1、解读定积分与微积分基本定理
一、知识点精析
知识点1 曲边梯形的面积
曲边梯形是曲线与平行于轴的直线，和轴所围成的图形，通常称为曲边梯形，求曲边梯形面积可分为四个步骤：
（1）分割：将曲边梯形分割成有限个很细的小曲边梯形．从区间上看，用个分点将区间分成个小区间（不一定相等）．
（2）近似代替：在每个小区间内任取一点，以为高，为底的小矩形面积为，用它作为相应的小曲边梯形面积的近似值．
（3）求和：将分割成的个矩形面积加起来，其和为，它是所求曲边梯形的面积的近似值．
（4）取极限：将曲边梯形无限的细分（即分点越多），上面的近似值就越接近于曲边梯形的面积，当
2、中的最大值时，的极限存在，则这个极限值就是曲边梯形的面积．
知识点2 定积分
设函数定义在区间上，用分点，把区间分成个小区间，其长度依次为，记为这些小区间长度的最大值，当趋近于时，所有的小区间的长度都趋近于，在每个小区间内任取一点，作和式．当时，如果和式的极限存在，我们把和式的极限叫做函数在区间上的定积分，记作，即．其中，叫做被积函数，叫积分下限，叫积分上限， 叫做被积式，此时称函数在区间上可积．
理解说明：
（1）定积分是“和式”的极限值，它的值取决于被积函数和积分上限、下限，而与积分变量用什么字母表示无关，即（称为积分形式的不变性）．
（2）在定积分的定义中，
3、总是假设，而当及时，不难验证，．这就是说当定积分的上限和下限相同时，定积分的值为零；当交换定积分的上限和下限时，定积分的绝对值相同，只相差一个负号．
（3）在区间上求连续函数的定积分，可归结为：分割、近似代替、求和、取极限四步，因此用定义求定积分的一般步骤：
①分割：将区间等分成个小区间； ②近似代替：取点；③求和：；④取极限：．
知识点3 定积分的几何意义
一般情况下，定积分的几何意义是表示由轴、曲线以及直线，所围成的曲边梯形的面积的代数和．
在区间上，当函数时，曲边梯形位于轴的上方，定积分的几何意义是由轴、曲线以及直线，所围成的曲边梯形的面积，即．
当函
4、数时，曲边梯形位于轴的下方，在右端的和式中，由于，，所以有，从而定积分的值为负值，此时由轴、曲线以及直线，所围成的曲边梯形的面积应是或．
因此在用定积分求平面图形的面积时，首先要确定被积函数、积分变量、积分上限下限，其一般步骤为：
①画出图形，将其适当分割成若干个曲边梯形；
②对每一个曲边梯形确定其被积函数与积分上下限，用定积分表示其面积；
③计算各个定积分，求出所求的面积．
知识点4 微积分基本定理
如果，且在上可积，则，这个结论叫微积分基本定理，其中叫做的一个原函数．也常记为．
理解说明：
（1）由于，所以也是函数的原函数，其中为常数．
（
5、2）利用微积分基本定理求定积分的关键是找出被积函数的一个原函数，通常我们运用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则，从反方向上求出，因此可见求导运算与求原函数运算是互为逆运算．
二、应注意的几点
1．根据定积分定义求定积分，往往比较困难，利用微积分基本定理求定积分比较方便．
2．利用定积分求所围成的平面图形的面积，要用数形结合的方法确定被积函数和积分上下限．
3．，与有不同的几何意义，绝不能等同看待，由于被积函数在闭区间上可正可负，因而它的图象可都在轴的上方，也可都在轴的下方，还可以在轴的上下两侧，所以表示轴、曲线以及直线，所围成图形的面积的代数和；而被积函数是非负的，所以表示在区间上以为曲边的曲边梯形的面积，而则是的绝对值，三者的值一般是不相同的．
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