建立不允许缺货的生产销售存贮模型.doc

2. 建立不允许缺货的生产销售存贮模型。设生产速率为常数为常数k,x销售速率为常数r，k>r。在每个生产周期T内，开始的一段时间（0相对于需求量），当贮存量降到零时，Q件产品立即生产出来供给需求，即不允许缺货。
二． 模型建立
将贮存量表示为时间t的函数q(t)，t=0生产0件，贮存量q(0)=0.在T0前q(t)以生产率减去需求率k-r的速率增加。T0时刻以后，q(t)以需求率r减小，直到q(t)=0。如图：

一个周期内的费用为，即。每天的平均费用为
（1）
（1） 式是这个模型的目标函数。
三． 模型求解
求T使（1）式的最小。容易看出。代入可得使c(T)达到最小值的周期
四． 讨论。
当k》r时，，类似不考虑生产的情况。
当k≈r时，，由于产量与需求量相当，无法产生贮存量。
7 要在雨中从一处沿直线跑到另一处，若雨速为常数且方向不变，试建立数学模型讨论是否跑得越快，淋雨量越少。
将人体简化成一个长方体，高a=1.5m(颈部以下），宽b=0.5m,厚c=0.2m.设跑步距离d=1000m,跑步最大速度vm=5m/s，雨速u=4m/s，降雨量w=2cm/h,记跑步速度为v.按以下步骤进行讨论：
（1） 不考虑雨的方向，设降雨量淋遍全身，以最大速度跑步，估计跑完全程的总淋雨量。
（2） 雨从迎面吹来，雨线与跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为，如图1.建立总淋雨量与速度v及参数a.b.c.d.u.w..之间的关系，问速度v多大，总淋雨量最少。计算=0，=30时的总淋雨量。
（3） 雨从背面吹来，雨线方向与跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为,如图2，建立总淋雨量与速度v以及参数a、d、c、d、u、w、之间的关系，问速度v多大，总淋雨量最少，计算=30时的总淋雨量。
（4） 以总淋雨量为纵轴，速度v为横轴，对（3）作图(考虑的影响），并解释结果的实际意义。
（5） 若雨线方向与跑步方向不在同一平面内，模型会有什么变化？
解：
一．模型假设：将人体简化成一个长方体，高a=1.5m,宽b=0.5m.厚c=0.2m；设跑步的距离为1000m，跑步的最大速度vm=5m/s，雨速u=4m/s，降雨量w=2cm/h
二．模型建立：
模型一：（1）不考虑雨的方向，假设降雨淋遍全身，雨速也是均匀下落，由人体为长方体可知，该人淋到雨的表面积s=2ab+2ac+bc，跑步距离为d=1000m，则该人在雨中的淋雨时间为t=d/vm，且降雨量w=2cm/h=(0.0001/18)m/s
所以，总淋雨量为Q=s*t*w
模型二：（2）当雨迎面吹来时该人只有头顶和迎面淋雨，设头顶部淋雨量为Q1，淋雨面积s1=bc,淋雨的时间即t1=d/v，可知淋雨量总量为Q1=s1*t1*w*cos。雨速在水平方向上的水平分量为u*sin。则在水平方向上的合成速度为u*sin+v,淋雨面积s2=ab,淋雨的时间t2=d/v,淋雨量为w*sin+w*v/u(本身的淋雨量加上人相对雨速的淋雨量)，所以迎面淋雨量为Q2=s2*t2*w*(usin+v)/u由此可得该人在单位时间和单位面积内的总淋雨量Q=Q1+Q2=(0.01cos)/(18*v)+[0.075*(4sin+v)]/(18*v)
模型三：(3)雨从背面吹来时，雨相对人的速度为|u*sin-v|，（一）当u*sin-v>0时，即雨速在水平上的分量大于人的速度，此时在水平方向上的合成速度是v-u*sin，此时的人的淋雨总量可分头顶部分Q3和背面部分Q4。
头顶部淋雨量为Q3，淋雨面积s1=bc,淋雨的时间为t3=d/v，淋雨量为w*cos,由此可知该人在单位时间和单位面积内的淋雨总量Q3= s1*t1*w*cos
雨速在水平方向上的水平分量为-u*sin，雨相对人的速度为v-u*sin,淋雨面积为s2=ab,淋雨的时间为t2=d/v,降雨量w=w*（v/u）-wsin，所以该人在单位时间和面积内的总的淋雨量Q4= s2*t2*w*(v-u*sin)/u=abdw(v-u*sin)/uv=0.0010461(1-sin/v)
所以降雨总量为Q=Q3+Q4=（0.01cos）/(18*v)+0.0010461(1-sin/v)
（二）当u*sin-v>0时，即雨速在水平上的分量大于人的速度，此时的人的淋雨总量可分为头顶部分Q5和背面部分Q6。
头顶部淋雨量为Q5，淋雨面积s1bc,淋雨的时间为t3=d/v，淋雨量为w*cos,由此可知淋雨总量Q5= s1*t1*w*cos
雨速在水平方向上的水平分量为u*sin-v，此时在水平方向上雨与人的合成速度为u*sin-v,淋雨面积s2=ab,淋雨的时间为t2=d/v,，降雨量为w=wsin-w*v/u,此时该人的淋雨总量Q6= s2*t2*w*(usin+v)/u所以降雨总量为Q=Q5+Q6=0.0027778*[（0.2cos-1.5sin）/v+1.5]
三． 模型求解
（1）代入数值即可求解Q=2.44L
（2）同样代入数值可得Q=Q3+Q4=0.01cos/(18*v)+0.0010461(1-sin/v)=0.00069445[(0.2cos-1.5sin)/v+1.5]，显然当v=vm时Q最小。则代入数据可知=0，速度v=vm=5m/s,Q=1.152L
=30, 速度v=vm=5m/s,Q=1.554L
(3)带入数据可求出下列：
头顶淋雨量：Q5=s1*t1*w*cos =(0.01cos)/(18*v)
迎雨面淋雨量：Q6= s2*t2*w*(usin+v)/u=abdw(u*sin-v)/uv
总的淋雨量：Q=Q5+Q6=0.0027778*[（0.2cos-1.5sin）/v+1.5]
若c*cos-a*sin<0.即tan>c/a，此时v=usin时Q最小，
当30时,v=usin=4*sin30=2m/s,
此时Q=0.0027778*[（0.2cos30-1.5sin30）/v+1.5]=0.24L，当v=vm时，=30,Q=0.93L.由此可知，当v=usin时，淋雨量是最小的。
（4）:根据三中所求的降雨总量然后对式子分别求导可以可画出图如下：

实际意义：当雨从人体背面吹来时，只要满足c*cos-a*sin<0即tan>c/a，而此时Q最小,即人体淋雨量最少,此时该人只有背面与头顶部淋雨。
（5） 若是雨线方向与跑步方向不在同一平面内，则要再多加一个角度，然后与上面相同将降雨量分到不同的面分解着求就可以了，从本质与思路来说模型是不变的。
四． 讨论
（1） 从题目的结果来看，跑得越快，人的淋雨量越少，对现实生活有用，不顾现实中无法匀速跑。
（2只考虑到了顶面和人的迎雨面，可以同样得出跑的越快，淋雨就越少，，可是在实际情况我们也应该考虑到人的背面是否淋雨。
（3）在该模型中考虑到雨的方向，与实际的生活更加的相似了 。由这三个模型可以得出在一定的速度下人跑的越快淋雨量就越少。