轴对称变换的实际应用教案.doc

《轴对称变换的实际应用》
北京市北方交大附中 牟柏林

教材：人教版《义务教育课程标准实验教材》八年级上册第14.2.1第2节．

教
学
目
标
1．进一步理解轴对称变换，并能用轴对称变换解决实际问题中的路径最短问题.
2．体会轴对称变换在解决问题中的转化作用，学习将实际问题转化为数学问题的方法，发展应用数学的意识.
3．体验探究的快乐、激发学习数学的兴趣.
教学重点
轴对称变换的应用.
教学难点
如何通过轴对称变换进行转化.
教学方式
自主探究与启发引导相结合.
教学手段
多媒体辅助教学.

教学过程
教学
环节
教学内容
师生活动
设计意图

（一）
复
习
引
入

上节课我们学习了轴对称变换作图，给大家布置了利用轴对称变换设计图案的作业，让我们先来欣赏同学们用轴对称变换设计的美丽图案！这些美丽的图案你又是怎样画的呢？

学生利用实物投影展示作业，教师对学生给予肯定和鼓励.
通过展示学生有创意的作品，复习轴对称作图和轴对称性质，为本节课的内容作铺垫.

（二）
问
题
探
究

（二）
问
题
探
究

（二）
问
题
探
究
1．提出问题
播放CCTV关于“西气东输”的新闻报道.
问题1 如图，要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A，B两城镇供气.泵站修在什么地方，可使所用的输气管线最短?

2. 引导探究
探究中学生可能遇到如下问题：
①实际问题数学化；②对“线段和最小”的理解；③如何想到用轴对称变换求解问题.

（1）实际问题数学化
如图，已知点A、B在直线l的同侧.在l上找点P，使PA+PB最小.

（2）对“线段和最小”的理解
在直线l上任取两点P1、P2通过度量，比较AP1+BP1与AP2+BP2的大小.

（3）对画图找点的引导
辅助问题：
如图，已知点A、B在直线l的异侧，在l上找点P，使PA+PB最小.

解略.
（4）求解问题1

解：作点B关于直线l的对称点B1，连接AB1，AB1与直线l交于P，点P即为所求.
理由：如图，由轴对称性质BP=B1P，所以AP+BP=AP+B1P，当A、P、B1三点共线时AB1最短，所以P点为所求.

3．数学思考
（1）推理证明的落实
如果P1是异于点P的一点，你能证明AP1+BP1> AP+BP吗？

证明连接B1P1. 由轴对称性质，
BP1=B1P1，BP=B1P.
所以 AP1+BP1=AP1+ B1P1，
AP+BP=AP+ B1P =AB1，
在△AP1B1中，AP1+B1P1>AB1，
即 AP1+BP1 > AP+BP.
（2）对解法的反思
轴对称变换在解决问题中所起的作用是什么呢？“实现了线段长度的等量转化，将直线同侧两定点问题转化为直线异侧两定点问题. ”

学生阅读思考、尝试独立求解.

教师巡视，观察学生解决问题的过程与方法，并适时引导.

多数学生能将管道画成直线，城镇画成点，教师给予肯定的同时，引导学生结合图形用符号语言表述问题.

教师引导对“线段和最小”理解不透的学生选点画图，度量比较发现其值不等之后，再利用几何画板进行动态演示.

对于如何找点没有思路的学生，教师给出辅助问题，解决后再思考问题1的解法.

学生陈述解法并说明理由，同时教师强调也可以通过作点A关于直线对称点来求解.
教师再利用几何画板对点P进行验证.

学生思考，讨论交流.

教师引导学生利用轴对称变换性质和三角形三边关系完成证明.

学生思考后作答，
教师再归纳提升.

选用“西气东输”作为背景，引导学生关注国家大事.

学生已有一些解决实际问题的经验，放手让学生做，培养他们的探究意识和能力.
使学生明确将实际问题数学化是解决实际问题的第一步，同时注意规范表述.

使学生透彻理解“线段和最小”的含义.

设置辅助问题为问题1的解决作铺垫.

帮助学生体会轴对称变换在解决问题中的转化作用.

（三）
拓
展
应
用

（三）
拓
展
应
用

问题2 如图，公园内两条小河汇合，两河形成的半岛上有一处古迹P，现计划在两条小河上各修建一座小桥，并在半岛上修三条小路，连通两座小桥与古迹，这两座小桥应建在何处，使所修建的道路最短？

1. 实际问题数学化
如图，P为∠MON内一定点，分别在OM与ON上找点A、B，使△ABP的周长最小.

2. 问题求解
解：作点P关于OM、ON的对称点P1、P2，连接P1P2 ， P1P2与OM、ON分别交于A、B，点A、B即为所求.

3. 对解法的反思
在解决问题过程中，轴对称变换起到了什么作用？ “利用轴对称变换实现了线段长度的等量转化. ”

问题3 如图，A为马厩，B为帐篷，牧马人某一天要从马厩牵出马，先到草地某一处牧马，再到河边饮马，然后牵马回到帐篷，请你帮他确定这一天所走的最短路线.

1. 实际问题数学化
如图，已知∠MON内有两定点A、B，分别在OM和ON上各点C、D，使AC+CD+BD最小.

2. 问题的求解
解：作点A关于OM的对称点A1，作点B关于ON的对称点B1，连接A1B1， A1B1与OM、ON分别交于点C、D，则此时AC+CD+BD最小.

学生读题，尝试独立求解.
教师巡视指导.

学生在画图找点过程中遇到困难时，教师引导学生分析问题、理解由轴对称性质可将三角形周长转化为P1A1+ A1B1+P2B1，从而使问题求解.

学生利用实物投影展示自己的成果，教师适时点评.

对于学生可能出现的问题，教师引导学生讨论、剖析错误.
问题2一方面作为问题1解题方法的巩固,同时又为问题3的解决作铺垫.

帮助学生再次体会轴对称变换在解决问题中的转化作用.

问题3更为复杂，对学生更具挑战性，有利于发展学生迁移的能力.

使学生在收获成功喜悦的同时，对轴对称的画图上升到理性认识的 层面.

（四）
小
结
反
思
1. 引导学生小结、反思
（1）怎样将实际问题转化为数学问题?
（2）轴对称变换所起的作用是什么?
2. 教师归纳、提升
（1）将实际问题中的条件简化，同时用数学语言进行表述.
（2）利用轴对称变换将不共线的多条路径转化到一条直线上，从而解决最短路径问题.
在学生反思、回答问题的基础上，教师再归纳提升.
使学生体会轴对称变换实际应用的实质，发展学生应用数学的意识.

（五）
分
层
作
业
A层 在旷野上，一个人骑马从A到B，半路上他必须让马在河边饮水一次（如图所示）. 他应该怎样选择饮水点P，可使使所走的路程PA+PB最短?

B层 如图，公园中有两处古迹P和Q，现计划在两条小河上各修建一座小桥，并在半岛上修四条小路，连通两座小桥与古迹，这两座小桥应建在何处，才能使修建的道路最短？

C层 如图，现有一条地铁线路l，小区A 、B在l的同侧，已知地铁站两入口C、D间的长度为a米，现设计两条路AC、BD连接入口和两小区. 地铁站入口C、D设计在何处，能使所修建的公路AC与BD之和最短？