材料力学_高教第二版_范钦珊_第7章习题答案.doc

材料力学_高教第二版_范钦珊_第7章习题答案
第7章 弹性平衡稳定性分析

7－1 关于钢制细长压杆受力达到分叉载荷之后，还能不能继续承载，有如下四种答案，试判断哪一种是正确的。
（A）不能，因为载荷达到临界值时，屈曲位移将无限制地增加；
（B）能，压杆一直到折断时为止都有承载能力；

习题7-2

（C）能，只要横截面上的最大应力不超过一定限度；
（D）不能，因为超过分叉载荷后变形不再是弹性的。
正确答案是 C 。
7－2 图示两端铰支圆截面细长压杆，在某一截面上开有一小孔。关于这一小孔对压杆承载能力的影响，有以下四种论述，试判断哪一种是正确的。
（A）对强度和稳定承载能力都有较大削弱；
（B）对强度和稳定承载能力都不会削弱；
（C）对强度无削弱，对稳定承载能力有较大削弱；
（D）对强度有较大削弱，对稳定承载能力削弱极微。
正确答案是 D 。
7－3 图示a、b、c、d四桁架的几何尺寸、杆的横截面直径、材料、加力点及加力方向均相同。关于四桁架所能承受的最大外力FPmax有如下四种结论，试判断哪一种是正确的。
（A）；
（B）；
（C）；
（D）。

习题7-3图

正确答案是 A 。

习题7-3图

习题11-3图

解：各杆内力如解图所示：

由各受压杆内力情况可知，应选答案（A）。

习题7-4图

7－4 图示四压杆均为圆截面直杆，杆长相同，且均为轴向加载。关于四者分叉载荷大小有四种解答，试判断哪一种是正确的（其中弹簧的刚度较大）。
（A）；
（B）；
（C）；
（D）。
正确答案是 D 。

7－5 一端固定、另一端弹簧侧向支承的压杆。若可采用欧拉公式，试确定其中长度系数的取值范围为
（A）；
（B）；
（C）；

习题7-6图

（D）。
正确答案是 B 。
7－6 图示正三角形截面压杆，两端球铰约束，加载方向通过压杆轴线。当载荷超过临界值时，试问压杆将绕着截面上哪一根轴发生屈曲，表述有四种。
（A）绕y轴；
（B）绕过形心C的任意轴；
（C）绕z轴；
（D）绕y轴或z轴。
正确答案是 B 。因过正多边形截面形心的任意轴均为形心主轴，且惯性矩相等。
7－7 同样材料、同样载面尺寸和长度的两根管状大柔度压杆，两端由球铰链支承，承受轴向压缩载荷，其中管a内无内压作用，管b内有内压作用。关于二者横截面上的真实应力与、临界应力与之间的关系，有如下结论，试判断哪一结论是正确的。
（A），；
（B），；
（C），；
（D），。
正确答案是 D 。
解：，（p为内压，D为管径，为壁厚，A为管横截面积）
∴
，

∴选（D）。
7－8 提高钢制大柔度压杆承载能力有如下方法，试判断哪一种是最正确的。
（A）减小杆长，减小长度系数，使压杆沿截面两形心主轴方向的柔度相等；
（B）增加横截面面积，减小杆长；
（C）增加惯性矩，减小杆长；
（D）采用高强度钢。
正确答案是 A 。
7－9 图示两端为球铰的压杆，当其截面为下列各种可能形式时，试分析屈曲时截面将绕哪一根轴转动。
解：（a），（b）绕过任意轴转动；（c），（d）绕y轴转动；（e）绕过O且与y轴、z轴成45°的轴转动；（f）绕过O且位于Oy、Oz同号间的形心主惯性轴转动。

习题7-9图

习题7-10图
7－10 图示四根圆截面压杆、材料及直径均相同。试判断哪一根杆最容易屈曲，哪一根最不容易屈曲。
解：

∴
即（a）杆最易屈曲；（d）杆最不易屈曲。

(a)
7－11 图示刚性杆AD在B、E两处由弹簧刚度为k的两根弹簧所支承，并在FP力作用下保持水平平衡位置。试求系统的分叉载荷FPcr。（提示：假定AB杆在微小倾角时保持平衡。）

习题7-11图

解：当载荷达临界值时，刚性杆将在微小位移下保持平衡。
受力如图（一端弹簧伸长，一端弹簧伸长）
由平衡条件：，，∴
，
由图（a）：
∴
即：
7－12 图示刚性杆AB在A处为铰支座，D处两侧与两根刚度均为k的弹簧相连。试：
1．若已知l = 450mm，a = 300mm，m = 200kg，确定使AB杆保持铅垂位置稳定平衡时，弹簧刚度的数值范围；

习题7-12图

(a)
2．若已知m = 100kg，l = 600mm，弹簧刚度k = 3kN/m，确定AB杆保持铅垂位置时，间距a的数值范围。
解：1．图（a）：

N/m
N/m（弹簧刚度越大越稳定）
2．

mm
∴ mm（a越大越稳）
（注：原书答案mm）

习题7-13图

(d)

(c)

(b)

(a)
7－13 图示结构中两根柱子下端固定，上端与一可活动的刚性块固结在一起。已知l = 3m，直径d = 20mm，柱子轴线之间的间距a = 60mm。柱子的材料均为Q235钢，E = 200GPa，柱子所受载荷FP的作用线与两柱子等间距，并作用在两柱子所在的平面内。假设各种情形下欧拉公式均适用，试求结构的分叉载荷。

解：本题可能的失稳方式有四种，如解图所示
图（a）两杆分别失稳= 0.5
单根

图（b）两杆作为整体绕y轴失稳= 2

图（c）两杆作为整体绕z轴失稳= 2

图（d）两杆共同沿z方向（或沿y方向）平稳失稳，由杆的绕曲线可见，对于长度，可视作一端固定，一端自由，即：
，故对于全长l，= 1
∴
比较（1）（2）（3）（4）后得：
N
即 两杆共同绕y轴失稳时的临界力最小（图b）。

第8章 失效分析与设计准则

8－1 对于建立材料在一般应力状态下的失效判据与设计准则，试选择如下合适的论述。
（A）逐一进行试验，确定极限应力；
（B）无需进行试验，只需关于失效原因的假说；
（C）需要进行某些试验，无需关于失效原因的假说；

习题8-2、8-3图
（D）假设失效的共同原因，根据简单试验结果。
正确答案是 D 。
8－2 对于图示的应力状态（）若为脆性材料，试分析失效可能发生在：
（A）平行于x轴的平面；
（B）平行于z轴的平面；
（C）平行于Oyz坐标面的平面；
（D）平行于Oxy坐标面的平面。
正确答案是 C 。

习题8-4、8-5图
8－3 对于图示的应力状态，若，且为韧性材料，试根据最大切应力准则，失效可能发生在：
（A）平行于y轴、其法线与x轴的夹角为45°的平面，或平行于x轴、其法线与y轴的夹角为45°的平面内；
（B）仅为平行于y轴、法线与z轴的夹角为45°的平面；
（C）仅为平行于z轴、其法线与x轴的夹角为45°的平面；
（D）仅为平行于x轴、其法线与y轴的夹角为45°的平面。
正确答案是 A 。
8－4 铸铁处于图示应力状态下，试分析最容易失效的是：
（A）仅图c
（B）图a和图b；
（C）图a、b和图c；
（D）图a、b、c和图d。
正确答案是 C 。
8－5低碳钢处于图示应力状态下，若根据最大切应力准则，试分析最容易失效的是：
（A）仅图d；
（B）仅图c；
（C）图c和图d；
（D）图a、b和图d。
正确答案是 B 。
解：

所以图c最危险。

习题8-6图
8－6 韧性材料所处应力状态如图所示，根据最大切应力准则，试分析二者同时失效的条件是：
（A），；
（B）
（C）；
（D），。
正确答案是 A 。
解：左图： （1）
右图：，，
∴ （2）
或 （3）（由（1），此式舍去）
由（1）、（2），
∴，显然
∴选：A。
注：原题供选择答案（D）矛盾，现改为：（D），。

(a)

习题8-7图
8－7 承受内压的两端封闭的圆柱状薄壁容器由韧性材料制成。试分析因压力过大表面出现裂纹时，裂纹的可能方向是：
（A）沿圆柱纵向；
（B）沿与圆柱纵向成45°角的方向；
（C）沿与圆柱纵向成30°角的方向；
（D）沿环向。
正确答案是 B 。
解：设圆柱壁纵向应力为，则环向应力为2，径向应力近似为零。
，，

裂纹的可能方向为沿ABDC面，平行于轴线与圆周切线方向成45°。
8－8 承受内压的两端封闭的圆柱状薄壁容器，由脆性材料制成。试分析因压力过大表面出现裂纹时，裂纹的可能方向是：
（A）沿圆柱纵向；
（B）沿与圆柱纵向成45°角的方向；
（C）沿圆柱环向；
（D）沿与圆柱纵向成30°角的方向。
正确答案是 A 。
8－9 当韧性材料和脆性材料制成的两个两端封闭的圆柱形薄壁容器因内压发生失效时，试分析断口特征是：
（A）二者断口均沿着纵截面；
（B）二者断口均沿着横截面；
（C）韧性材料容器断口平面平行于轴线并与圆周切线方向成45°角；脆性材料容器断口平面沿纵截面；
（D）脆性材料容器断口平面平行于轴线并与圆周切线方向成45°角；韧性材料容器断口沿纵截面。
正确答案是 C 。
解：参见8-7解理由。
8－10 有人说，杆件受拉伸时有的设计准则，现在又讲“对于韧性材料，应用最大切应力准则或形状改变比能准则”。试问二者是否矛盾？从这里可以得到什么结论？
解：二者不矛盾，对于韧性材料，在平面拉伸时，，，。
8－11 对于纯切应力状态，若将设计准则写成，试确定两种情形下许用切应力与许用拉应力之间的关系：
1．脆性材料；
2．韧性材料。
解：纯剪应力状态时，，
1．对于脆性材料，用最大拉应力理论的失效判据：
则选
，即
由 ，即
用最大伸长线应变理论，，则选，与最大剪应力理论相同。
2．对于韧性材料，用最大剪应力理论：
，，
，即
由 ，即
由失效判据：，∴，则选：
用歪形能理论失效判据
，
则选

习题8-12图
由，则
8－12 构件中危险点的应力状态如图所示。试选择合适的准则对以下两种情形作强度校核：
1．构件为钢制
= 45MPa，= 135MPa，= 0，= 0，
拉伸许用应力= 160MPa。
2．构件材料为铸铁
= 20MPa，= ­25MPa，= 30MPa，= 0，= 30MPa。
解：1．强度满足。
2．强度满足。

习题8-13图
8－13 对于图示平面应力状态，各应力分量的可能组合有以下几种情形，试按最大切应力准则和形状改变比能准则分别计算此几种情形下的计算应力。
1．= 40MPa，= 40 MPa，= 60 MPa；
2．= 60MPa，MPa，MPa；
3．MPa，= 50 MPa，= 0；
4．= 0，= 0，= 45 MPa。
解：
1．
= 100 MPa，= 0，MPa
MPa
MPa
2．
= 70.6 MPa，= 0，MPa
MPa
MPa
3． = 50 MPa，= 0，MPa
MPa
MPa
4． MPa，
∴ = 45 MPa，= 0，MPa
MPa
MPa（MPa）

习题8-14、8-15图
8－14 钢制零件上危险点的平面应力状态如图所示。已知材料的屈服应力= 330MPa。试按最大切应力准则，确定下列情形下是否发生屈服，并对于不屈服的情形确定它们的安全因数。
1．= 207 MPa；
2．= 248 MPa；
3．= 290 MPa。
解：1．= 207 MPa

∴ = 0，MPa，MPa
MPa

2． = 248 MPa；
∴ = 0，MPa，MPa
MPa
3． = 290 MPa。

∴ = 0，MPa，MPa
MPa
8－15 试根据形状改变比能准则，重解习题8－14。
解：1．MPa

2． MPa

3． MPa
8－16 钢制构件上危险点的平面应力状态如图所示。已知材料的屈服应力为= 300 MPa。试按形状改变比能准则，确定下列情形下是否发生屈服，并对于不发生屈服的情形确定它们的安全因数。

习题8-16、8-17图
1．= 60 MPa；
2．= 120 MPa；
3．= 130 MPa。
解：1．= 60 MPa

∴ = 268 MPa，= 112 MPa，= 0
MPa

2．= 120 MPa

∴ = 320 MPa，= 60 MPa，= 0
MPa

3．= 130 MPa

∴ = 329 MPa，= 51 MPa，= 0
MPa

8－17 试根据最大切应力准则重解习题8－16。
解：1．MPa

2． = 320 MPa

习题8-18图
3． = 329 MPa
8－18 铝合金制成的零件上危险点处的平面应力状态如图所示。材料的屈服应力= 250MPa。试按下列准则分别确定其安全因数。
1．最大切应力准则；
2．形状改变比能准则。
解：
= 144 MPa，= 66 MPa，= 0
1． = 144 MPa

2．

8－19 铝合金制成的零件上危险点的平面应力状态如图所示。已知材料的屈服应力= 250MPa。试按下列准则分别确定其安全因数。
1．形状改变比能准则；

习题8-19图
2．最大切应力准则。
解：
= 128.2 MPa，MPa，= 0
1． MPa

2． =166.4 MPa

8－20 铝合金制成的零件上某一点处的平面应力状态如图所示，其屈服应力= 280MPa。试按最大切应力准则确定。
1．屈服时的的代数值；
2．安全因数为1.2时的值。

习题8-20图
1．解：
①设：

= 0

得 = 230 MPa
②设：
= 0

得 MPa
∴ = 230 MPa或MPa
2．解：，= 168 MPa
或 ，MPa
∴ = 168 MPa或MPa
8－21 铝铸件中危险点处的应力状态如图所示。已知材料的拉伸和压缩强度极限分别为= 80MPa和= 200 MPa。试用莫尔准则确定是否发生失效，并确定其安全因数。
解：（a）

习题8-21图
∴ = 92.7 MPa，= 0，MPa
MPa
，失效
（b）
∴ = 130 MPa，= 0，MPa
MPa
，失效
8－22 铸铁制零件上的某些点处可能为图a、b、c所示三种应力状态。已知铸铁的拉伸和压缩强度极限分别为= 52MPa和= 124MPa。试按照莫尔准则，确定三种应力状态中分别为何值时发生失效。

习题8-22图

解：（a），，
MPa，∴MPa
（b），，
MPa
MPa
（c），，
MPa
MPa

8－23 两种应力状态分别如图a和b所示，若二者的、数值分别相等，且。试：
1．应用最大切应力准则分别计算两种情形下的计算应力；
2．应用形状改变比能准则，判断何者较易发生屈服，并写出它们的设计准则。

习题8-23图
解：
1．（a）

（b），

2．（a）
（b）
用形状改变比能，相当应力相同。
8－24 薄壁圆柱形锅炉容器的平均直径为1250mm，最大内压强为23个大气压（1个大气压0.1MPa），在高温下工作时材料的屈服应力= 182.5MPa。若规定安全因数为1.8，试按最大切应力准则设计容器的壁厚。

习题8-24解图
解：，，

壁厚：mm
8－25 平均直径D = 1.8m、壁厚= 14mm的圆柱形容器，承受内压作用。若已知容器为钢制，其屈服应力= 400MPa，要求安全因数ns = 6.0。试分别应用以下准则确定此容器所能承受的最大内压力。
1．用最大切应力准则；
2．用形状改变比能准则。
解：，，
1．
MPa
2．

MPa

习题8-26图
8－26 薄壁圆柱形容器受外压力作用，已知压力p = 15MPa，圆柱外径D = 80mm，材料的许用应力= 160MPa。试按形状改变比能准则确定容器壁厚。
解：1．，，

mm
2． MPa，，

令，则上式变为：

x = 99.774
，mm
考虑压力容器内表面，所以仍取= 3.25mm。
8－27 图示结构中，所有梁的材料、弯曲刚度、梁长等均完全相同；所有杆AB的长度、拉压刚度等亦完全相等。在图示四种加载条件下杆AB的稳定工作安全因数、、、之间的关系有如下结论，试判断哪一结论是正确的。
（A）＝＝＝；
（B）≠≠≠；
（C）＝＜＜；

习题8-27图
（D）＝＞＞。
正确答案是 C 。
解：全部考虑轴力引起的变形影响
图a-1：

(a-1)

(b-1)

(c-1)

(d-1)
（1）

图b-1：
（2）
图c-1：
（3）
图d-1：
（4）
∵,∴,∴
,∴选 (C)。
讨论：若不计轴力变形影响，则，，0，结论也相同。
∵

即：
8－28 根据压杆稳定设计准则，压杆的许可载荷。当横截面面积A增加一倍时，试问[FP]将按下列四种规律中的哪一种变化？
（A）增加一倍；
（B）增加两倍；
（C）增加1/2倍；
（D）[FP]随着A的增加呈非线性变化。
正确答案是 D 。
由于，柔度
而临界应力或

所以，不存在线性关系，非线性关系，选D。

习题8-29图
8－29 图示压杆两端为球铰约束，截面如图所示，为200mm×125mm×18mm的不等边角钢。杆长l = 5m，材料为Q235钢，其弹性模量E = 205GPa。试求压杆的临界载荷。
解：查型钢表Imin = 404.83 cm4，imin = 2.70 cm
，为细长杆
kN
8－30 图示托架中杆AB的直径d = 40mm，长度l = 800mm，两端可视为球铰链约束，材料为Q235钢，试：
1．求托架的临界载荷FPcr。
2．若已知工作载荷FP = 70kN，并要求杆AB的稳定安全因数[n]st = 2.0，校核托架是否安全。
3．若横梁为No.18热轧工字钢，= 160MPa，试问托架所能承受的最大载荷有没有变化。
解：

习题8-30图
1．①（图（a））
，
（1）
② mm

，中柔度杆
MPa

(a)
kN
∴ kN
2．当已知工作载荷为170kN时已大于临界载荷，不安全。下面为凑原书答案，将已知工作载荷改为：
FP = 70 kN
由（1），kN
，不安全。
3．条件= 160MPa意谓着既要保证CD强度，又要保证AB杆稳定。
CD梁中：，，
，，
下面校核工字钢翼缘与腹板交界点应力（忽略轴力影响）：

（mm）
（mm）
MPa
mm3
MPa
MPa
MPa
MPa
∴ FPcr取73.5kN，减小。

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