
v
2π
ωt
0
(t)
0′
(T)
Ψv
则 （3-4）
角频率的单位是弧度/秒（rad/s），它的
含义是正弦量每秒变化的弧度数，或2π秒
内交流量变化的周期数。它同样可以反映
正弦量变化的快慢。（在交流发电机中，ω
又与发电机转动的角速度相联系。）
（3）相位、初相位与相位差
任一瞬时的角度（ωt+ψ）称为正弦量
图3-2 角频率与初相位的示意图
的相位角或相位，它与交流量的瞬时值相联系。
t=0时的相位角ψ叫初相位角或初相位，
它是正弦量初始值大小的标志。如：

事实上，初相位的大小与我们讨论它时所取的计时起点有关，如果将图（3-2）中的计时起点左移到图中虚线处，则初相ψv=0。当然，初相位不同，其起始值也就不同。
在一个正弦电路中，存在有两个以上的正弦信号时，一般不是同时达到最大值或零值的，即它们之间存在着不同相位的问题。相位差是用来描述它们之间的先后关系的。如：

则它们的相位差为：
（3-5）
可见，同频正弦量的相位差也就是其初相位之差。
同频正弦量的相位差一般有以下三种情况。
① （小于180°）即ψv>ψi ，这种情况为先v后i，称作v领先，i滞后，如图3-3（a）所示。（也可以哪个量先到最大值为参考来判别先后）
② =ψv-ψi=0 即ψv=ψi，称为同相位，同相位时两个正弦量同时增，同时减，同时到最大值，同时过零，如图3-3（b）所示。
③ 称为反相位，如图3-3（c）所示。

v
i
0
ωt
φ
Ψv
Ψi
v
i
0
ωt
v
i
0
ωt

(a) (b) (c)
图3-3 同频正弦量的相位差

需要说明的是，虽然几个同频正弦量的相位都在随时间不停地变化，但它们之间的相位差不变，且与计时起点的选择无关。正是由于相位差的存在，使得交流电路中出现许多新的物理现象；同时也因相位差的存在使得交流电路问题的分析和计算要比直流电路复杂，但内容更丰富。
正弦交流电路中为什么会出现相位差，相位差的大小与哪些因素有关，将是我们要讨论的重要内容。

3.1.2 正弦量的相量表示法

用三角函数式或波形图来表达正弦量是最基本的表示方法，但要用其进行电路分析与计算却是比较烦难的。由于在正弦交流电路中一般使用的都是同频正弦量，所以我们常用下面所述的相量图或相量表示式（复数符号法）进行分析与计算。这是电路理论中的基本表示法。
1． 相量图
+1
v
0
ωt
+j
ωt1
ωt1
Ψv
Ψv
Vm
0
相量图是能够确切表达正弦量三要素的简捷图示法。可以由复平面内长为幅值以角速度ω旋转的矢量来表示，如，正弦电压便可为图3-4（a）的旋转矢量。此矢量大小为Vm，以角速度ω在复平面内旋转时，任意时刻其矢端的纵坐标值与正弦波的瞬时值对应，其与实轴的夹角即相位角ωt+ψv，为与空间矢量区别，我们约定用大写字母头上加“·”表示。如图中的

图3-4 正弦量的相量图表示法

应用相量图分析正弦电压、电流问题时，由于这些正弦量的频率相同，（即矢量的旋转速度相同），因而它们之间的相对位置在任何瞬间均不会改变。所以在分析时，只需将它们当作不动量来处理。这样不会影响分析的结果。此外，工程计算中多用其有效值衡量大小，故只需用有效值相量表示即可。如：

则其相量图可简作图3-5（a）所示，其中、=。若求电压v=v1+v2，则其便为由、构成的平行四边形的对角线。
Ψ1
Ψ2
φ
Ψ1
Ψ2
Ψ
如图3-5（b）所示。显见，这样便可较方便地定出其和相量的有效值与初相位角。且可表示为： （3-6）
当然，由相量图的计算结果变为
正弦量，只需将其值乘以，加上
旋转因子ωt便为其确切的正弦表达，
图3-5 同频率正弦量的相量图与相量和
即：　　
2. 相量表达式（复数符号法）
用画相量图的方法可以清楚地表示所讨论的各正弦量间的相互关系，也可通过作相量图求得所需结果，但在实际使时由于作图精度的限制，特别是分析复杂电路时还是比较困难的。而相量的数学表达——复数符号法才是分析交流电路的一般方法。
若将图3-4（a）中的相量用复数表示，则
根据欧拉公式：
（3-7）
显见其虚部恰为我们所研究的正弦量。即
（3-8
对于同频正弦量，ωt可免写，则其有效值相量可简作：
同理： （3-9）
这种表示叫相量的极坐标表示法。需要说明的是只在电路与电工类书籍中这样表达。并且，只有用复数表示的正弦量才叫相量，用复数表示的其它量不能叫相量。
借助于相量的复数表示，结合相量图，同频正弦量的分析与计算可以一步求得其大小（幅值）与初相位（辐角），方便多了。
当然，求得其大小与相位角后，也还需将其再写作正弦形式。亦即取虚部、乘以、加上旋转因子ωt。
例3-1：已知(A) ， (A)， 求： i=i1+i2。
解（1）：将其写作有效值相量，用复数计算。

则 （A）
可得：A
解（2）：借助于相量图
如图3-6所示。显见
Ψ
+j
+1
0
30˚
60˚
6A
8A

则 （A）
（A）
实用中，若只求其大小（一般为有效值），
则用相量法更简捷，更直观。也无需再写出其
图3-6 例3-1 相量图
瞬时值表达式。

3.2 交流电路的分析与计算

3.2.1 单一参数的交流电路

电路中的参数据其物理性质的不同一般有电阻R、电感L和电容C三种。任何一个实际的电路元件，这三种参数都有。所谓单一参数是指忽略其它两种参数的理想化元件，分析与计算电路元件在交流电路中的电流、电压关系，能量转换与功率问题，首先必须掌握单一参数的交流特性。
1．线性电阻元件的交流电路
如图3-7所示。若
则 　　　　 （3-10）
v
i
R
i
v
0
ωt
p

图3-7 纯电阻电路
图3-8 电阻元件的正弦波形与相位关系户

可见，其电流电压不仅同频，而且同相位。其波形图、相量图如图3-8所示。
（3-10）式中 Vm=ImR 或 V=IR
相量式表作：　　 　　　　 （3-11）
且其瞬时功率 　　　
电阻元件的功率随时间变化的情况也见图3-8所示，其始终为正值，即始终消耗电能。
其在一个周期内的平均值，称为平均功率，又叫有功功率。单位为瓦特（W）或千瓦（kW）。
即
或 （3-12）
工程上关心的只是其平均功率，而不细究其瞬时功率。
2． 线性电感元件的交流电路
在图3-9中，若i=Imsinωt
i
v
0
ωt
p
则 （3-13）
v
i
L

图3-9 电感元件电路
图3-10 电感的正弦波形与相位关系

可见，线性电感元件的交流特性是其电压在相位上领先电流90°，其波形图与相位关系如图3-10所示
式（3-13）中 Vm=ImωL
0
f
XL
其中称为感抗，单位为欧姆（Ω），表示其限流作用的大小。
其相量表示式为： （3-14）
其中 称为复感抗。
显见，式中j正是电压领先于电流90°的
图3-11 线性电感的频率特性
相位关系的表示，称其为正转90°因子。而其
大小XL=ωL=2πf L关于频率f的关系如图3-11
所示。即感抗与频率成正比，频率越高，意味着
电流的交变速度越快，自感效应对电流的阻碍作用就越大。亦即，电感元件在电路中具有通直流（f=0），阻碍高频交流的作用，正是由于这种频率特性的存在，电感元件在交流电路中的应用才更加广泛，并其作用与地位更加重要。
下面研究线性电感元件在交流电路中的功率关系。
其瞬时功率
可见其为谐变量，频率为2ω，其随时间变化的情况也如图3-10中所示。p>0表示电源输出电能给线圈，p＜0又说明线圈释放出磁能量送回电源。对理想线性电感而言，因其没有内阻，所以不会消耗能量，其有功功率
0
为了表达这种电—磁互换的速率，或电磁互换的规模，将瞬时功率的幅值定义为无功功率，用QL表示。
（3-15）
为从概念上与有功功率区别，无功功率的单位用乏（var）或千乏（kvar）表示。
v
i
CL
3． 线性电容元件的交流电路
如图3-12所示，设加在线性电容元件C上的
电压为 v=Vmsinωt
则：
（3-16）
可见，线性电容元件的交流特性是电流比电压领
图3-12 线性电容元件电路
先90°，其波形图与相位关系如图3-13所示。

i
v
0
ωt
p
0
f
XC

图3-13 电容的正弦波形与相位关系
图3-14线性电容的频率特性

式（3-16）中Im=ωCVm
其中 称为容抗，单位为欧姆（Ω），也反映其阻碍电流作用的强弱。
其相量表达式为　　　 （3-17）
其中称为复容抗，
其大小关于频率f的关系如图3-14所示。即容抗与频率成反比，频率越高，意味着电容充放电的速度越快，对电流的阻碍作用就越小。亦即，电容元件具有通高频交流，而隔直流的作用。也正是由于这种频率特性的存在，电容在电路与电子技术中有着更广泛的应用。
电容元件的瞬时功率 可见其为谐变量，频率也为2ω，其随时间变化的情况也见图3-13所示。
p＞0表示电容被充电，p＜0说明电容释放电能送回电源，理想线性电容元件也不消耗电能，
其有功功率
为了表示这种电—电互换的规模，也定义其无功功率为：
（3-18）
单位也为乏（var）或千乏（kvar）。
例3-2 有一LC并联电路接在220V的工频交流电源上，已知L=2H、C=4.75uF 试求：
（1）感抗与容抗；（2）IL、IC与总电流I；（3）画出相量图；（4）QL、QC与总的无功功率。
解：（1）感抗XL=2πfL=2π×50×2=628Ω
容抗
（2）
（3）以电压为参考，作相量图如3-15图。
图3-15 例3-2 相量图
显见与反相位，则总电流I=IL-IC=0.022A。
（4）由相量关系可见，L中电流为正值时，
C中电流必然为负值（总反相）这就是说L吸收功率时，C必然为释放出功率，反之亦然。
故：
总无功功率 Q = QL - QC = 4.75var)
亦即，L与C并联时，电磁能量的互换发生在L与C间。而与电源互换的部分只是其两者之差。

3.2.2 串联交流电路

1．RLC串联
许多实际电路中是由两个或三个不同参数的元件组成，具有一般性的串联电路是RLC
R

L

C
串联，如图3-16所示。
据KVL：v=vR+vL +
相量式为： +
由单一参数交流电路的伏安关系可有：
图3-16 RLC串联电路
（3-17）
其中Z=R+j（XL –XC） 称为复阻抗。XL-XC=X称为电抗，（感抗与容抗统称电抗）
Z的大小：
（3-18）
由 （3-19）
可见总电压与电流的相位差亦为Z的辐角，称为阻抗角
即 （3-20）
当XL>Xc时 >0 先于 总效果是电感性质，称为感性电路。
当XL3-17所示，由于＞ XC，所以VL＞VC，整个电路先后，相位差为。由相量图可见：
V= （3-21）
将其两边同除以电流I即为（3-18）式，再由
（3-20）式，显然，由电压关系构成的三角形
与阻抗三角形是相似三角形。见图3-18所示。
下面再看其功率关系，由单一参数电路的
分析知道，只有电阻元件消耗功率，所以其
有功功率 P= （3-22） 图3-17 感性电路相量图
无功功率 Q=sin （3-23）
对于电源而言，不仅要为电阻R提供有功能量，而且还要与无功负荷L及C间进行能量互换。我们定义视在功率（或者叫电源的容量）S。
且： S=VI （3-24）
为了区别于有功功率和无功功率，视在功率的单位用伏安（VA）或千伏安（kVA）表示。
通常说变压器的容量为多少kVA，指的就是它的视在功率。
φ
由（3-22）（3-23）（3-24）式显见：
P=Scos
Q=Ssin
S= （3-25）
则其功率构成的三角形与电压、阻抗三
角形也是相似三角形。亦即，由电压三角形
同除以I便是阻抗三角形，同乘以I便是功
率三角形。如图（3-18）所示 图3-18 电压、阻抗及功率三角形
而 （3-26）
称为功率因数，它反映了有功功率的利用率，是电力供电系统中一个非常重要的质量参数。其重要性及其详细研究将在（3.2.4）节中专门讲述。从这个意义讲，又被称为功率因数角。
需要特别说明的是串联交流电路中的电压三角形，功率三角形与阻抗三角形的相似的关系，对于我们分析计算串联电路是非常重要又相当方便的，希望读者能正确理解并记忆。
2．一般阻抗的串联
图3-19所示电路中的复阻抗Zi=Ri+jXi， 称为广义阻抗。对于复杂交流电路，必须用相量式（复数）进行计算。原则上，只要用复数形式，直流电路的规律与分析方法均可适用。
对图3-19的两个复阻抗，据KVL：

Z1
Z2
多个阻抗串联时 （相量和） （3-27）
等效复阻抗 （复数和） （3-28）
即：
其中 （3-29）
（3-30）
图3-19 复阻抗的串联
且由的正负决定电路的性质。
需要注意的是： ，这只是代数和。
例3-3 有一个RLC串联电路，v=220V，R=30Ω，L254mH ，
C=80μF。计算：
36.9˚
53.1˚9
30
40
50
（1） 感抗、容抗及阻抗；
（2） 电流的有效值I及瞬时值i
（3） 作出相量图；
（4） VR、VL、VC、及vR、vL、vC
（5） P及Q。
解：（1）感抗XL=ωL=314×254×10-3=80Ω
图3-20 例3-3 阻抗三角形
容抗
23.1˚
30˚
阻抗
（2） A
阻抗角
已知ψv=30°，（感性），
则 °
图3-21 例3-3 相量图
故 A
（3）相量图如图3-21所示。
（4）VR=IR=132V VL=IXL=352V VC=IXC=176V
由相量图可得：
V
V
V
（5）P=I2R=583W

例3-4图3-19的电路中，若其相量图如图3-22所示，试判别Z1 、Z2及整个电路的性质。
解：由 领先于，故Z1为感性。
φ
φ1
又因为为由与构成的平行四边形
的对角线，则为图中虚线所示，滞后于，
故Z2为容性。
整个电路的滞后于角，故呈容性。
（当然，若Z1，Z2已知，由其虚部的正
负便可直接判定其性质，但整个电路的性质判
图3-22 例3-4相量图
定还需比较与的相位关系）。

3.2.3 并联及混联交流电路的分析与计算

Z2
Z1
1．一般阻抗的并联：
如图3-23所示为复阻抗的并联电路。
由KCL：
则多个阻抗并联时有：
（相量和） （3-31）
图3-23 复阻抗的并联
（复数和） （3-32）
同样应当注意： 这只是代数和
2．混联交流电路的分析与计算：
R2
R1
i1
i2
i
jXL
–jXC
一般的实际负载，常为RL的组合或RC的组合，
由它们联接的电路常具有混联的方式。如图3-24所
示的电路便具有这种特点。分析此类电路，常用的
方法有两种。一种是已知参数的电路，可借助于相
量图进行分析与计算；另一种是由广义阻抗或复杂
参数（数值及相位角不特殊）组成的电路，一般用
复数（相量式）进行分析与计算。实用中后者的情
图3-24 实际阻抗的并联电路
况具多，而前者技巧性较强。下面，我们通过例题
介绍这两种分析方法
例3-5 图3-25电路中I1=10A ， I2=10， V=200V ， R=5Ω ， R2=XL ，试求I、XC、XL及R2。
–jXC
jXL
R1
R2
解：设电压及如电路图中所示，
由R2=XL ，显然比滞后45°，以
为参考相量作相量图如图3-26所示。
由图得I=10A，且与同相位，则
图3-25 例3-5电路图
V1=IR=50V也与同相位，
45˚
从而 V
（三个电压同相位）
得：

R2=XL=7.5Ω

图3-26 例3-5相量图
例3-6 图3-27电路中，已知V=100V，
f=50Hz I1=I2=I3 P=866W，求R、L、C。
解：因为I1=I2=I3 ，且 ，故 构成等边三角形，其中。以为参考相量，作相量图如图3-28所示。又因与同相位，先于。
所以 VR=Vcos30= 50V 则 且 I2=I3=
图3-27 例3-6电路图
L
R
C
图3-28 例3-6相量图
30˚

故 H μF
例3-7 在图3-24所示的电路中，若R1=3Ω R2=8Ω XL=4Ω XC=6Ω，求：
（1）电路的等效复阻抗Z；
（2）若V求 ；
（3）P、 Q、 S及cos。
解：（1）
（2）（A）
（A）
（A）　　（可用验证）
（3）

S=VI=10824kVA
cos==0.89

3.2.4 功率因数的提高

交流电路中功率因数的高低是供电系统中密切关注的事情，提高输电网络的功率因数对国民经济的发展有着非常重要的意义。
由，提高即提高有功功率的利用率，亦即使发电设备的容量得以充分利用，或者说减小电源与负载间的无功互换规模。如电磁镇流式的日光灯。（感性）若不提高线路的功率因数，单其与电源间的无功互换规模就达50%。
另一方面，此种无功互换虽不直接消耗电源能量，但在远距离的输电线路上必将产生功率损耗。即 其中r可认为是线路及发电机绕组的内阻。亦即提高，可同时减小线损与发电机内耗。
而提高，从根本上讲，P的大小只决定于电阻性负载的应用。或者说其主要由用户决定。从这个意义上讲，提高又是广大用电户的事情。也就是说，这里还蕴含着一个顾全大局与爱国主义的问题。因此，它是与国与民皆息息相关的大事。
提高功率因数的首要任务是减小电源与负载间的无功互换规模，而不改变原负载的工作状态。因此，感性负载需并联容性元件去补偿其无功功率；容性负载则需并联感性元件补偿之。一般工矿企业大多数为感性负载，下面以感性负载并联电容元件为例，分析提高功率因数的过程。
φ
φ1
L
R
C

（a） （b）
图3-29提高功率因数图例

感性负载并联电容提高功率因数的电路如图3-29（a）所示。以电压为参考相量作出如图（b）的相量图，其中为原感性负载的阻抗角，为并C后线路总电流间的相位差。显见并C后，线路电流减小，负载电流与负载的功率因数仍不变，而线路的功率因数提高。
由图（b）还可看出，其有功分量（与同相的分量）不变。无功分量（与垂直的分量）变小，实际是由电容C补偿了一部分无功分量。亦即，有功功率P不变，无功功率Q减小，显然提高了电源的有功利用率。
若C值增大。IC也将增大，I将进一步减小，但并不是C越大、I越小。再增大C，将领先于，成为容性。一般将补偿为另一种性质的情况称作过补偿，补偿后仍为同样性质的情况叫欠补偿，而恰好补偿为阻性（同相位的情况称作完全补偿。
供电部门对用户负载的功率因数是有要求的，一般应在0.9以上，工矿企业配电时也必须考虑这一因素，常在变配电室中安装大型电容器来统一调节。
下面介绍提高功率因数与需要并联电容的电容量间的关系，由图3-29（b）中的无功分量可得到：

又因
故： （3-33）
即把功率因数cos提高到cos所需并入电容器的电容量。
例3-8 某学校有1000只220V、40W的日光灯，采用电磁镇流式，本身功耗为8W。其功率因数cos=0.5若改用cos=0.95的电子式镇流器，功耗为0.1W，线路电流可减小多少？仅此一项可使变压器的输出功率减少多少？
解：cos=0.5时
cos=0.95时 （略镇流器功耗）
故 A
变压器输出功率是指其视在功率
则 kVA

3.2.5 复杂交流电路的计算方法

前面对一般阻抗串并联交流电路的分析已经阐明，只要阻抗用复数、变量为相量形式，直流电路中介绍的分析方法在交流电路中同样适用。下面通过例题熟悉其分析计算方法。
a
b
Z1
Z2
Z3
例3-9 图3-30电路中，已知
，
。试求。
解：对此题，用戴维南定理，叠加原理与节点
图3-30 例3-9电路图
电压法均可简捷解出，经比较用节点电压法仅需两步，
其它两法均需三步，故择用节点电压法求解。

例3-10，在图3-31电路中，已知 V， ，ω=1000rad/s，
C
L
R1
R2
R1=R2=1kΩ， L=1H， C=1μF，求
解：用戴维南定理求解（直流电路中已练过，
用戴维南定理最简便）
（1）去电容C求开路电压 见图3-32（a）
图3-31 例3-10电路图

（2）由图3-32（b）求等效内阻抗Z0=R2=1kΩ
（3）其等效电路如图3-35（c）
则：
而：
故：
a
b
L
R1
R2
a
b
L
R1
R2
Z0
a
b
C
Z0

（a） （b） （c）

图3-32 例3-10求解图

3.3 交流电路的频率特性

正弦交流电路中的感抗和容抗都与频率有关，当其频率发生变化时，电路中各处的电流和电压的幅值与相位也会发生变化，这就是所谓频率特性。幅值关于频率的关系叫幅频特性，相位关于频率的特性称作相频特性，它在电子技术的应用中具有很重要的意义。
交流电路中的任一无源双口网络，如图3-33所示，其输出电流或电压与输入电流或电压之比称为电路的传递函数，它是一个复数，

H（jω）
它关于频率的函数用H（j）表示。如输出
电压与输入电压之比表作：
（3-34）
称为转移电压比。 图3-33 双口网络
下面，仅就几种实用的电路进行频率分析。

R
C
3.3.1 RC电路的频率特性

1． 高通滤波电路
图3-34所示的RC串联电路，其传递函数为
图3-34 RC高通电路

ω0
ω0
ω
ω
0
0
0.707
A(ω)
φ(ω)

=
其中幅频特性 （3-35）
相频特性 （3-36）
其特性曲线如图3-35所示，显见频率越高，
其传递能力就越强。
时，
图3-35 高通电路的频率特性
时，
这时，实际应用中，将这一频率
视为信号能通过的最低频率。
即 （3-37）
称为下限截止频率。亦即该电路具有使高频信号易通过而抑制低频信号的作用，故称为高通滤波电路。
R
C
２． 低通滤波电路
与高通电路相反，低频信号易通过而抑制
高频信号的电路称为低通滤波电路。
图3-36的电路便为典型的低通电路。（同
学可以自己推证）
其上限截止频率为：
（3-38） 图3-36 RC低通电路
３． 带通滤波电路
具有上下限两个截止频率，只允许f在内的信号通过的电路称为带通滤波电路，如图3-37（a）所示，其等效电路如图（b）所示。

Z1
Z2
R
C
C
R

（a） （b）
图3-37 带通电路及其等效电路图
则
其传递函数为：
（3-39）
其中幅频关系 （3-40）
相频关系 （3-41）
图3-38便为其频率特性曲线，由（3-40）和（3-41）式可知，
ω0
ω0
ω
ω
0
0
1/3
A(ω)
φ(ω)
90°
45°
–90°
–45°
ωH
ωL
ωH
ωL
当时：
为最大值 （3-42）
与同相位 （3-43）
这里 （3-44）
称为带通电路的中心频率。
由
可得下限截止频率 图3-38 带通电路的频率特性
上限截止频率
显然 （3-45）
称为带通滤波电路的通频带宽度。
需要说明的是，该网络还具有选频（单一频率）特性。在电子技术中，用此RC串并联网络可以选出的信号。（实验室常用的低频信号发生器就是由此来选频的。）
3.3.2 LC谐振电路及其频率特性

前面已经研究过的串并联交流电路中，凡含有电感和电容的电路，如果处于无功功率完全补偿而使电路的cos=1的状态，便称为电路的谐振状态。这种谐振状态在电子技术中也有着广泛的应用。
１． 串联谐振
在LC串联情况下发生的谐振称为串联谐振。如图3-39所示的电路，若，则总阻抗Z=R，与同相位，cos=1，电路发生谐振。
谐振时的频率由
R

L

C
即
可得： （3-46）
由此可见，改变电路参数L、C或改变电源
频率都可满足式（3-46）而出现谐振现象。因此
又把式（3-46）称为谐振条件。 图3-39 RLC串联电路
（1）串联谐振的特点：
① 谐振时电路的阻抗 ==R为最小值，呈纯电阻性。
② 电压一定时，谐振时的电流 为最大值，其随频率变化的关系如图3-40所示。（关于频率的关系也在其中。）

（R）
0
f0
f
XC
XL
I0
I
|Z|

图3-40 电流、阻抗与频率的关系 图3-41 串联谐振时的相量图

③ 谐振时电感与电容上的电压大小相等、相位相反。即，又称串联谐振为电压谐振。谐振时电路的相量图如3-41所示。
如果谐振时＞＞R，则谐振电压＞＞V，将使电路出现过压现象，故电力技术中一般不允许工作在此状态。在电子技术的工程应用中，把谐振时的或与总电压V之比叫做电路的品质因数，用Q表示。
即： （3-47）
I
I0
0
f0
fL
fH
f
Q1
Q2
Q2>Q1
（2）串联谐振电路的选频性与通频带
电压一定时，电路中的电阻R越小，谐振时
的电流就越大，所得到的I~f曲线就越尖
锐，如图3-42所示。在电子技术中，常用这种特
性来选择信号或抑制干扰。显然，曲线越尖锐其
选频特性就越强。（但不是越好，为什么？）
通常也用所谓通频带宽度来反映谐振曲线的
尖锐程度，或者选择性优劣，与带通滤波电路中 图3-42 串联谐振的选频性
的定义相类似，与0.707对应的两频率、
之间的宽度△f定义为通频带宽度。（同学可以自己证明）：
　　　　　　（3-48）
式（3-48）中Q即电路的品质因数，可见Q值的
大小与选频特性的优劣有着直接的联系。Q值越
大，